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Ensembles de nombres ℕ, ℤ, ℚ, 𝔻, ℝ

Site: seedocx - Education
Cours: 📚 Les ensembles de nombres ℕ, ℤ, ℚ, 𝔻, ℝ
Livre: Ensembles de nombres ℕ, ℤ, ℚ, 𝔻, ℝ
Imprimé par: Visiteur anonyme
Date: lundi 27 juillet 2026, 21:29

Table des matières

1. 📚 Inclusion des ensembles de nombres

 

Inclusion des ensembles de nombres
ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ
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📌 Remarque fondamentale
⚠️ Remarque :
Tous les nombres de l'ensemble des entiers naturels \( \mathbb{N} \) (nombres entiers positifs) appartiennent à l'ensemble des entiers relatifs \( \mathbb{Z} \).
📖 Ceci se note : \[ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \] (l'ensemble \( \mathbb{N} \) est inclus dans l'ensemble \( \mathbb{Z} \))
🔗 Chaîne des inclusions
\[ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \]
📖 Lecture :
  • \( \mathbb{N} \) est inclus dans \( \mathbb{Z} \)
  • \( \mathbb{Z} \) est inclus dans \( \mathbb{D} \)
  • \( \mathbb{D} \) est inclus dans \( \mathbb{Q} \)
  • \( \mathbb{Q} \) est inclus dans \( \mathbb{R} \)
📊 Diagramme des ensembles
ℕ : nombres entiers naturels
⊂
ℤ : nombres entiers relatifs
⊂
𝔻 : nombres décimaux
⊂
ℚ : nombres rationnels
⊂
ℝ : nombres réels
📌 Exemples concrets
✅ 5 ∈ ℕ :
Donc \( 5 \in \mathbb{Z} \), \( 5 \in \mathbb{D} \), \( 5 \in \mathbb{Q} \), \( 5 \in \mathbb{R} \)
✅ -3 ∈ ℤ :
Donc \( -3 \in \mathbb{D} \), \( -3 \in \mathbb{Q} \), \( -3 \in \mathbb{R} \)
Mais \( -3 \notin \mathbb{N} \)
✅ 0,5 ∈ 𝔻 :
Donc \( 0,5 \in \mathbb{Q} \), \( 0,5 \in \mathbb{R} \)
Mais \( 0,5 \notin \mathbb{Z} \), \( 0,5 \notin \mathbb{N} \)
✅ \( \frac{1}{3} \) ∈ ℚ :
Donc \( \frac{1}{3} \in \mathbb{R} \)
Mais \( \frac{1}{3} \notin \mathbb{D} \), \( \frac{1}{3} \notin \mathbb{Z} \), \( \frac{1}{3} \notin \mathbb{N} \)
✅ \( \pi \) ∈ ℝ :
Mais \( \pi \notin \mathbb{Q} \), \( \pi \notin \mathbb{D} \), \( \pi \notin \mathbb{Z} \), \( \pi \notin \mathbb{N} \)
📋 Tableau récapitulatif
Ensemble Notation Exemples
Naturels \( \mathbb{N} \) 0, 1, 2, 3, 4, ...
Relatifs \( \mathbb{Z} \) ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...
Décimaux \( \mathbb{D} \) 0,5 ; -1,25 ; 3,14 ; ...
Rationnels \( \mathbb{Q} \) \( \frac{1}{3} \) ; \( \frac{2}{7} \) ; \( -\frac{5}{2} \)
Réels \( \mathbb{R} \) π, √2, √5, tous les précédents
 
Ensembles de nombres ℕ, ℤ, ℚ, 𝔻, ℝ
 
 
📌 Cours sur l'inclusion des ensembles – Tronc Commun Sciences BIOF

2. 📚 Exercices – Ensembles de nombres

Tronc Commun Sciences BIOF


📌 Exercice 1

Indiquer, dans chacun des cas, si le nombre appartient ou pas à chacun des ensembles proposés en rajoutant dans chaque case : ✓ (appartient) ou ✗ (n'appartient pas).
c

 

📌 Exercice 2

Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.

1. Tout nombre réel est un nombre rationnel.
2. 0,5 est un nombre rationnel.
3. Le carré d’un nombre irrationnel n’est jamais rationnel.
4. Il n’existe aucun nombre réel qui ne soit pas un nombre décimal.
5. Le quotient de deux nombres décimaux non nuls est également un nombre décimal.
6. L’inverse d’un nombre décimal peut être un nombre entier.
7. Il existe deux nombres rationnels dont la somme est un nombre entier.
✅ Corrigé
Exercice 1 – Corrigé :
Nombre ℕ ℤ 𝔻 ℚ ℝ
3 ✓ ✓ ✓ ✓ ✓
18/3 = 6 ✓ ✓ ✓ ✓ ✓
2 × 10⁻² = 0,02 ✗ ✗ ✓ ✓ ✓
22/5 = 4,4 ✗ ✗ ✓ ✓ ✓
28/34 = 14/17 ✗ ✗ ✗ ✓ ✓
5/6 ✗ ✗ ✗ ✓ ✓
π/5 ✗ ✗ ✗ ✗ ✓
√1,44 = 1,2 ✗ ✗ ✓ ✓ ✓
-√64 = -8 ✗ ✓ ✓ ✓ ✓
Exercice 2 – Corrigé :
1. ✗ Faux – Exemple : π ∈ ℝ mais π ∉ ℚ.
2. ✓ Vrai – 0,5 = 1/2 ∈ ℚ.
3. ✗ Faux – Contre-exemple : √2 est irrationnel mais (√2)² = 2 ∈ ℚ.
4. ✗ Faux – Contre-exemple : π ∈ ℝ mais π ∉ 𝔻.
5. ✗ Faux – Contre-exemple : 1/3 = 0,333... ∈ ℚ mais ∉ 𝔻.
6. ✓ Vrai – Exemple : l'inverse de 0,5 est 2 (entier).
7. ✓ Vrai – Exemple : 1/3 + 2/3 = 1 (entier).
📌 Exercices sur les ensembles de nombres – Tronc Commun Sciences BIOF

3. 📚 Exercices corrigés

Racines carrées et calculs – Tronc Commun Sciences BIOF

✅ Exercice 1:

Énoncé : \( A = \sqrt{7} - \sqrt{33} - \sqrt{7} + \sqrt{33} \) et \( B = \sqrt{\frac{3 - \sqrt{5}}{2}} - \sqrt{\frac{3 + \sqrt{3}}{2}} \).

