Calcul vectoriel dans le plan
11. Hdh
📐 Exercices vectoriels avancés (niveau supérieur)
Combinaisons, décomposition non orthogonale, courbes gauches et barycentres.
✏️ Exercice 4 – Décomposition vectorielle dans une base oblique
Soient deux vecteurs u et v non colinéaires (base du plan). Pour tout vecteur w, il existe des scalaires uniques α, β tels que :
\mathbf{w} = \alpha \mathbf{u} + \beta \mathbf{v}Déplacez les extrémités de u, v et w (tous partent de l'origine). Les coefficients α, β sont calculés en temps réel (résolution d’un système 2×2).
u : x y
v : x y
w : x y
🟦 u (bleu) | 🟩 v (vert) | 🔴 w (rouge) | 🟣 α·u (violet) | 🟠 β·v (orange) | La somme αu+βv (rouge clair) doit coïncider avec w.
✏️ Exercice 5 – Courbe paramétrée 3D : hélice circulaire
Courbe M(t) = (cos t, sin t, t/3). Projection 3D→2D avec angle variable. Affichage du vecteur tangent T(t) et du vecteur normal principal N(t).
🌀 Courbe (hélice) en gris. 🔵 Point M(t). 🟠 Vecteur tangent (dérivée). 🟣 Vecteur normal (accélération normale).
Formules : T(t) = (-sin t, cos t, 1/3) ; N(t) = (-cos t, -sin t, 0) (normalisé approximativement).
Formules : T(t) = (-sin t, cos t, 1/3) ; N(t) = (-cos t, -sin t, 0) (normalisé approximativement).
✏️ Exercice 6 – Barycentre et combinaison convexe
Soit un triangle ABC. Tout point M du plan s'écrit de façon unique : AM→ = \alpha \overrightarrow{AB} + \beta \overrightarrow{AC}.
Les coordonnées barycentriques sont (1-α-β, α, β). Ici on force α,β ≥ 0 et α+β ≤ 1 : alors M est à l'intérieur du triangle.
A : x y
B : x y
C : x y
🟦 Triangle ABC (bleu). 🔴 Point M = A + α·AB + β·AC. Les curseurs garantissent α,β ≥0 et α+β ≤1 → M reste à l'intérieur ou sur le bord.
Les coordonnées barycentriques sont (1-α-β, α, β).
Les coordonnées barycentriques sont (1-α-β, α, β).