📚Arithmétique dans ℕ

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Date:	Tuesday, 9 June 2026, 12:23 AM

Description

Cours détaillé – Tronc Commun Sciences BIOF

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🔢 I. Diviseurs et multiples

📖 Définition :
Soient \(a\) et \(b\) deux entiers naturels avec \(b \neq 0\).
On dit que \(b\) divise \(a\) (ou que \(a\) est un multiple de \(b\)) s'il existe un entier naturel \(k\) tel que : \[ a = k \times b \] On note : \(b \mid a\).

📌 Exemples :
• \(3 \mid 12\) car \(12 = 4 \times 3\)
• \(5 \mid 20\) car \(20 = 4 \times 5\)
• \(7 \nmid 25\) car il n'existe pas d'entier \(k\) tel que \(25 = 7k\).

📐 Propriétés :
Pour tous entiers naturels \(a, b, c\) :

Si \(a \mid b\) et \(b \mid c\) alors \(a \mid c\) (transitivité)
Si \(a \mid b\) et \(a \mid c\) alors \(a \mid (b + c)\)
Si \(a \mid b\) alors \(a \mid (k \times b)\) pour tout entier \(k\)
\(1\) divise tout entier naturel
\(0\) est multiple de tout entier naturel

🔢 II. Nombres pairs et impairs

📖 Définitions :
• Un entier naturel \(n\) est pair s'il existe \(k \in \mathbb{N}\) tel que \(n = 2k\).
• Un entier naturel \(n\) est impair s'il existe \(k \in \mathbb{N}\) tel que \(n = 2k + 1\).

📌 Exemples :
• Nombres pairs : \(0, 2, 4, 6, 8, 10, \dots\)
• Nombres impairs : \(1, 3, 5, 7, 9, 11, \dots\)

**Parité d'une somme et d'un produit**
\(a\)	\(b\)	\(a + b\)	\(a \times b\)
pair	pair	pair	pair
pair	impair	impair	pair
impair	pair	impair	pair
impair	impair	pair	impair

🔢 III. Nombres premiers

📖 Définition :
Un entier naturel \(p \geq 2\) est dit premier si ses seuls diviseurs positifs sont \(1\) et \(p\).

📌 Exemples :
• Les premiers nombres premiers : \(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, \dots\)
• \(1\) n'est pas premier (il a un seul diviseur).
• \(2\) est le seul nombre premier pair.

📐 Théorème fondamental de l'arithmétique :
Tout entier naturel \(n \geq 2\) se décompose de manière unique (à l'ordre près) en produit de facteurs premiers. \[ n = p_1^{\alpha_1} \times p_2^{\alpha_2} \times \dots \times p_k^{\alpha_k} \] où \(p_1, p_2, \dots, p_k\) sont des nombres premiers distincts.

📌 Exemples de décomposition :
• \(12 = 2^2 \times 3\)
• \(18 = 2 \times 3^2\)
• \(60 = 2^2 \times 3 \times 5\)
• \(100 = 2^2 \times 5^2\)

🔢 IV. PGCD et PPCM

📖 Définition :
Soient \(a\) et \(b\) deux entiers naturels non nuls.
• Le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) de \(a\) et \(b\) est le plus grand entier qui divise à la fois \(a\) et \(b\).
• Le PPCM (Plus Petit Commun Multiple) de \(a\) et \(b\) est le plus petit entier (non nul) qui est multiple à la fois de \(a\) et \(b\).