1) Déterminer le signe de \( A \) et \( B \).
Pour \( A \) : \( \sqrt{7} - \sqrt{7} = 0 \) et \( -\sqrt{33} + \sqrt{33} = 0 \), donc \( A = 0 \).
Pour \( B \) : \( \sqrt{\frac{3 - \sqrt{5}}{2}} \approx \sqrt{\frac{3 - 2,236}{2}} = \sqrt{\frac{0,764}{2}} = \sqrt{0,382} \approx 0,618 \)
\( \sqrt{\frac{3 + \sqrt{3}}{2}} \approx \sqrt{\frac{3 + 1,732}{2}} = \sqrt{\frac{4,732}{2}} = \sqrt{2,366} \approx 1,538 \)
Donc \( B \approx 0,618 - 1,538 = -0,92 < 0 \) → \( B \) est négatif.
2) Calculer \( A^2 \) et \( B^2 \).
\( A^2 = 0^2 = 0 \)
\( B^2 = \left( \sqrt{\frac{3 - \sqrt{5}}{2}} - \sqrt{\frac{3 + \sqrt{3}}{2}} \right)^2 \)
\( B^2 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2} - 2\sqrt{\frac{(3 - \sqrt{5})(3 + \sqrt{3})}{4}} \)
\( = \frac{6 - \sqrt{5} + \sqrt{3}}{2} - \sqrt{(3 - \sqrt{5})(3 + \sqrt{3})} \)
3) En déduire la valeur de \( A \) et \( B \).
\( A = 0 \) (car addition nulle).
\( B \) est négatif et sa valeur exacte est \( -\sqrt{\frac{3 + \sqrt{3}}{2} - \frac{3 - \sqrt{5}}{2}} \).

✅ Exercice 2:

Énoncé : Calculer \( B = \frac{1}{\sqrt{1 + \sqrt{2}}} + \frac{1}{\sqrt{2 + \sqrt{3}}} + \frac{1}{\sqrt{3 + \sqrt{4}}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{99 + \sqrt{100}}} \).

On utilise la quantité conjuguée :
\( \frac{1}{\sqrt{n + \sqrt{n+1}}} = \frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{(n+1) - n} = \sqrt{n+1} - \sqrt{n} \)
Donc chaque terme devient :
\( B = (\sqrt{2} - \sqrt{1}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + (\sqrt{4} - \sqrt{3}) + \cdots + (\sqrt{100} - \sqrt{99}) \)
Tous les termes se simplifient (télescopage) :
\( B = \sqrt{100} - \sqrt{1} = 10 - 1 = 9 \)
\( B = 9 \)

✅ Exercice 3:

Énoncé : \( n \) est un entier naturel non nul.

1) Déterminer \( a \) et \( b \) tels que \( \frac{1}{n(n+1)} = \frac{a}{n} + \frac{b}{n+1} \).
\( \frac{a}{n} + \frac{b}{n+1} = \frac{a(n+1) + bn}{n(n+1)} = \frac{(a+b)n + a}{n(n+1)} \)
On identifie avec \( \frac{1}{n(n+1)} \) : \( a+b = 0 \) et \( a = 1 \).
Donc \( a = 1 \), \( b = -1 \).
\( \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \)
2) En déduire \( A = \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \cdots + \frac{1}{99 \times 100} \).
\( A = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{99} - \frac{1}{100}\right) \)
Télescopage : tous les termes s'annulent sauf le premier et le dernier.
\( A = 1 - \frac{1}{100} = \frac{99}{100} \)

✅ Exercice 4 :

Énoncé : Développement et simplification.

1) Développer :
\( (\sqrt{5} + 2)^2 = 5 + 4\sqrt{5} + 4 = 9 + 4\sqrt{5} \)
\( (3 - \sqrt{2})^2 = 9 - 6\sqrt{2} + 2 = 11 - 6\sqrt{2} \)
\( (3 - \sqrt{5})^2 = 9 - 6\sqrt{5} + 5 = 14 - 6\sqrt{5} \)
2) Simplifier :
\( \sqrt{9 + 4\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5} + 2)^2} = \sqrt{5} + 2 \) (car \( \sqrt{5} + 2 > 0 \))
\( \sqrt{11 - 6\sqrt{2}} = \sqrt{(3 - \sqrt{2})^2} = 3 - \sqrt{2} \) (car \( 3 - \sqrt{2} > 0 \))
3) Calculer :
\( A = \frac{1}{\sqrt{9 + 4\sqrt{5}}} - \frac{1}{\sqrt{9 - 4\sqrt{5}}} \)
On a \( \sqrt{9 - 4\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5} - 2)^2} = \sqrt{5} - 2 \) (car \( \sqrt{5} - 2 > 0 \))
\( A = \frac{1}{\sqrt{5} + 2} - \frac{1}{\sqrt{5} - 2} = \frac{(\sqrt{5} - 2) - (\sqrt{5} + 2)}{(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2)} = \frac{-4}{5 - 4} = -4 \)
4) Simplifier :
\( \sqrt{12 + 2\sqrt{20}} = \sqrt{12 + 2\sqrt{4 \times 5}} = \sqrt{12 + 4\sqrt{5}} \)
On cherche \( a + b = 12 \) et \( 2\sqrt{ab} = 4\sqrt{5} \Rightarrow \sqrt{ab} = 2\sqrt{5} \Rightarrow ab = 20 \)
Les solutions sont \( a = 10 \), \( b = 2 \) (ou inversement)
\( \sqrt{12 + 2\sqrt{20}} = \sqrt{10} + \sqrt{2} \)
\( \sqrt{9 - 2\sqrt{20}} = \sqrt{9 - 2\sqrt{4 \times 5}} = \sqrt{9 - 4\sqrt{5}} \)
\( a + b = 9 \), \( ab = 20 \) → \( a = 5 \), \( b = 4 \)
\( \sqrt{9 - 2\sqrt{20}} = \sqrt{5} - \sqrt{4} = \sqrt{5} - 2 \) (car \( \sqrt{5} > 2 \))
\( \sqrt{17 + 2\sqrt{30}} \) : \( a + b = 17 \), \( ab = 30 \) → \( a = 15 \), \( b = 2 \)
\( \sqrt{17 + 2\sqrt{30}} = \sqrt{15} + \sqrt{2} \)
\( \sqrt{16 + 6\sqrt{7}} = \sqrt{16 + 2\sqrt{63}} \) : \( a + b = 16 \), \( ab = 63 \) → \( a = 9 \), \( b = 7 \)
\( \sqrt{16 + 6\sqrt{7}} = \sqrt{9} + \sqrt{7} = 3 + \sqrt{7} \)

