📚 Calcul vectoriel dans le plan

3. Calcul vectoriel dans le plan

Multiplication d'un vecteur par un réel – Exercices corrigés

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🔹 Rappel sur la différence

Soient \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs du plan.
La différence de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) est égale à la somme de \(\vec{u}\) et \((-\vec{v})\) : \[ \vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{v}) \]

✅ Exercice 04

Énoncé : Soit \(ABCD\) un parallélogramme. On pose \(\overrightarrow{AB} = \vec{i}\) et \(\overrightarrow{AC} = \vec{j}\).

Écrire les vecteurs \(\overrightarrow{AD}\) et \(\overrightarrow{BD}\) en fonction de \(\vec{i}\) et \(\vec{j}\).

🔧 Corrigé détaillé

Étape 1 : \(ABCD\) est un parallélogramme, donc d'après la règle du parallélogramme :

\[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC} \]

Étape 2 : On en déduit \(\overrightarrow{AD}\) :

\[ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = \vec{j} - \vec{i} \]

Étape 3 : Calculons \(\overrightarrow{BD}\) :

\[ \begin{aligned} \overrightarrow{BD} &= \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} \\ &= -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \\ &= -\vec{i} + (\vec{j} - \vec{i}) \\ &= \vec{j} - 2\vec{i} \end{aligned} \]

✅ Résultat : \(\overrightarrow{AD} = \vec{j} - \vec{i}\) et \(\overrightarrow{BD} = \vec{j} - 2\vec{i}\)

📌 IV. Multiplication d'un vecteur par un réel

Définition : Soit \(\vec{u}\) un vecteur non nul et \(k\) un nombre non nul. Le produit du vecteur \(\vec{u}\) par le nombre \(k\) est le vecteur \(k\vec{u}\) ayant les caractéristiques suivantes :

même direction que \(\vec{u}\) ;
même sens si \(k > 0\), sens contraire si \(k < 0\) ;
sa norme est \(|k| \times \|\vec{u}\|\).

📐 Illustration : \(\vec{u}\) et \(2\vec{u}\) (même sens, double norme)

Remarques :

\(k\vec{u} = \vec{0}\) si et seulement si \(k = 0\) ou \(\vec{u} = \vec{0}\).
\(1\vec{u} = \vec{u}\), \((-1)\vec{u} = -\vec{u}\).

✅ Exercice 05

Énoncé : \(A, B, C\) trois points du plan non alignés.

On considère \(M, N, P, Q\) tels que :

\[ \overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{BC}, \quad \overrightarrow{AN} = -2\overrightarrow{AC}, \quad \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AP}, \quad \overrightarrow{AQ} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AP} \]

Faire une figure.
En déduire que \(2\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{AP}\) et \(B = Q\).

🔧 Corrigé détaillé

1) Figure :

📍 Points A, B, C non alignés
→ M : \(\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{BC}\)
→ N : \(\overrightarrow{AN} = -2\overrightarrow{AC}\)
→ P : \(\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AN}\) (règle du parallélogramme)
→ Q : \(\overrightarrow{AQ} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AP}\) (Q est le milieu de [AP])

2) Démonstration :

\[ \begin{aligned} \overrightarrow{AP} &= \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AN} \\ &= 2\overrightarrow{BC} - 2\overrightarrow{AC} \\ &= 2(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA}) \\ &= 2\overrightarrow{BA} \\ &= -2\overrightarrow{AB} \end{aligned} \]

On obtient donc : \(\overrightarrow{AP} = -2\overrightarrow{AB}\), soit \(2\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{AP}\).

De plus, \(\overrightarrow{AQ} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AP}\) donc \(\overrightarrow{AP} = 2\overrightarrow{AQ}\).

\[ -\overrightarrow{AP} = -2\overrightarrow{AQ} \Rightarrow 2\overrightarrow{AB} = -2\overrightarrow{AQ} \Rightarrow \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AQ} \]

L'égalité \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AQ}\) signifie que les points \(B\) et \(Q\) sont confondus, donc \(B = Q\).

✅ Conclusion : \(2\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{AP}\) et \(B = Q\)

📐 Propriétés de la multiplication par un réel

Quels que soient les vecteurs \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et les réels \(a\), \(b\) :

\(a(\vec{u} + \vec{v}) = a\vec{u} + a\vec{v}\)
\((a + b)\vec{u} = a\vec{u} + b\vec{u}\)
\(a(b\vec{u}) = (a \times b)\vec{u}\)
\(1\vec{u} = \vec{u}\)
\(a(\vec{u} - \vec{v}) = a\vec{u} - a\vec{v}\)
\((a - b)\vec{u} = a\vec{u} - b\vec{u}\)

✅ Exercice 06

Énoncé : Soient les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\). Simplifier :

\[ \overrightarrow{W_1} = 2(\vec{u} + \vec{v}) - 4\left(\frac{1}{2}\vec{u} - \vec{v}\right) \] \[ \overrightarrow{W_2} = \frac{1}{3}(3\vec{u} - 9\vec{v}) + \frac{1}{2}(2\vec{u} + 6\vec{v}) - 2\vec{u} \]

🔧 Corrigé détaillé

Simplification de \(\overrightarrow{W_1}\) :

\[ \begin{aligned} \overrightarrow{W_1} &= 2\vec{u} + 2\vec{v} - 4 \times \frac{1}{2}\vec{u} + 4\vec{v} \\ &= 2\vec{u} + 2\vec{v} - 2\vec{u} + 4\vec{v} \\ &= (2\vec{u} - 2\vec{u}) + (2\vec{v} + 4\vec{v}) \\ &= 6\vec{v} \end{aligned} \]

Simplification de \(\overrightarrow{W_2}\) :

\[ \begin{aligned} \overrightarrow{W_2} &= \frac{1}{3} \times 3\vec{u} - \frac{1}{3} \times 9\vec{v} + \frac{1}{2} \times 2\vec{u} + \frac{1}{2} \times 6\vec{v} - 2\vec{u} \\ &= \vec{u} - 3\vec{v} + \vec{u} + 3\vec{v} - 2\vec{u} \\ &= (\vec{u} + \vec{u} - 2\vec{u}) + (-3\vec{v} + 3\vec{v}) \\ &= \vec{0} \end{aligned} \]

✅ Résultats : \(\overrightarrow{W_1} = 6\vec{v}\) et \(\overrightarrow{W_2} = \vec{0}\)

📝 Formulaire à retenir

• \(\vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{v})\) (différence)
• \(k\vec{u}\) : même direction, même sens si \(k>0\), sens contraire si \(k<0\)
• \(\|k\vec{u}\| = |k| \times \|\vec{u}\|\) (norme)
• \(k\vec{u} = \vec{0} \iff k=0 \text{ ou } \vec{u}=\vec{0}\)
• Distributivité : \(a(\vec{u}+\vec{v}) = a\vec{u} + a\vec{v}\)

💡 À ne pas oublier : Le vecteur nul \(\vec{0}\) est colinéaire à tout vecteur.

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