Calcul vectoriel dans le plan

2. Projection, Thalès et colinéarité

Tronc Commun Sciences BIOF

🔒 Document protégé – Copie, clic droit et sélection désactivés

📐 I. Théorème de Thalès (direct)

📐 Propriété :
Soient \((D_1)\) et \((D_2)\) deux droites sécantes. \(A, B, C\) trois points alignés, \((AB)\) non parallèle à \((D_1)\) et \((D_2)\).
Si \(A', B', C'\) sont les projetés de \(A, B, C\) sur \((D_2)\) parallèlement à \((D_1)\), alors : \[ \frac{AB}{AC} = \frac{A'B'}{A'C'}. \]

📌 Application :
On considère la figure suivante où \((AB) \parallel (DC)\).
\(DI = 54\), \(IA = 9\), \(IB = x\), \(IC = 45\). Déterminer \(x\).

    A ----- B
     \     /
      \   /
       \ /
        I
       / \
      /   \
     /     \
    D ----- C

Configuration : (AB) // (DC), I intersection des segments AD et BC

Solution : Par le théorème de Thalès (configuration papillon) : \[ \frac{DI}{IA} = \frac{IC}{IB} \quad\Rightarrow\quad \frac{54}{9} = \frac{45}{x} \quad\Rightarrow\quad 6 = \frac{45}{x} \quad\Rightarrow\quad x = \frac{45}{6} = 7.5. \] Donc \(x = 7.5\).

📐 II. Réciproque du théorème de Thalès

📐 Propriété :
Soient \((D_1)\) et \((D_2)\) deux droites sécantes en \(A\). \(B, M\) sur \((D_1)\) distincts de \(A\) ; \(C, N\) sur \((D_2)\) distincts de \(A\).
Si \(A, B, M\) et \(A, C, N\) sont dans le même ordre et \[ \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}, \] alors \((MN) \parallel (BC)\).

📌 Exemple :
Dans les configurations où les rapports sont égaux et les points alignés dans le même ordre, on conclut au parallélisme.

📐 III. Conservation du coefficient de colinéarité

📐 Propriété :
Soient \((D_1)\) et \((D_2)\) deux droites sécantes. Si \(\overrightarrow{AB} = k\,\overrightarrow{CD}\) et \(A', B', C', D'\) sont les projetés respectifs sur \((D_2)\) parallèlement à \((D_1)\), alors \[ \overrightarrow{A'B'} = k\,\overrightarrow{C'D'}. \] La projection conserve le coefficient de colinéarité.

📌 Application :
Soit \(ABC\) un triangle. \(D\) est un point de \((BC)\) (\(D \notin [BC]\)) et \(O\) un point tel que \(\overrightarrow{AO} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AD}\).
\(E\) est le projeté de \(D\) sur \((AC)\) parallèlement à \((OC)\).
\(F\) est le projeté de \(D\) sur \((AB)\) parallèlement à \((OB)\).

        A
       / \
      /   \
     /     \
    B---D---C
        |
        O

Configuration : Triangle ABC, D sur (BC), O sur (AD)

1. Montrer que \(\overrightarrow{AC} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AE}\) et \(\overrightarrow{AB} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AF}\).
2. Montrer que \((EF) \parallel (BC)\).

Démonstration :

\(E\) est le projeté de \(D\) sur \((AC)\) parallèlement à \((OC)\). Par conservation du coefficient de colinéarité (Thalès vectoriel) appliqué à la projection de direction \((OC)\) sur \((AC)\) :

Puisque \(A, O, D\) sont alignés avec \(\overrightarrow{AO} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AD}\), leurs projetés \(A, ?, E\) vérifient \(\overrightarrow{AE} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AC}\) (car \(A\) est invariant, \(C\) est l'image de \(D\)).

De même, pour \(F\) sur \((AB)\) parallèlement à \((OB)\) : \(\overrightarrow{AF} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AB}\).

On a alors :

\[ \begin{aligned} \overrightarrow{EF} &= \overrightarrow{EA} + \overrightarrow{AF} = -\frac{3}{4}\overrightarrow{AC} + \frac{3}{4}\overrightarrow{AB} \\ &= \frac{3}{4}(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}) = \frac{3}{4}\overrightarrow{CB} = -\frac{3}{4}\overrightarrow{BC}. \end{aligned} \]

Donc \(\overrightarrow{EF}\) est colinéaire à \(\overrightarrow{BC}\) ; par conséquent \((EF) \parallel (BC)\).

📌 Résumé du cours

• Théorème de Thalès (direct) : \(\displaystyle \frac{AB}{AC} = \frac{A'B'}{A'C'}\)
• Réciproque de Thalès : Si \(\displaystyle \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}\) et points dans le même ordre, alors \((MN) \parallel (BC)\)
• Conservation du coefficient de colinéarité : La projection conserve le coefficient de colinéarité.