✅ Exercice 5:

Énoncé : \( X = \sqrt{\frac{12 - \sqrt{23}}{2}} + \sqrt{\frac{12 + \sqrt{23}}{2}} \). Montrer que \( X = \sqrt{\frac{13}{2}} \).

On calcule \( X^2 \) :
\( X^2 = \frac{12 - \sqrt{23}}{2} + \frac{12 + \sqrt{23}}{2} + 2\sqrt{\frac{(12 - \sqrt{23})(12 + \sqrt{23})}{4}} \)
\( X^2 = \frac{24}{2} + 2\sqrt{\frac{144 - 23}{4}} = 12 + 2\sqrt{\frac{121}{4}} \)
\( X^2 = 12 + 2 \times \frac{11}{2} = 12 + 11 = 23 \)
Donc \( X = \sqrt{23} \) ? Attentions :
\( X^2 = \frac{12 - \sqrt{23}}{2} + \frac{12 + \sqrt{23}}{2} + 2\sqrt{\frac{144 - 23}{4}} \)
\( = 12 + 2 \times \frac{\sqrt{121}}{2} = 12 + 11 = 23 \)
Or \( X > 0 \), donc \( X = \sqrt{23} \).
Mais l'énoncé dit \( X = \sqrt{\frac{13}{2}} \) ? Vérifions :
\( \sqrt{\frac{13}{2}} = \sqrt{6,5} \approx 2,55 \)
\( \sqrt{23} \approx 4,80 \) — il y a une incohérence.
Reprenons : si \( X = \sqrt{\frac{12 - \sqrt{23}}{2}} + \sqrt{\frac{12 + \sqrt{23}}{2}} \),
\( X^2 = 12 + 2\sqrt{\frac{144 - 23}{4}} = 12 + 2 \times \frac{11}{2} = 23 \)
Donc \( X = \sqrt{23} \), et non \( \sqrt{13/2} \).
L'énoncé contient probablement une erreur typographique.
 

4. 📚 Exercices corrigés

Ensembles de nombres et calculs – Tronc Commun Sciences BIOF

✅ Exercice 1 – Symboles ∈ ou ∉

Compléter avec ∈ ou ∉ :

\(0 \ldots \mathbb{Z}^*\) \(0 \notin \mathbb{Z}^*\) (car \(\mathbb{Z}^*\) exclut 0)
\(\sqrt{97} \ldots \mathbb{R}^-\) \(\sqrt{97} \notin \mathbb{R}^-\) (car \(\sqrt{97} > 0\))
\(\frac{1}{12} \ldots \mathbb{D}\) \(\frac{1}{12} \in \mathbb{D}\) (car \(1/12 = 0,08333...\) décimal)
\(\frac{2}{3} \ldots \mathbb{Q}\) \(\frac{2}{3} \in \mathbb{Q}\) (rationnel)
\(4,1 \ldots \mathbb{Z}\) \(4,1 \notin \mathbb{Z}\) (n'est pas entier)
\(2 \ldots \mathbb{N}\) \(2 \in \mathbb{N}\)
\(-301 \ldots \mathbb{Q}^+\) \(-301 \notin \mathbb{Q}^+\) (négatif)
\(433 \ldots \mathbb{Z}^*\) \(433 \in \mathbb{Z}^*\)
\(0 \ldots \mathbb{N}\) \(0 \in \mathbb{N}\)
\(5,33 \ldots \mathbb{Q}\) \(5,33 = \frac{533}{100} \in \mathbb{Q}\)
\(5,33 \ldots \mathbb{D}\) \(5,33 \in \mathbb{D}\) (décimal)
\(\frac{17}{2} \ldots \mathbb{D}^+\) \(\frac{17}{2} = 8,5 \in \mathbb{D}^+\)
\(\sqrt{7} \ldots \mathbb{R}^-\) \(\sqrt{7} \notin \mathbb{R}^-\) (positif)
\(\frac{n(n+1)}{2} \ldots \mathbb{N}\) \(\frac{n(n+1)}{2} \in \mathbb{N}\) (somme des n premiers entiers)
\(\sqrt{16} + 2\sqrt{9} \ldots \mathbb{Q}\) \(4 + 2 \times 3 = 10 \in \mathbb{Q}\)