📐 Méthode :
Si \(a = p_1^{\alpha_1} \times \dots \times p_k^{\alpha_k}\) et \(b = p_1^{\beta_1} \times \dots \times p_k^{\beta_k}\), alors : \[ \text{PGCD}(a, b) = p_1^{\min(\alpha_1, \beta_1)} \times \dots \times p_k^{\min(\alpha_k, \beta_k)} \] \[ \text{PPCM}(a, b) = p_1^{\max(\alpha_1, \beta_1)} \times \dots \times p_k^{\max(\alpha_k, \beta_k)} \]

📌 Exemple :
\(a = 60 = 2^2 \times 3 \times 5\) et \(b = 84 = 2^2 \times 3 \times 7\)
• \(\text{PGCD}(60, 84) = 2^2 \times 3 = 12\)
• \(\text{PPCM}(60, 84) = 2^2 \times 3 \times 5 \times 7 = 420\)

📐 Relation fondamentale : \[ \text{PGCD}(a, b) \times \text{PPCM}(a, b) = a \times b \]

🔢 V. Nombres premiers entre eux

📖 Définition :
Deux entiers naturels \(a\) et \(b\) sont dits premiers entre eux si leur PGCD est égal à 1.

📌 Exemples :
• \(8\) et \(15\) sont premiers entre eux car \(\text{PGCD}(8, 15) = 1\).
• \(12\) et \(18\) ne sont pas premiers entre eux car \(\text{PGCD}(12, 18) = 6\).

🔢 VI. Critères de divisibilité

Divisible par	Condition
2	Le chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8
3	La somme des chiffres est divisible par 3
4	Le nombre formé par les deux derniers chiffres est divisible par 4
5	Le chiffre des unités est 0 ou 5
9	La somme des chiffres est divisible par 9
10	Le chiffre des unités est 0

📌 Exemples :
• \(378\) est divisible par 2 (finit par 8) et par 3 (\(3+7+8=18\) divisible par 3)
• \(124\) est divisible par 4 (\(24\) divisible par 4)
• \(525\) est divisible par 5 (finit par 5) et par 3 (\(5+2+5=12\) divisible par 3)

🔢 VII. Exercices résolus

📌 Exercice 1 : Décomposer 360 en produit de facteurs premiers.
Solution : \(360 = 36 \times 10 = (6 \times 6) \times (2 \times 5) = (2 \times 3)^2 \times 2 \times 5 = 2^3 \times 3^2 \times 5\)

📌 Exercice 2 : Calculer PGCD(360, 126) et PPCM(360, 126).
Solution :
\(360 = 2^3 \times 3^2 \times 5\)
\(126 = 2 \times 3^2 \times 7\)
\(\text{PGCD} = 2 \times 3^2 = 18\)
\(\text{PPCM} = 2^3 \times 3^2 \times 5 \times 7 = 2520\)

📌 Exercice 3 : Montrer que \(n^2 - n\) est toujours pair pour tout entier \(n\).
Solution : \(n^2 - n = n(n-1)\). Le produit de deux entiers consécutifs est toujours pair.

🔢 Arithmétique – Cours complet et exercices résolus

1. 📚Exercices – Arithmétique dans ℕ
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1. 📚Exercices – Arithmétique dans ℕ

Tronc Commun Sciences BIOF

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📌 Exercice 1

Soit \( n \) un entier naturel non nul.

1. Montrer que le nombre \( n(n+1) \) est pair.

2. Déterminer la parité des nombres suivants :

\[ a = 2n^2 + 13 \quad , \quad b = n^3 - n \] \[ c = (2n+1)^7 \quad , \quad d = n^2 + 3n + 1 \]

📌 Exercice 2

Étudier la parité des nombres :

\[ 2^9 + 6^9 \quad ; \quad 17^3 - 5^3 \quad ; \quad 351 \times 208 \quad ; \quad 37013 \times 1375 \]

📌 Exercice 3

Soit \( n \) un entier naturel. Étudier la parité des nombres :

\[ 12n + 8 \quad ; \quad 2n + 5 \quad ; \quad 4n + 6 \quad ; \quad 8n - 7 \quad (n \geq 1) \] \[ 6n + 3 \quad ; \quad 2n^2 + 8n + 11 \quad ; \quad n^2 + n + 2006 \quad ; \quad n^3 - n + 2 \]

📌 Exercice 4

1. Déterminer les diviseurs des nombres : 18, 38, 75 et 60.

2. Déterminer cinq multiples de 3, 5, 7, 11, 15.

📌 Exercice 5

Mettez \( \times \) dans la case qui convient :

Nombres	par 2	par 3	par 4	par 5	par 9
7524
2805
9360
5005005
91328
1010001

✅ Corrigé

Exercice 1 - 1. \( n(n+1) \) est le produit de deux entiers consécutifs, donc l'un des deux est pair, donc le produit est pair.

