📚Arithmétique dans ℕ
2. 📚Exercices – Arithmétique dans ℕ
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Exercices corrigés – Tronc commun Sciences BIOF
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âś… Exercice 8
Énoncé : Soit \(A = n^4 - 1\) avec \(n \in \mathbb{N}^*\).
- Factoriser \(A\).
- En déduire quatre diviseurs de \(A\).
Corrigé :
1. \(A = n^4 - 1 = (n^2 - 1)(n^2 + 1) = (n - 1)(n + 1)(n^2 + 1)\)
2. Donc \(n - 1\) et \(n^2 + 1\) sont bien des diviseurs de \(A\).
Quatre autres diviseurs : \(n + 1\), \(n^2 - 1\), \((n - 1)(n + 1) = n^2 - 1\), ainsi que \((n^2 - 1)(n + 1)\) et \((n - 1)(n^2 + 1)\).
Exemples : \(1\), \(n - 1\), \(n + 1\), \(n^2 - 1\).
1. \(A = n^4 - 1 = (n^2 - 1)(n^2 + 1) = (n - 1)(n + 1)(n^2 + 1)\)
2. Donc \(n - 1\) et \(n^2 + 1\) sont bien des diviseurs de \(A\).
Quatre autres diviseurs : \(n + 1\), \(n^2 - 1\), \((n - 1)(n + 1) = n^2 - 1\), ainsi que \((n^2 - 1)(n + 1)\) et \((n - 1)(n^2 + 1)\).
Exemples : \(1\), \(n - 1\), \(n + 1\), \(n^2 - 1\).
âś… Exercice 9
Énoncé : Soit \(A = (x + 2y)^2 - x^2\) avec \(x, y \in \mathbb{N}\).
- Simplifier \(A\).
- Montrer que \(A\) est pair.
- Montrer que \(A\) est multiple de 4.
Corrigé :
1. \(A = (x + 2y)^2 - x^2 = (x^2 + 4xy + 4y^2) - x^2 = 4y(x + y)\)
\(x, y \in \mathbb{N}\) donc \(4y(x + y) \in \mathbb{N}\).
2. \(A = 4y(x + y) = 2 \times [2y(x + y)]\) → multiple de 2 → \(A\) est pair.
3. \(A = 4y(x + y)\) est multiple de 4 → \(A\) divisible par 4.
1. \(A = (x + 2y)^2 - x^2 = (x^2 + 4xy + 4y^2) - x^2 = 4y(x + y)\)
\(x, y \in \mathbb{N}\) donc \(4y(x + y) \in \mathbb{N}\).
2. \(A = 4y(x + y) = 2 \times [2y(x + y)]\) → multiple de 2 → \(A\) est pair.
3. \(A = 4y(x + y)\) est multiple de 4 → \(A\) divisible par 4.
âś… Exercice 10
Énoncé : Donner la liste des multiples de 8 et de 7 inférieurs à 76.
Corrigé :
1. Multiples de 8 inférieurs à 76 : 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72.
2. Multiples de 7 inférieurs à 76 : 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70.
1. Multiples de 8 inférieurs à 76 : 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72.
2. Multiples de 7 inférieurs à 76 : 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70.
âś… Exercice 11
Énoncé : Étudier la parité des expressions suivantes :
- \(A = (2n + 5)(2n + 2)\)
- \(B = (3n + 5)(3n + 4)\)
- \(C = (3n + 5)(2n + 1)\)
Corrigé :
• \(A = (2n + 5)(2n + 2)\) : \(2n + 2\) est pair → produit pair → \(A\) est pair.
• \(B = (3n + 5)(3n + 4)\) : produit de deux entiers consécutifs → l'un est pair → \(B\) est pair.
• \(C = (3n + 5)(2n + 1)\) : \(2n + 1\) est impair, \(3n + 5\) peut être pair ou impair → à étudier selon \(n\).
• \(A = (2n + 5)(2n + 2)\) : \(2n + 2\) est pair → produit pair → \(A\) est pair.
• \(B = (3n + 5)(3n + 4)\) : produit de deux entiers consécutifs → l'un est pair → \(B\) est pair.
• \(C = (3n + 5)(2n + 1)\) : \(2n + 1\) est impair, \(3n + 5\) peut être pair ou impair → à étudier selon \(n\).
âś… Exercice 12
Énoncé : Soit le nombre \(\overline{23a4}\).
- DĂ©terminer \(a\) pour qu'il soit divisible par 3.
- DĂ©terminer \(a\) pour qu'il soit divisible par 3 mais pas par 9.
Corrigé :
a) Somme des chiffres : \(2 + 3 + a + 4 = 9 + a\).
Divisible par 3 ⇔ \(9 + a\) multiple de 3 ⇔ \(a\) multiple de 3.
Donc \(a \in \{0, 3, 6, 9\}\).
b) Divisible par 3 mais pas par 9 : \(9 + a\) multiple de 3 mais pas de 9.
• \(a = 0\) → \(9 + 0 = 9\) divisible par 9 → exclu.
• \(a = 3\) → \(9 + 3 = 12\) → OK.
• \(a = 6\) → \(9 + 6 = 15\) → OK.
• \(a = 9\) → \(9 + 9 = 18\) divisible par 9 → exclu.
Donc \(a \in \{3, 6\}\).
a) Somme des chiffres : \(2 + 3 + a + 4 = 9 + a\).
Divisible par 3 ⇔ \(9 + a\) multiple de 3 ⇔ \(a\) multiple de 3.
Donc \(a \in \{0, 3, 6, 9\}\).
b) Divisible par 3 mais pas par 9 : \(9 + a\) multiple de 3 mais pas de 9.
• \(a = 0\) → \(9 + 0 = 9\) divisible par 9 → exclu.
• \(a = 3\) → \(9 + 3 = 12\) → OK.
• \(a = 6\) → \(9 + 6 = 15\) → OK.
• \(a = 9\) → \(9 + 9 = 18\) divisible par 9 → exclu.
Donc \(a \in \{3, 6\}\).
đź“ť Formulaire Ă retenir
• \(a \mid b\) ⇔ il existe \(k \in \mathbb{Z}\) tel que \(b = k \times a\)
• Divisible par 2 ⇔ dernier chiffre pair
• Divisible par 3 ⇔ somme des chiffres multiple de 3
• Divisible par 4 ⇔ les deux derniers chiffres forment un multiple de 4
• Divisible par 5 ⇔ dernier chiffre 0 ou 5
• Divisible par 9 ⇔ somme des chiffres multiple de 9
• Divisible par 2 ⇔ dernier chiffre pair
• Divisible par 3 ⇔ somme des chiffres multiple de 3
• Divisible par 4 ⇔ les deux derniers chiffres forment un multiple de 4
• Divisible par 5 ⇔ dernier chiffre 0 ou 5
• Divisible par 9 ⇔ somme des chiffres multiple de 9
🔢 Exercices corrigés – Divisibilité et multiples