✅ Exercice 2 – Symboles ⊂ ou ⊄

\(\mathbb{R}^- \ldots \mathbb{R}^+\) \(\mathbb{R}^- \not\subset \mathbb{R}^+\)
\(\{0,2,3\} \ldots \mathbb{Z}\) \(\{0,2,3\} \subset \mathbb{Z}\)
\(\{-1\} \ldots \mathbb{Z}^+\) \(\{-1\} \not\subset \mathbb{Z}^+\)
\(\{1,3\} \ldots \mathbb{Z}\) \(\{1,3\} \subset \mathbb{Z}\)
\(\mathbb{N} \ldots \mathbb{Q}^-\) \(\mathbb{N} \not\subset \mathbb{Q}^-\) (les naturels sont positifs)
\(\mathbb{N} \ldots \mathbb{R}\) \(\mathbb{N} \subset \mathbb{R}\)
\(\mathbb{N} \ldots \mathbb{Z}\) \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}\)
\(\mathbb{N} \ldots \mathbb{D}^+\) \(\mathbb{N} \subset \mathbb{D}^+\)
\(\mathbb{R}^- \ldots \mathbb{Z}\) \(\mathbb{R}^- \not\subset \mathbb{Z}\)
\(\mathbb{N} \ldots \mathbb{Z}^+\) \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}^+\)
\(\mathbb{N}^* \ldots \mathbb{Z}^*\) \(\mathbb{N}^* \subset \mathbb{Z}^*\)

✅ Exercice 3 – Écriture en extension

\(\{-1\} \cap \mathbb{Z}^+\) \(\emptyset\) (aucun élément commun)
\(\{1,3\} \cap \mathbb{Z}\) \(\{1,3\}\)
\(\mathbb{N} \cap \mathbb{Q}^-\) \(\{0\}\)
\(\mathbb{N} \cap \mathbb{R}\) \(\mathbb{N}\)
\(\mathbb{N} \cap \mathbb{Z}\) \(\mathbb{N}\)
\(\mathbb{N} \cap \mathbb{R}^*\) \(\mathbb{N}^*\)
\(\mathbb{D} \cap \mathbb{Q}\) \(\mathbb{D}\)
\(\mathbb{Z}^- \cap \mathbb{Z}^*\) \(\mathbb{Z}^- \setminus \{0\}\)
\(\mathbb{R} \cap \mathbb{R}^+\) \(\mathbb{R}^+\)
\(\{0,2,3\} \cap \mathbb{Z}\) \(\{0,2,3\}\)
\(\mathbb{N} \cap \mathbb{D}^+\) \(\mathbb{N}\)
\(\mathbb{R} \cap \mathbb{Z}\) \(\mathbb{Z}\)
\(\mathbb{N} \cap \mathbb{Z}^+\) \(\mathbb{N}\)
\(\mathbb{N}^* \cap \mathbb{Z}^*\) \(\mathbb{N}^*\)
\(\{-1\} \cup \{1,3,4\}\) \(\{-1,1,3,4\}\)
\(\{1,3\} \cup \mathbb{Z}\) \(\mathbb{Z}\)
\(\mathbb{N} \cup \mathbb{Q}^*\) \(\mathbb{Q}\)
\(\mathbb{N} \cup \mathbb{R}\) \(\mathbb{R}\)
\(\mathbb{N} \cup \mathbb{R}^+\) \(\mathbb{R}^+\)
\(\{0,2,3\} \cup \mathbb{Z}\) \(\mathbb{Z}\)

✅ Exercice 4 – Calculs (fractions et racines)

 
\( A = \left( \frac{3}{4} - \frac{5}{3} \right) \times \frac{2 - \frac{4}{7}}{3} \times \frac{1}{\frac{4}{3} - \frac{1}{2}} \)
\( \frac{3}{4} - \frac{5}{3} = \frac{9 - 20}{12} = -\frac{11}{12} \)
\( 2 - \frac{4}{7} = \frac{14 - 4}{7} = \frac{10}{7} \)
\( \frac{4}{3} - \frac{1}{2} = \frac{8 - 3}{6} = \frac{5}{6} \)
\( A = -\frac{11}{12} \times \frac{10/7}{3} \times \frac{1}{5/6} = -\frac{11}{12} \times \frac{10}{21} \times \frac{6}{5} \)
\( A = -\frac{11 \times 10 \times 6}{12 \times 21 \times 5} = -\frac{660}{1260} = -\frac{11}{21} \)
\( B = \frac{10101}{10101} \)
\( B = 1 \)
\( C = \) (expression complexe)
Après simplification, \( C = \frac{3(\sqrt{2} - \sqrt{3}) + \frac{1}{\sqrt{6}(1/\sqrt{2} - 1/\sqrt{3})}}{\sqrt{2} + \sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{6}(1/\sqrt{2} + 1/\sqrt{3})}} \)
\( C = 1 \)
\( D = 2 + \frac{1}{4 + \frac{1}{\sqrt{5+2}}} \)
\( \sqrt{5+2} = \sqrt{7} \approx 2,64575 \)
\( D = 2 + \frac{1}{4 + \frac{1}{\sqrt{7}}} = 2 + \frac{1}{\frac{4\sqrt{7} + 1}{\sqrt{7}}} = 2 + \frac{\sqrt{7}}{4\sqrt{7} + 1} \)

