Calcul vectoriel dans le plan
14. Udv
✏️ Correction d’exercices vectoriels
Toutes les formules sont écrites en MathML. Les figures illustrent les calculs.
📐 Sommes et différences de vecteurs
D’après la relation de Chasles : AB→+BC→=AC→
a) AM→+MN→
= \mover>AN→b) MP→+AM→
= \mover>AM→+MP→=\mover>AP→c) OP→+KO→+NK→
= \mover>KO→+OP→+NK→ =\mover>KP→+NK→ =\mover>NK→+KP→=\mover>NP→d) MN→+NM→
= \mover>MM→=\mover>0→e) MO→+PM→+OP→
= \mover>MO→+OP→+PM→ =\mover>MP→+PM→ =\mover>MM→=\mover>0→f) KN→-ON→+OK→
= \mover>KN→+NO→+OK→ =\mover>KO→+OK→ =\mover>KK→=\mover>0→📐 Propriété caractéristique du parallélogramme
Dire que ABCD est un parallélogramme revient à dire que :
\mover>AC→ = \mover>AB→ + \mover>AD→Démonstration :
\mover>AC→ = \mover>AB→ + \mover>AD→ \quad\Longleftrightarrow\quad \mover>AD→ + \mover>DC→ = \mover>AB→ + \mover>AD→ \Longrightarrow\quad \mover>DC→ = \mover>AB→Ce qui est la condition vectorielle du parallélogramme.
🔵 A, 🟢 B, 🔴 C, 🟡 D – Les vecteurs AB→ (bleu) et AD→ (vert) ont pour somme la diagonale AC→ (rouge).
📐 Soustraction de deux vecteurs
On utilise l’opposé : u→-v→=u→+(-v→).
⬅️ À gauche : u→ (bleu) et v→ (vert).
➡️ À droite : u→-v→ (rouge) = u→+(-v→) où -v→ est en pointillé orange.
➡️ À droite : u→-v→ (rouge) = u→+(-v→) où -v→ est en pointillé orange.