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📚 Calcul vectoriel dans le plan

6. Colinéarité de deux vecteurs

PROF : ATMANI NAJIB - Tronc commun Sciences BIOF
📝 Exercice 07 : Soit \(ABC\) un triangle et on pose \(\overrightarrow{AB}=\vec{i}\) et \(\overrightarrow{AC}=\vec{j}\).
Construire le vecteur \(3\vec{i} - 2\vec{j}\).
✅ CorrigĂ© :
📐 Construction de \(3\vec{i} - 2\vec{j}\) à partir de l'origine \(A\) :
→ \(3\vec{i}\) : 3 fois le vecteur \(\overrightarrow{AB}\)
→ \(-2\vec{j}\) : 2 fois le vecteur opposĂ© Ă  \(\overrightarrow{AC}\)
→ La somme donne le vecteur rĂ©sultant \(3\vec{i} - 2\vec{j}\)

V) Colinéarité de deux vecteurs

📌 1) DĂ©finition : Deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinĂ©aires s'il existe un rĂ©el \(k\) tel que \(\vec{u} = k\vec{v}\).
💡 Deux vecteurs non nuls sont colinĂ©aires si et seulement s'ils ont la mĂȘme direction.
📌 2) PropriĂ©tĂ©s :
  1. Trois points \(A, B, C\) sont alignés si et seulement s'il existe \(k \in \mathbb{R}\) tel que \(\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{AC}\).
  2. Soit \((AB)\) une droite. \(M \in (AB)\) si et seulement si \(\overrightarrow{AM}\) et \(\overrightarrow{AB}\) sont colinéaires.
  3. Deux droites \((AB)\) et \((CD)\) sont parallÚles si et seulement si \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont colinéaires.
📝 Exercice 08 : Soit \(ABC\) un triangle. \(E\) et \(F\) sont deux points tels que : \[ \overrightarrow{AF} = \frac{4}{3}\overrightarrow{AC}, \qquad \overrightarrow{CE} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} \]
  1. Faire une figure.
  2. Exprimer \(\overrightarrow{BE}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
  3. Exprimer \(\overrightarrow{BF}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
  4. En déduire que \(E\), \(F\) et \(B\) sont alignés.
✅ CorrigĂ© :
📍 Figure : triangle ABC
→ F sur (AC) tel que \(AF = \frac{4}{3} AC\)
→ E tel que \(CE = \frac{1}{4} AB\)
  1. \[ \begin{aligned} \overrightarrow{BE} &= \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AE} \\ &= -\overrightarrow{AB} + (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CE}) \\ &= -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} \\ &= \overrightarrow{AC} - \frac{3}{4}\overrightarrow{AB} \end{aligned} \]
  2. \[ \overrightarrow{BF} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AF} = -\overrightarrow{AB} + \frac{4}{3}\overrightarrow{AC} \]
  3. \[ \begin{aligned} \overrightarrow{BF} &= -\overrightarrow{AB} + \frac{4}{3}\overrightarrow{AC} \\ &= \frac{4}{3}\left( \overrightarrow{AC} - \frac{3}{4}\overrightarrow{AB} \right) \\ &= \frac{4}{3}\overrightarrow{BE} \end{aligned} \] Donc \(\overrightarrow{BF}\) et \(\overrightarrow{BE}\) sont colinĂ©aires → \(B, E, F\) sont alignĂ©s.
📝 Exercice 09 : Soit \(ABC\) un triangle. \(I\) et \(J\) sont deux points tels que : \[ \overrightarrow{AI} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB}, \qquad \overrightarrow{AJ} = 3\overrightarrow{AC} \]
  1. a) Exprimer \(\overrightarrow{IC}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
    b) Exprimer \(\overrightarrow{BJ}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
  2. DĂ©duire que les droites \((IC)\) et \((BJ)\) sont parallĂšles.
✅ CorrigĂ© :
  1. a) \[ \overrightarrow{IC} = \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{AC} = -\frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \] b) \[ \overrightarrow{BJ} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AJ} = -\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC} \]
  2. On remarque que : \[ \overrightarrow{BJ} = 3\left( -\frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \right) = 3\,\overrightarrow{IC} \] Donc \(\overrightarrow{BJ}\) et \(\overrightarrow{IC}\) sont colinéaires, ce qui prouve que les droites \((IC)\) et \((BJ)\) sont parallÚles.
📝 À retenir :
  • \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) colinĂ©aires ⇔ \(\exists k \in \mathbb{R}, \vec{u} = k\vec{v}\)
  • Points alignĂ©s ⇔ vecteurs colinĂ©aires
  • Droites parallĂšles ⇔ vecteurs directeurs colinĂ©aires