✅ Exercice 5 – Calculs avec racines

\( A = 3\left(1 + \frac{1}{3} - \frac{3}{2}\right) + \left(2 - \frac{1}{3}\right)\left(2 - \frac{3}{2}\right) \)
\( 1 + \frac{1}{3} - \frac{3}{2} = \frac{6 + 2 - 9}{6} = -\frac{1}{6} \)
\( 3 \times (-\frac{1}{6}) = -\frac{1}{2} \)
\( 2 - \frac{1}{3} = \frac{5}{3} \), \( 2 - \frac{3}{2} = \frac{1}{2} \)
\( \frac{5}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{5}{6} \)
\( A = -\frac{1}{2} + \frac{5}{6} = \frac{-3 + 5}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)
\( C = \sqrt{96} + 2\sqrt{6} - 2\sqrt{24} - 3\sqrt{54} \)
\( \sqrt{96} = \sqrt{16 \times 6} = 4\sqrt{6} \)
\( 2\sqrt{24} = 2\sqrt{4 \times 6} = 4\sqrt{6} \)
\( 3\sqrt{54} = 3\sqrt{9 \times 6} = 9\sqrt{6} \)
\( C = 4\sqrt{6} + 2\sqrt{6} - 4\sqrt{6} - 9\sqrt{6} = (4+2-4-9)\sqrt{6} = -7\sqrt{6} \)
\( D = \frac{1}{3}\sqrt{363} + \sqrt{108} - \sqrt{300} + \frac{2}{\sqrt{12}} - 2\sqrt{\frac{75}{36}} \)
\( \sqrt{363} = \sqrt{121 \times 3} = 11\sqrt{3} \) → \( \frac{1}{3} \times 11\sqrt{3} = \frac{11}{3}\sqrt{3} \)
\( \sqrt{108} = \sqrt{36 \times 3} = 6\sqrt{3} \)
\( \sqrt{300} = \sqrt{100 \times 3} = 10\sqrt{3} \)
\( \frac{2}{\sqrt{12}} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \)
\( 2\sqrt{\frac{75}{36}} = 2 \times \frac{\sqrt{75}}{6} = \frac{\sqrt{75}}{3} = \frac{5\sqrt{3}}{3} \)
\( D = \frac{11}{3}\sqrt{3} + 6\sqrt{3} - 10\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{5\sqrt{3}}{3} \)
\( D = \left(\frac{11}{3} + 6 - 10 + \frac{1}{3} - \frac{5}{3}\right)\sqrt{3} = \left(\frac{11 + 1 - 5}{3} - 4\right)\sqrt{3} = \left(\frac{7}{3} - 4\right)\sqrt{3} = -\frac{5}{3}\sqrt{3} \)

✅ Exercice 6 – Calculs supplémentaires

\( E = \frac{\sqrt{2} - \frac{1}{\sqrt{2}}}{\sqrt{2} + \frac{1}{\sqrt{8}}} \)
\( \sqrt{2} - \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{2 - 1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \)
\( \sqrt{2} + \frac{1}{\sqrt{8}} = \sqrt{2} + \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{4 + 1}{2\sqrt{2}} = \frac{5}{2\sqrt{2}} \)
\( E = \frac{1/\sqrt{2}}{5/(2\sqrt{2})} = \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{2\sqrt{2}}{5} = \frac{2}{5} \)
\( F = 6 - \frac{\frac{5}{3} + \frac{3}{2}}{\frac{3}{2} - \frac{5}{4}} \)
\( \frac{5}{3} + \frac{3}{2} = \frac{10 + 9}{6} = \frac{19}{6} \)
\( \frac{3}{2} - \frac{5}{4} = \frac{6 - 5}{4} = \frac{1}{4} \)
\( \frac{19/6}{1/4} = \frac{19}{6} \times 4 = \frac{76}{6} = \frac{38}{3} \)
\( F = 6 - \frac{38}{3} = \frac{18 - 38}{3} = -\frac{20}{3} \)
\( G = \frac{\frac{3}{1} + \frac{1}{3}}{\frac{1}{4} + \frac{2}{2}} \)
\( \frac{3}{1} + \frac{1}{3} = 3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3} \)
\( \frac{1}{4} + \frac{2}{2} = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4} \)
\( G = \frac{10/3}{5/4} = \frac{10}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{40}{15} = \frac{8}{3} \)
 
 
 

5. 📚 Exercices – Calcul littéral et puissances

Tronc Commun Sciences BIOF

📌 Exercice 1:

Soient a et b deux entiers naturels, on pose \( Z = a^2 + 2ab + b^2 + a + b + 1 \).

Écrire Z sous la forme d'une somme de carrés de trois entiers naturels.

📌 Exercice 2:

Soient \( x, y \) et \( z \) des réels non nuls. Simplifier les expressions suivantes :

\[ X = \frac{(x^2y)^{-3}xz^2}{xy^{-3}}, \quad Y = \frac{(-x)^2x^2y}{2y^{-1}}, \quad Z = \frac{(x^2y)^{-3}z^5x^4}{(xy^2)^2y^{-1}}, \quad T = \frac{(-x)^5yz^{-2}}{y^3(-z)^{-3}x^2} \]

📌 Exercice 3:

Développer les expressions suivantes :

\[ A = (x^2 + x + 1)(2x - 5), \quad B = (7x - 3y)^2, \quad C = (x - 1)(x + 2)(x - 2), \quad D = (5a + 3)^3 \] \[ E = (2x - 5y)^3, \quad F = (3 + x + a)^2, \quad G = (2\sqrt{3}p + \sqrt{5q})^3, \quad H = \left(t - \frac{1}{t}\right)^3 \]

📌 Exercice 4:

Factoriser les expressions suivantes :

\[ A = a^2 - 2ab + b^2 - c^2, \quad B = (3x^2 - 3) + (x^2 - 2x + 1), \quad C = x^{16} - 16, \quad D = 2\sqrt{2}x^3 + 27 \] \[ E = x^{12} - 2x^6 + 1, \quad F = x^5 + x^3 - x^2 - 1, \quad I = 125a^3 + 64, \quad J = 2(x + 7)(x + 5) - (x^2 - 25) \] \[ K = 6x(x - 2) - 3x^2 + 12, \quad L = x^3 - 8 - 5(x - 2), \quad M = 64 - (5x - 7)^3, \quad N = (x - 7y)^3 + 27y^3 \] \[ U = x^3 - 8 + 4(x^2 - 4) - 3x + 6, \quad V = x^3 + 1 + 2(x^2 - 1) - (x + 1) \]

📌 Exercice 5:

a est un nombre réel non nul, on pose : \( A = a + \frac{1}{a} \).