Exercice 1 - 2. \( a = 2n^2 + 13 \) : \( 2n^2 \) est pair, 13 est impair → \( a \) est impair.
\( b = n^3 - n = n(n-1)(n+1) \) : produit de trois entiers consécutifs → toujours multiple de 2 → \( b \) est pair.
\( c = (2n+1)^7 \) : \( 2n+1 \) est impair → impair puissance 7 reste impair → \( c \) est impair.
\( d = n^2 + 3n + 1 \) : \( n^2 \) et \( 3n \) ont même parité que \( n \). Si \( n \) pair : pair + pair + 1 = impair. Si \( n \) impair : impair + impair + 1 = impair. Donc \( d \) toujours impair.

Exercice 2. \( 2^9 + 6^9 \) : pair + pair = pair
\( 17^3 - 5^3 \) : impair - impair = pair
\( 351 \times 208 \) : impair × pair = pair
\( 37013 \times 1375 \) : impair × impair = impair

Exercice 3. \( 12n + 8 \) : pair + pair = pair
\( 2n + 5 \) : pair + impair = impair
\( 4n + 6 \) : pair + pair = pair
\( 8n - 7 \) : pair - impair = impair
\( 6n + 3 \) : pair + impair = impair
\( 2n^2 + 8n + 11 \) : pair + pair + impair = impair
\( n^2 + n + 2006 \) : \( n(n+1) \) est pair + 2006 (pair) = pair
\( n^3 - n + 2 \) : \( n(n-1)(n+1) \) est pair + 2 (pair) = pair

Exercice 4 - 1. \( D_{18} = \{1, 2, 3, 6, 9, 18\} \)
\( D_{38} = \{1, 2, 19, 38\} \)
\( D_{75} = \{1, 3, 5, 15, 25, 75\} \)
\( D_{60} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60\} \)

Exercice 4 - 2. Multiples de 3 : 3, 6, 9, 12, 15
Multiples de 5 : 5, 10, 15, 20, 25
Multiples de 7 : 7, 14, 21, 28, 35
Multiples de 11 : 11, 22, 33, 44, 55
Multiples de 15 : 15, 30, 45, 60, 75

Exercice 5.

Nombres	par 2	par 3	par 4	par 5	par 9
7524	✓	✓	✓		✓
2805		✓		✓
9360	✓	✓	✓	✓	✓
5005005		✓		✓
91328	✓		✓
1010001		✓

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Exercices corrigés – Tronc commun Sciences BIOF

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✅ Exercice 8

Énoncé : Soit \(A = n^4 - 1\) avec \(n \in \mathbb{N}^*\).

Factoriser \(A\).
En déduire quatre diviseurs de \(A\).

Corrigé :
1. \(A = n^4 - 1 = (n^2 - 1)(n^2 + 1) = (n - 1)(n + 1)(n^2 + 1)\)

2. Donc \(n - 1\) et \(n^2 + 1\) sont bien des diviseurs de \(A\).
Quatre autres diviseurs : \(n + 1\), \(n^2 - 1\), \((n - 1)(n + 1) = n^2 - 1\), ainsi que \((n^2 - 1)(n + 1)\) et \((n - 1)(n^2 + 1)\).
Exemples : \(1\), \(n - 1\), \(n + 1\), \(n^2 - 1\).

✅ Exercice 9

Énoncé : Soit \(A = (x + 2y)^2 - x^2\) avec \(x, y \in \mathbb{N}\).

Simplifier \(A\).
Montrer que \(A\) est pair.
Montrer que \(A\) est multiple de 4.

