📚 Calcul vectoriel dans le plan
7. Calcul vectoriel dans le plan
- Tronc commun Sciences BIOF
Rappel exercice 09 :
\(\overrightarrow{BJ} = -\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}\).
On a montré que \(\overrightarrow{BJ} = 3\overrightarrow{IC}\) donc \((IC) \parallel (BJ)\).
\(\overrightarrow{BJ} = -\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}\).
On a montré que \(\overrightarrow{BJ} = 3\overrightarrow{IC}\) donc \((IC) \parallel (BJ)\).
VI) Milieu d’un segment
📌 Propriété 1 : Soient \(A\), \(B\) et \(I\) trois points du plan. Les quatre assertions suivantes sont équivalentes :
- \(I\) est le milieu du segment \([AB]\).
- \(\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB}\)
- \(\overrightarrow{AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\)
- \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}\)
📌 Propriété 2 (Caractérisation du milieu) :
\(I\) est le milieu de \([AB]\) si et seulement si pour tout point \(M\) du plan : \[ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MI} \]
\(I\) est le milieu de \([AB]\) si et seulement si pour tout point \(M\) du plan : \[ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MI} \]
🔍 Démonstration :
(⇒) Si \(I\) est le milieu de \([AB]\), alors \(\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB}\).
Pour tout \(M\) : \[ \begin{aligned} \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} &= (\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA}) + (\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB}) \\ &= 2\overrightarrow{MI} + (\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB}) \\ &= 2\overrightarrow{MI} \end{aligned} \] car \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}\).
(⇐) Si pour tout \(M\), \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MI}\),
en prenant \(M = I\) on obtient \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}\), donc \(I\) est le milieu de \([AB]\).
(⇒) Si \(I\) est le milieu de \([AB]\), alors \(\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB}\).
Pour tout \(M\) : \[ \begin{aligned} \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} &= (\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA}) + (\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB}) \\ &= 2\overrightarrow{MI} + (\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB}) \\ &= 2\overrightarrow{MI} \end{aligned} \] car \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}\).
(⇐) Si pour tout \(M\), \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MI}\),
en prenant \(M = I\) on obtient \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}\), donc \(I\) est le milieu de \([AB]\).
📝 Exercice 10 : Soit \(ABC\) un triangle. Les points \(E\) et \(F\) sont tels que : \[ \overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}, \qquad \overrightarrow{BE} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} \]
- Faire une figure.
- Montrer que \(C\) est le milieu du segment \([EF]\).
✅ Corrigé :
📍 Figure : triangle ABC
→ F : \(\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\)
→ E : \(\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}\)
→ C est le milieu de [EF]
→ F : \(\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\)
→ E : \(\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}\)
→ C est le milieu de [EF]
- \[ \begin{aligned} \overrightarrow{BE} &= \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} \\ \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CE} &= \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} \quad \Rightarrow \quad \overrightarrow{CE} = \overrightarrow{BA} \quad (1) \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} \overrightarrow{AF} &= \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \\ \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CF} &= \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \quad \Rightarrow \quad \overrightarrow{CF} = \overrightarrow{AB} \quad (2) \end{aligned} \] De (1) et (2) : \[ \overrightarrow{CE} + \overrightarrow{CF} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AB} = \vec{0} \] Donc \(\overrightarrow{CE} = -\overrightarrow{CF}\), ce qui signifie que \(C\) est le milieu du segment \([EF]\).
📝 À retenir sur le milieu :
- \(I\) milieu de \([AB]\) ⇔ \(\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB}\)
- \(I\) milieu de \([AB]\) ⇔ \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}\)
- Pour tout point \(M\) : \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MI}\)