Calculer en fonction de \( A \) les nombres suivants :
\[ a^2 + \frac{1}{a^2}, \quad a^3 + \frac{1}{a^3}, \quad a^4 + \frac{1}{a^4} \]

📌 Exercice 6:

Déterminer trois nombres a, b et c tels que :
\[ 2^a \times 3^b \times 5^c = 648000 \]

📌 Exercice 7:

Soient a et b deux nombres réels tels que :

\[ 2(a^2 + b^2) = 5ab \]
Calculer A sachant que : \( A = \frac{a - b}{a + b} \).

📌 Exercice 8:

a, b et c des nombres réels tels que : \( abc = 1 \).

Montrer que :
\[ \frac{a}{ab + a + 1} + \frac{b}{bc + b + 1} + \frac{c}{ca + c + 1} = 1 \]

📌 Exercice 9:

Donner l'écriture scientifique de chacun des nombres suivants :

\[ A = 0,0004651, \quad B = 7560000000, \quad C = 450087 + 23 \times 10^4, \quad D = 0,0018 + 7 \times 10^{-4} \] \[ E = 17,001 \times 10^8, \quad c = 299792458, \quad e = 1602,1892 \times 10^{-22}, \quad g = 980,665 \times 10^{-2} \] \[ u = 166,0565 \times 10^{-29}, \quad N_A = 60220,45 \times 10^{19}, \quad h = 0,6626176 \times 10^{-33} \]

📌 Exercice 10:

Soient a et b deux nombres réels non nuls. Calculer

\[ \frac{a^2b(a^2b-1)^4a^{-3}b^2}{ab^2(a^2b-1)^2(a^2b^3)(a^2b^3)^3} \]
pour \( a = 10^{-3} \) et \( b = -10^{-2} \).

6. 📚 Exercices

 

 

✅ Exercice 1:

Énoncé : \( 2(a^2 + b^2) = 5ab \). Calculer \( A = \frac{a - b}{a + b} \).

\[ 2a^2 + 2b^2 - 5ab = 0 \] \[ 2a^2 - 5ab + 2b^2 = 0 \] \[ (2a - b)(a - 2b) = 0 \]

Cas 1 : \( 2a - b = 0 \Rightarrow b = 2a \). Alors

\[ A = \frac{a - 2a}{a + 2a} = \frac{-a}{3a} = -\frac{1}{3} \]

Cas 2 : \( a - 2b = 0 \Rightarrow a = 2b \). Alors

\[ A = \frac{2b - b}{2b + b} = \frac{b}{3b} = \frac{1}{3} \]

✅ Exercice 2:

Énoncé : \( abc = 1 \). Montrer que :

\[ \frac{a}{ab + a + 1} + \frac{b}{bc + b + 1} + \frac{c}{ca + c + 1} = 1 \]

On a \( abc = 1 \Rightarrow bc = \frac{1}{a} \) et \( ca = \frac{1}{b} \).

\[ \frac{a}{ab + a + 1} = \frac{a}{a(b + 1) + 1} \] \[ \frac{b}{bc + b + 1} = \frac{b}{\frac{1}{a} + b + 1} = \frac{ab}{1 + ab + a} \] \[ \frac{c}{ca + c + 1} = \frac{c}{\frac{1}{b} + c + 1} = \frac{bc}{1 + bc + b} \]

En additionnant, on obtient 1.

✅ Exercice 3:

Énoncé : Écriture scientifique.

\[ A = 0,0004651 = 4,651 \times 10^{-4} \] \[ B = 7560000000 = 7,56 \times 10^9 \] \[ C = 450087 + 23 \times 10^4 = 450087 + 230000 = 680087 = 6,80087 \times 10^5 \] \[ D = 0,0018 + 7 \times 10^{-4} = 0,0018 + 0,0007 = 0,0025 = 2,5 \times 10^{-3} \] \[ E = 17,001 \times 10^8 = 1,7001 \times 10^9 \] \[ c = 299792458 = 2,99792458 \times 10^8 \] \[ e = 1602,1892 \times 10^{-22} = 1,6021892 \times 10^{-19} \] \[ g = 980,665 \times 10^{-2} = 9,80665 \] \[ u = 166,0565 \times 10^{-29} = 1,660565 \times 10^{-27} \] \[ N_A = 60220,45 \times 10^{19} = 6,022045 \times 10^{23} \] \[ h = 0,6626176 \times 10^{-33} = 6,626176 \times 10^{-34} \]

✅ Exercice 4:

Énoncé : Calculer pour \( a = 10^{-3} \), \( b = -10^{-2} \).

\[ E = \frac{a^2b(a^2b-1)^4a^{-3}b^2}{ab^2(a^2b-1)^2(a^2b^3)(a^2b^3)^3} \]

Simplifions d'abord l'expression :

\[ E = \frac{a^{2-3}b^{1+2}(a^2b-1)^4}{a^{1+2}b^{2+3+9}(a^2b-1)^2} = \frac{a^{-1}b^3(a^2b-1)^2}{a^3b^{14}} \] \[ E = a^{-4}b^{-11}(a^2b-1)^2 \]

Calculons \( a^2b = (10^{-3})^2 \times (-10^{-2}) = 10^{-6} \times (-10^{-2}) = -10^{-8} \).

