Ensembles de nombres ℕ, ℤ, ℚ, 𝔻, ℝ

1. 📚 Inclusion des ensembles de nombres

Inclusion des ensembles de nombres

ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ

🔒 Document protégé – Copie, clic droit et sélection désactivés

📌 Remarque fondamentale

⚠️ Remarque :
Tous les nombres de l'ensemble des entiers naturels \( \mathbb{N} \) (nombres entiers positifs) appartiennent à l'ensemble des entiers relatifs \( \mathbb{Z} \).

📖 Ceci se note : \[ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \] (l'ensemble \( \mathbb{N} \) est inclus dans l'ensemble \( \mathbb{Z} \))

🔗 Chaîne des inclusions

\[ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \]

📖 Lecture :

\( \mathbb{N} \) est inclus dans \( \mathbb{Z} \)
\( \mathbb{Z} \) est inclus dans \( \mathbb{D} \)
\( \mathbb{D} \) est inclus dans \( \mathbb{Q} \)
\( \mathbb{Q} \) est inclus dans \( \mathbb{R} \)

📊 Diagramme des ensembles

ℕ : nombres entiers naturels

⊂

ℤ : nombres entiers relatifs

⊂

𝔻 : nombres décimaux

⊂

ℚ : nombres rationnels

⊂

ℝ : nombres réels

📌 Exemples concrets

✅ 5 ∈ ℕ :
Donc \( 5 \in \mathbb{Z} \), \( 5 \in \mathbb{D} \), \( 5 \in \mathbb{Q} \), \( 5 \in \mathbb{R} \)

✅ -3 ∈ ℤ :
Donc \( -3 \in \mathbb{D} \), \( -3 \in \mathbb{Q} \), \( -3 \in \mathbb{R} \)
Mais \( -3 \notin \mathbb{N} \)

✅ 0,5 ∈ 𝔻 :
Donc \( 0,5 \in \mathbb{Q} \), \( 0,5 \in \mathbb{R} \)
Mais \( 0,5 \notin \mathbb{Z} \), \( 0,5 \notin \mathbb{N} \)

✅ \( \frac{1}{3} \) ∈ ℚ :
Donc \( \frac{1}{3} \in \mathbb{R} \)
Mais \( \frac{1}{3} \notin \mathbb{D} \), \( \frac{1}{3} \notin \mathbb{Z} \), \( \frac{1}{3} \notin \mathbb{N} \)

✅ \( \pi \) ∈ ℝ :
Mais \( \pi \notin \mathbb{Q} \), \( \pi \notin \mathbb{D} \), \( \pi \notin \mathbb{Z} \), \( \pi \notin \mathbb{N} \)

📋 Tableau récapitulatif

Ensemble	Notation	Exemples
Naturels	\( \mathbb{N} \)	0, 1, 2, 3, 4, ...
Relatifs	\( \mathbb{Z} \)	..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...
Décimaux	\( \mathbb{D} \)	0,5 ; -1,25 ; 3,14 ; ...
Rationnels	\( \mathbb{Q} \)	\( \frac{1}{3} \) ; \( \frac{2}{7} \) ; \( -\frac{5}{2} \)
Réels	\( \mathbb{R} \)	π, √2, √5, tous les précédents