📚Arithmétique dans ℕ

1. Montrer que le nombre \( n(n+1) \) est pair.

2. Déterminer la parité des nombres suivants :

1. Déterminer les diviseurs des nombres : 18, 38, 75 et 60.

2. Déterminer cinq multiples de 3, 5, 7, 11, 15.

Exercice 1 - 1. \( n(n+1) \) est le produit de deux entiers consécutifs, donc l'un des deux est pair, donc le produit est pair.

Exercice 1 - 2. \( a = 2n^2 + 13 \) : \( 2n^2 \) est pair, 13 est impair → \( a \) est impair.
\( b = n^3 - n = n(n-1)(n+1) \) : produit de trois entiers consécutifs → toujours multiple de 2 → \( b \) est pair.
\( c = (2n+1)^7 \) : \( 2n+1 \) est impair → impair puissance 7 reste impair → \( c \) est impair.
\( d = n^2 + 3n + 1 \) : \( n^2 \) et \( 3n \) ont même parité que \( n \). Si \( n \) pair : pair + pair + 1 = impair. Si \( n \) impair : impair + impair + 1 = impair. Donc \( d \) toujours impair.

Exercice 2. \( 2^9 + 6^9 \) : pair + pair = pair
\( 17^3 - 5^3 \) : impair - impair = pair
\( 351 \times 208 \) : impair × pair = pair
\( 37013 \times 1375 \) : impair × impair = impair

Exercice 3. \( 12n + 8 \) : pair + pair = pair
\( 2n + 5 \) : pair + impair = impair
\( 4n + 6 \) : pair + pair = pair
\( 8n - 7 \) : pair - impair = impair
\( 6n + 3 \) : pair + impair = impair
\( 2n^2 + 8n + 11 \) : pair + pair + impair = impair
\( n^2 + n + 2006 \) : \( n(n+1) \) est pair + 2006 (pair) = pair
\( n^3 - n + 2 \) : \( n(n-1)(n+1) \) est pair + 2 (pair) = pair

Exercice 4 - 1. \( D_{18} = \{1, 2, 3, 6, 9, 18\} \)
\( D_{38} = \{1, 2, 19, 38\} \)
\( D_{75} = \{1, 3, 5, 15, 25, 75\} \)
\( D_{60} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60\} \)

Exercice 4 - 2. Multiples de 3 : 3, 6, 9, 12, 15
Multiples de 5 : 5, 10, 15, 20, 25
Multiples de 7 : 7, 14, 21, 28, 35
Multiples de 11 : 11, 22, 33, 44, 55
Multiples de 15 : 15, 30, 45, 60, 75

Exercice 5.