Donc \( a^2b - 1 = -10^{-8} - 1 \approx -1 \).

\[ E \approx (-1)^2 \times a^{-4} \times b^{-11} = 1 \times (10^{-3})^{-4} \times (-10^{-2})^{-11} \] \[ E = 10^{12} \times (-1)^{-11} \times 10^{22} = -10^{34} \]

✅ Exercice 5:

Énoncé : \( ab + bc + ca = 0 \). Calculer \( \frac{b+c}{a} + \frac{c+a}{b} + \frac{a+b}{c} \).

\[ \frac{b+c}{a} + \frac{c+a}{b} + \frac{a+b}{c} = \frac{b}{a} + \frac{c}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{b} + \frac{a}{c} + \frac{b}{c} \] \[ = \left(\frac{b}{a} + \frac{a}{b}\right) + \left(\frac{c}{a} + \frac{a}{c}\right) + \left(\frac{c}{b} + \frac{b}{c}\right) \]

Or \( ab + bc + ca = 0 \Rightarrow \frac{ab+bc+ca}{abc} = 0 \Rightarrow \frac{1}{c} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 0 \).

On a \( \frac{b}{a} + \frac{a}{b} = \frac{b^2+a^2}{ab} \) et \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a+b}{ab} \).

\[ \frac{b+c}{a} + \frac{c+a}{b} + \frac{a+b}{c} = -3 \times \frac{abc}{abc} = -3 \]
 

7. 📚 Exercices

✅

Exercice 1:

a, b et c des nombres réels non nuls tels que : \( ab + bc + ca = 0 \).

Calculer
\[ \frac{b+c}{a} + \frac{c+a}{b} + \frac{a+b}{c} \]

✅ Exercice 2:

Énoncé : \( Z = a^2 + 2ab + b^2 + a + b + 1 \)

Écrire Z sous la forme d'une somme de carrés de trois entiers naturels.
\[ Z = (a^2 + 2ab + b^2) + (a + b) + 1 \] \[ Z = (a + b)^2 + (a + b) + 1 \] \[ Z = (a + b)^2 + (a + b) + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} \] \[ Z = \left(a + b + \frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \]

Si on pose \( a + b = k \), alors \( Z = k^2 + k + 1 \).

On peut aussi écrire : \( Z = (a+b)^2 + (a+b) + 1 \).

✅ Exercice 3:

Énoncé : Simplifier les expressions.

\( X = \frac{(x^2y)^{-3}xz^2}{xy^{-3}} \)
\[ X = \frac{x^{-6}y^{-3} \cdot x \cdot z^2}{x \cdot y^{-3}} = \frac{x^{-5}y^{-3}z^2}{x y^{-3}} = x^{-6}z^2 = \frac{z^2}{x^6} \]
\( Y = \frac{(-x)^2x^2y}{2y^{-1}} \)
\[ Y = \frac{x^2 \cdot x^2 \cdot y}{2 \cdot y^{-1}} = \frac{x^4 y \cdot y}{2} = \frac{x^4 y^2}{2} \]
\( Z = \frac{(x^2y)^{-3}z^5x^4}{(xy^2)^2y^{-1}} \)
\[ Z = \frac{x^{-6}y^{-3}z^5x^4}{x^2y^4y^{-1}} = \frac{x^{-2}y^{-3}z^5}{x^2y^3} = x^{-4}y^{-6}z^5 = \frac{z^5}{x^4 y^6} \]
\( T = \frac{(-x)^5yz^{-2}}{y^3(-z)^{-3}x^2} \)
\[ T = \frac{-x^5yz^{-2}}{y^3(-z)^{-3}x^2} = \frac{-x^5yz^{-2} \cdot (-z)^3}{y^3x^2} = \frac{-x^5yz^{-2} \cdot (-z^3)}{y^3x^2} \] \[ T = \frac{x^5 y z^{-2} z^3}{y^3 x^2} = \frac{x^3 y z}{y^3} = \frac{x^3 z}{y^2} \]

✅ Exercice 4:

Énoncé : Développer les expressions.

\( A = (x^2 + x + 1)(2x - 5) \)
\[ A = 2x^3 - 5x^2 + 2x^2 - 5x + 2x - 5 = 2x^3 - 3x^2 - 3x - 5 \]
\( B = (7x - 3y)^2 \)
\[ B = 49x^2 - 42xy + 9y^2 \]
\( C = (x - 1)(x + 2)(x - 2) \)
\[ C = (x - 1)(x^2 - 4) = x^3 - 4x - x^2 + 4 = x^3 - x^2 - 4x + 4 \]
\( D = (5a + 3)^3 \)
\[ D = 125a^3 + 3 \cdot 25a^2 \cdot 3 + 3 \cdot 5a \cdot 9 + 27 = 125a^3 + 225a^2 + 135a + 27 \]
\( E = (2x - 5y)^3 \)
\[ E = 8x^3 - 3 \cdot 4x^2 \cdot 5y + 3 \cdot 2x \cdot 25y^2 - 125y^3 = 8x^3 - 60x^2y + 150xy^2 - 125y^3 \]
\( F = (3 + x + a)^2 \)
\[ F = (3 + x + a)^2 = 9 + x^2 + a^2 + 6x + 6a + 2ax \]
\( G = (2\sqrt{3}p + \sqrt{5q})^3 \)
\[ G = 8 \cdot 3\sqrt{3}p^3 + 3 \cdot (2\sqrt{3}p)^2 \cdot \sqrt{5q} + 3 \cdot (2\sqrt{3}p)(\sqrt{5q})^2 + (\sqrt{5q})^3 \] \[ G = 24\sqrt{3}p^3 + 3 \cdot 12p^2 \cdot \sqrt{5q} + 6\sqrt{3}p \cdot 5q + 5q\sqrt{5q} \] \[ G = 24\sqrt{3}p^3 + 36p^2\sqrt{5q} + 30\sqrt{3}pq + 5q\sqrt{5q} \]
\( H = \left(t - \frac{1}{t}\right)^3 \)
\[ H = t^3 - 3t^2 \cdot \frac{1}{t} + 3t \cdot \frac{1}{t^2} - \frac{1}{t^3} = t^3 - 3t + \frac{3}{t} - \frac{1}{t^3} \]

✅ Exercice 5:

Énoncé : Factoriser les expressions.

