📚 Calcul vectoriel dans le plan

4. Calcul vectoriel

Exercices corrigés – Tronc commun Sciences BIOF

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📖 Rappel : Propriétés fondamentales

Relation de Chasles : \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\)

Règle du parallélogramme : \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) ⇔ \(ABCD\) parallélogramme

Translation : L'image de \(B\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{AC}\) est le point \(M\) tel que \(\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AC}\)

✅ Exercice 2

Énoncé : \(M\) est l'image de \(B\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{AC}\). Pour \(N\), on construit le parallélogramme \(ACDN\) (car \(\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}\)).

Montrer que \(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{BD}\).

🔧 Corrigé détaillé

Étape 1 : Décomposons \(\overrightarrow{MN}\) en utilisant la relation de Chasles :

\[ \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AN} \]

Étape 2 : \(\overrightarrow{MA} = -\overrightarrow{AM}\). Or \(\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM}\).

\[ \overrightarrow{MA} = -(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM}) \]

Étape 3 : On sait que \(M\) est l'image de \(B\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{AC}\), donc :

\[ \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AC} \]

Étape 4 : On a \(\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}\) (par construction du parallélogramme \(ACDN\)).

Étape 5 : Remplaçons tous les termes :

\[ \begin{aligned} \overrightarrow{MN} &= -(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM}) + (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}) \\ &= -(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} \\ &= -\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} \\ &= -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \end{aligned} \]

Étape 6 : Or \(-\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BD}\) (d'après Chasles).

✅ Conclusion : \(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{BD}\)

✅ Exercice 3

Énoncé : Soit \(ABC\) un triangle et \(M\) un point du plan. On définit \(D\) et \(E\) par :

\[ \overrightarrow{MD} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{BC}, \quad \overrightarrow{ME} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{CA} \]

Quelle est la nature des quadrilatères \(ABCD\) et \(ACBE\) ?

🔧 Corrigé détaillé

1️⃣ Nature de \(ABCD\) :

On a \(\overrightarrow{MD} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{BC}\).

Or \(\overrightarrow{MD} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AD}\) (d'après Chasles).

\[ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{BC} \]

En simplifiant par \(\overrightarrow{MA}\) des deux côtés :

\[ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} \]

L'égalité \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\) signifie que les vecteurs \(\overrightarrow{AD}\) et \(\overrightarrow{BC}\) sont égaux :

même direction
même sens
même longueur

✅ Donc \(ABCD\) est un parallélogramme.

2️⃣ Nature de \(ACBE\) :

On a \(\overrightarrow{ME} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{CA}\).

Or \(\overrightarrow{ME} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AE}\) (d'après Chasles).

De plus, \(\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB}\).

\[ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AE} = (\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB}) + \overrightarrow{CA} \]

En simplifiant par \(\overrightarrow{MA}\) des deux côtés :

\[ \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA} \]

Or \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CB}\) (d'après Chasles).

\[ \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{CB} \]

L'égalité \(\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{CB}\) signifie que \(AE\) et \(CB\) sont égaux comme vecteurs.

✅ Donc \(ACBE\) est un parallélogramme.

📝 À retenir

• \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\) ⇔ \(ABCD\) parallélogramme
• \(\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{CB}\) ⇔ \(ACBE\) parallélogramme
• Translation : image de \(B\) par \(\overrightarrow{AC}\) ⇔ \(\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AC}\)

🔢 Calcul vectoriel – Exercices corrigés