Corrigé :
1. \(A = (x + 2y)^2 - x^2 = (x^2 + 4xy + 4y^2) - x^2 = 4y(x + y)\)
\(x, y \in \mathbb{N}\) donc \(4y(x + y) \in \mathbb{N}\).

2. \(A = 4y(x + y) = 2 \times [2y(x + y)]\) → multiple de 2 → \(A\) est pair.

3. \(A = 4y(x + y)\) est multiple de 4 → \(A\) divisible par 4.

✅ Exercice 10

Énoncé : Donner la liste des multiples de 8 et de 7 inférieurs à 76.

Corrigé :
1. Multiples de 8 inférieurs à 76 : 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72.

2. Multiples de 7 inférieurs à 76 : 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70.

✅ Exercice 11

Énoncé : Étudier la parité des expressions suivantes :

\(A = (2n + 5)(2n + 2)\)
\(B = (3n + 5)(3n + 4)\)
\(C = (3n + 5)(2n + 1)\)

Corrigé :
• \(A = (2n + 5)(2n + 2)\) : \(2n + 2\) est pair → produit pair → \(A\) est pair.

• \(B = (3n + 5)(3n + 4)\) : produit de deux entiers consécutifs → l'un est pair → \(B\) est pair.

• \(C = (3n + 5)(2n + 1)\) : \(2n + 1\) est impair, \(3n + 5\) peut être pair ou impair → à étudier selon \(n\).

✅ Exercice 12

Énoncé : Soit le nombre \(\overline{23a4}\).

Déterminer \(a\) pour qu'il soit divisible par 3.
Déterminer \(a\) pour qu'il soit divisible par 3 mais pas par 9.

Corrigé :
a) Somme des chiffres : \(2 + 3 + a + 4 = 9 + a\).
Divisible par 3 ⇔ \(9 + a\) multiple de 3 ⇔ \(a\) multiple de 3.
Donc \(a \in \{0, 3, 6, 9\}\).

b) Divisible par 3 mais pas par 9 : \(9 + a\) multiple de 3 mais pas de 9.
• \(a = 0\) → \(9 + 0 = 9\) divisible par 9 → exclu.
• \(a = 3\) → \(9 + 3 = 12\) → OK.
• \(a = 6\) → \(9 + 6 = 15\) → OK.
• \(a = 9\) → \(9 + 9 = 18\) divisible par 9 → exclu.
Donc \(a \in \{3, 6\}\).

📝 Formulaire à retenir

• \(a \mid b\) ⇔ il existe \(k \in \mathbb{Z}\) tel que \(b = k \times a\)
• Divisible par 2 ⇔ dernier chiffre pair
• Divisible par 3 ⇔ somme des chiffres multiple de 3
• Divisible par 4 ⇔ les deux derniers chiffres forment un multiple de 4
• Divisible par 5 ⇔ dernier chiffre 0 ou 5
• Divisible par 9 ⇔ somme des chiffres multiple de 9

🔢 Exercices corrigés – Divisibilité et multiples

3. 📚Exercices – Arithmétique dans ℕ

Tronc Commun Sciences BIOF

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📌 Exercice 13

Soit \( n \) un entier naturel supérieur ou égal à 3 tel que \( n - 3 \) est multiple de 4.

Montrer que le nombre \( n^2 + 6n + 5 \) est multiple de 16.

📌 Exercice 14

Soit \( p \) un nombre premier tel que \( p > 2 \).

1. Montrer que \( p^2 - 1 \) est multiple de 8.

2. En déduire que \( 16 \) divise \( p^4 - 1 \).

📌 Exercice 15

On considère les deux nombres \( x = 1500 \) et \( y = 840 \).

1. Décomposer les nombres \( x \) et \( y \) en facteurs premiers.

2. Déterminer \( x \land y \) et \( x \lor y \).

3. Simplifier les nombres \( \sqrt{x} \) et \( \dfrac{x}{y} \).

📌 Exercice 16

Déterminer toutes les valeurs possibles de l'entier naturel \( n \) tel que

\[ \frac{n + 13}{n + 3} \]

soit un nombre entier naturel.

