Calcul vectoriel dans le plan

4. Vecteurs du plan

– Tronc commun Sciences BIOF

📌 I. Vecteurs du plan – Définition

Définition : Un vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est défini par trois éléments :

sa direction (celle de la droite \((AB)\)) ;
son sens (de \(A\) vers \(B\)) ;
sa norme (longueur) notée \(\|\overrightarrow{AB}\| = AB\).

🎯 Activité (hexagone régulier ABCDEF de centre O, I milieu de [AB], J milieu de [ED]) :

Citer :

Deux vecteurs égaux.
Deux vecteurs de même direction, sens contraire et normes différentes.
Deux vecteurs de même direction, même sens et normes différentes.
Deux vecteurs de direction différente et de même norme.
Deux vecteurs opposés.

Corrigé :
① \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{FO} = \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{ED}\)
② \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CF}\)
③ \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{FC}\)
④ \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BC}\)
⑤ \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{DE}\)

📌 II. Égalité de deux vecteurs

\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\) ⇔ même direction, même sens et même norme.

Remarques :

On note \(\vec{u}\) le vecteur représenté par \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{CD}\), etc.
\(\overrightarrow{AB} = \vec{0}\) ⇔ \(A = B\).

📌 III. Somme de deux vecteurs

Relation de Chasles : Pour tous points \(A, B, C\) :
\[ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} \]

Règle du parallélogramme :
Si \(\overrightarrow{AB} = \vec{u}\) et \(\overrightarrow{AC} = \vec{v}\), alors \(\overrightarrow{AD} = \vec{u} + \vec{v}\) où \(ABDC\) est un parallélogramme.

📌 IV. Multiplication d'un vecteur par un réel

Soit \(\vec{u}\) un vecteur et \(k \in \mathbb{R}\). Le vecteur \(k\vec{u}\) a :

la même direction que \(\vec{u}\) ;
le même sens si \(k > 0\), sens contraire si \(k < 0\) ;
une norme \(\|k\vec{u}\| = |k| \times \|\vec{u}\|\).

📌 V. Colinéarité de deux vecteurs

Deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires s'il existe un réel \(\lambda\) tel que \(\vec{v} = \lambda \vec{u}\) (ou \(\vec{u} = \lambda \vec{v}\)).

Cela signifie qu'ils ont la même direction.

📌 VI. Milieu d'un segment

Si \(I\) est le milieu de \([AB]\), alors :
\[ \overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} \] et pour tout point \(M\) :
\[ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MI} \]

✅ Exercice 1

Énoncé : Simplifier : \(\vec{U} = \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AB}\)

\[ \begin{aligned} \vec{U} &= \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB} \\ &= \overrightarrow{BA} + 2\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AB} \end{aligned} \]

Résultat : \(\vec{U} = \overrightarrow{AB}\)

✅ Exercice 2

Énoncé : Construire les points \(M\) et \(N\) tels que \(\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}\). Montrer que \(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{BD}\).

\[ \begin{aligned} \overrightarrow{MN} &= \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AN} = -\overrightarrow{AM} + (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}) \\ &= -(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BD} \end{aligned} \]

Donc \(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{BD}\) (CQFD).

✅ Exercice 3

Énoncé : Soit \(ABC\) un triangle et \(M\) un point. On pose :

\[ \overrightarrow{MD} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{BC}, \quad \overrightarrow{ME} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{CA} \]

Quelle est la nature de \(ABCD\) et \(ACBE\) ?

Corrigé :
• \(\overrightarrow{MD} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{BC} \Rightarrow \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\) ⇒ \(ABCD\) est un parallélogramme.
• \(\overrightarrow{ME} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{CA} \Rightarrow \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{CB}\) ⇒ \(ACBE\) est un parallélogramme.

✅ Exercice 4 (Application)

Énoncé : Soit \(ABCD\) un parallélogramme de centre \(O\). Démontrer que pour tout point \(M\) :

\[ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} = 4\overrightarrow{MO} \]

Corrigé :
\[ \begin{aligned} \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} &= 2\overrightarrow{MO} \quad \text{(car O milieu de [AC])}\\ \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MD} &= 2\overrightarrow{MO} \quad \text{(car O milieu de [BD])}\\ \text{Donc } \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} &= 2\overrightarrow{MO} + 2\overrightarrow{MO} = 4\overrightarrow{MO} \end{aligned} \]

✅ Exercice 5 (Colinéarité)

Énoncé : Dans un repère, on donne \(\vec{u}(2;-3)\) et \(\vec{v}(-4;6)\). Ces vecteurs sont-ils colinéaires ?

Corrigé :
\[ \frac{2}{-4} = \frac{-3}{6} \Rightarrow \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2} \quad \text{et} \quad \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2} \] \[ \text{Donc } \vec{v} = -2\vec{u} \quad \Rightarrow \quad \text{Les vecteurs sont colinéaires.} \]

📝 Formulaire à retenir

• \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\) (Chasles)
• \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\) ⇔ \(ABDC\) parallélogramme
• \(I\) milieu de \([AB]\) ⇔ \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}\)
• \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) colinéaires ⇔ \(\exists \lambda \in \mathbb{R}, \vec{v} = \lambda \vec{u}\)

🔢 Vecteurs du plan – Résumé complet et exercices corrigés