Calcul vectoriel dans le plan
12. Ydh
📐 5 exercices : lois vectorielles fondamentales
Relation de Chasles, distributivité, loi du parallélogramme, associativité, loi des cosinus.
✏️ Loi 1 – Relation de Chasles
Pour trois points A, B, C : AB→ + BC→ = AC→.
A : x y
B : x y
C : x y
🟦 AB (bleu) + 🟩 BC (vert) = 🔴 AC (rouge). La somme vectorielle correspond au chemin direct de A à C.
✏️ Loi 2 – Distributivité : α·(a + b) = α·a + α·b
Soit deux vecteurs a et b, et un scalaire α.
a : x y
b : x y
🟦 a + b (cyan) | 🟠 α·(a+b) (orange) | 🟣 α·a (violet) + 🟢 α·b (vert clair) = orange. Les deux constructions coïncident → vérification de la distributivité.
✏️ Loi 3 – Règle du parallélogramme
La somme de deux vecteurs a et b est la diagonale du parallélogramme construit sur a et b.
a : x y
b : x y
🟦 a (bleu) | 🟩 b (vert) | 🔴 a+b (rouge) diagonale. Les côtés opposés sont parallèles et égaux.
✏️ Loi 4 – Associativité : (a+b)+c = a+(b+c)
L’ordre d’addition de trois vecteurs n’a pas d’importance.
a : x y
b : x y
c : x y
🟠 (a+b)+c (orange) | 🟣 a+(b+c) (violet) – les deux résultantes coïncident.
✏️ Loi 5 – Norme de la somme : |a+b|² = |a|²+|b|²+2|a||b|cosθ
Angle θ entre a et b.
a (bleu), b (vert), a+b (rouge). La norme calculée géométriquement (loi des cosinus) s’affiche ci-dessous.