📌 Exercice 17

Soit \( n \) un entier naturel.

1. a) Développer le nombre : \( (n + 1)^2 - n^2 \).

1. b) En déduire que tout entier naturel impair est la différence des carrés de deux nombres consécutifs.

2. Appliquer le résultat obtenu pour les nombres 19, 47, 53.

📌 Exercice 18

Montrer que pour \( n \in \mathbb{N} : (n + 1) \land (n + 2) = 1 \).

✅ Corrigé

Exercice 13. \( n - 3 = 4k \) ⇒ \( n = 4k + 3 \).
\( n^2 + 6n + 5 = (4k+3)^2 + 6(4k+3) + 5 \)
\( = 16k^2 + 24k + 9 + 24k + 18 + 5 \)
\( = 16k^2 + 48k + 32 = 16(k^2 + 3k + 2) \).
Donc multiple de 16.

Exercice 14 - 1. \( p > 2 \) premier ⇒ \( p \) est impair ⇒ \( p = 2k + 1 \).
\( p^2 - 1 = (2k+1)^2 - 1 = 4k^2 + 4k = 4k(k+1) \).
\( k(k+1) \) est pair (produit de deux entiers consécutifs) donc multiple de 2.
Donc \( p^2 - 1 = 8 \times q \) ⇒ multiple de 8.

Exercice 14 - 2. \( p^4 - 1 = (p^2 - 1)(p^2 + 1) \).
\( p^2 - 1 \) multiple de 8 et \( p^2 + 1 \) est pair (car \( p^2 \) impair).
Donc \( p^4 - 1 \) multiple de \( 8 \times 2 = 16 \).

Exercice 15 - 1. \( 1500 = 15 \times 100 = (3 \times 5) \times (10^2) = 3 \times 5 \times (2 \times 5)^2 = 2^2 \times 3 \times 5^3 \).
\( 840 = 84 \times 10 = (4 \times 21) \times 10 = (2^2 \times 3 \times 7) \times (2 \times 5) = 2^3 \times 3 \times 5 \times 7 \).

Exercice 15 - 2. \( x \land y = \text{PGCD} = 2^2 \times 3 \times 5 = 60 \).
\( x \lor y = \text{PPCM} = 2^3 \times 3 \times 5^3 \times 7 = 21000 \).

Exercice 15 - 3. \( \sqrt{x} = \sqrt{1500} = \sqrt{2^2 \times 3 \times 5^3} = 2 \times 5 \times \sqrt{3 \times 5} = 10\sqrt{15} \).
\( \frac{x}{y} = \frac{1500}{840} = \frac{150}{84} = \frac{25}{14} \).

Exercice 16. \( \frac{n+13}{n+3} = 1 + \frac{10}{n+3} \in \mathbb{N} \) ⇒ \( n+3 \) divise 10.
\( n+3 \in \{1, 2, 5, 10\} \) mais \( n \in \mathbb{N} \) ⇒ \( n+3 \geq 3 \).
Donc \( n+3 = 5 \) ou \( 10 \) ⇒ \( n = 2 \) ou \( n = 7 \).

Exercice 17 - 1.a. \( (n+1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1 \) (nombre impair).

Exercice 17 - 1.b. Tout nombre impair \( 2n+1 \) s'écrit \( (n+1)^2 - n^2 \), différence des carrés de deux entiers consécutifs.

Exercice 17 - 2. \( 19 = 2 \times 9 + 1 = 10^2 - 9^2 \)
\( 47 = 2 \times 23 + 1 = 24^2 - 23^2 \)
\( 53 = 2 \times 26 + 1 = 27^2 - 26^2 \)

Exercice 18. \( n+1 \) et \( n+2 \) sont deux entiers consécutifs, donc premiers entre eux.
\( \text{PGCD}(n+1, n+2) = 1 \).

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