\( A = a^2 - 2ab + b^2 - c^2 \)
\[ A = (a - b)^2 - c^2 = (a - b - c)(a - b + c) \]
\( B = (3x^2 - 3) + (x^2 - 2x + 1) \)
\[ B = 3(x^2 - 1) + (x - 1)^2 = 3(x - 1)(x + 1) + (x - 1)^2 = (x - 1)[3(x + 1) + (x - 1)] \] \[ B = (x - 1)(3x + 3 + x - 1) = (x - 1)(4x + 2) = 2(x - 1)(2x + 1) \]
\( C = x^{16} - 16 \)
\[ C = (x^8 - 4)(x^8 + 4) = (x^4 - 2)(x^4 + 2)(x^8 + 4) \]
\( D = 2\sqrt{2}x^3 + 27 \)
\[ D = (\sqrt{2}x)^3 + 3^3 = (\sqrt{2}x + 3)(2x^2 - 3\sqrt{2}x + 9) \]
\( E = x^{12} - 2x^6 + 1 \)
\[ E = (x^6 - 1)^2 = (x^3 - 1)^2(x^3 + 1)^2 = (x - 1)^2(x^2 + x + 1)^2(x + 1)^2(x^2 - x + 1)^2 \]
\( F = x^5 + x^3 - x^2 - 1 \)
\[ F = x^3(x^2 + 1) - (x^2 + 1) = (x^2 + 1)(x^3 - 1) = (x^2 + 1)(x - 1)(x^2 + x + 1) \]
\( I = 125a^3 + 64 \)
\[ I = (5a)^3 + 4^3 = (5a + 4)(25a^2 - 20a + 16) \]
\( J = 2(x + 7)(x + 5) - (x^2 - 25) \)
\[ J = 2(x + 7)(x + 5) - (x - 5)(x + 5) = (x + 5)[2(x + 7) - (x - 5)] \] \[ J = (x + 5)(2x + 14 - x + 5) = (x + 5)(x + 19) \]
\( K = 6x(x - 2) - 3x^2 + 12 \)
\[ K = 6x(x - 2) - 3(x^2 - 4) = 6x(x - 2) - 3(x - 2)(x + 2) \] \[ K = (x - 2)(6x - 3x - 6) = (x - 2)(3x - 6) = 3(x - 2)(x - 2) = 3(x - 2)^2 \]
\( L = x^3 - 8 - 5(x - 2) \)
\[ L = (x - 2)(x^2 + 2x + 4) - 5(x - 2) = (x - 2)(x^2 + 2x + 4 - 5) \] \[ L = (x - 2)(x^2 + 2x - 1) \]
\( M = 64 - (5x - 7)^3 \)
\[ M = 4^3 - (5x - 7)^3 = (4 - (5x - 7))(16 + 4(5x - 7) + (5x - 7)^2) \] \[ M = (-5x + 11)(16 + 20x - 28 + 25x^2 - 70x + 49) \] \[ M = (-5x + 11)(25x^2 - 50x + 37) \]
\( N = (x - 7y)^3 + 27y^3 \)
\[ N = (x - 7y)^3 + (3y)^3 = (x - 7y + 3y)((x - 7y)^2 - 3y(x - 7y) + 9y^2) \] \[ N = (x - 4y)(x^2 - 14xy + 49y^2 - 3xy + 21y^2 + 9y^2) \] \[ N = (x - 4y)(x^2 - 17xy + 79y^2) \]
\( U = x^3 - 8 + 4(x^2 - 4) - 3x + 6 \)
\[ U = (x - 2)(x^2 + 2x + 4) + 4(x - 2)(x + 2) - 3(x - 2) \] \[ U = (x - 2)[x^2 + 2x + 4 + 4x + 8 - 3] = (x - 2)(x^2 + 6x + 9) \] \[ U = (x - 2)(x + 3)^2 \]
\( V = x^3 + 1 + 2(x^2 - 1) - (x + 1) \)
\[ V = (x + 1)(x^2 - x + 1) + 2(x - 1)(x + 1) - (x + 1) \] \[ V = (x + 1)[x^2 - x + 1 + 2x - 2 - 1] = (x + 1)(x^2 + x - 2) \] \[ V = (x + 1)(x + 2)(x - 1) \]

✅ Exercice 6:

Énoncé : \( A = a + \frac{1}{a} \). Calculer en fonction de \( A \).

\( a^2 + \frac{1}{a^2} \)
\[ \left(a + \frac{1}{a}\right)^2 = a^2 + 2 + \frac{1}{a^2} \Rightarrow a^2 + \frac{1}{a^2} = A^2 - 2 \]
\( a^3 + \frac{1}{a^3} \)
\[ a^3 + \frac{1}{a^3} = \left(a + \frac{1}{a}\right)^3 - 3\left(a + \frac{1}{a}\right) = A^3 - 3A \]
\( a^4 + \frac{1}{a^4} \)
\[ a^4 + \frac{1}{a^4} = \left(a^2 + \frac{1}{a^2}\right)^2 - 2 = (A^2 - 2)^2 - 2 = A^4 - 4A^2 + 2 \]

✅ Exercice 7

Énoncé : \( 2^a \times 3^b \times 5^c = 648000 \)

\[ 648000 = 648 \times 1000 = (8 \times 81) \times (10^3) \] \[ 648 = 2^3 \times 3^4 \quad \text{et} \quad 1000 = 2^3 \times 5^3 \] \[ 648000 = 2^3 \times 3^4 \times 2^3 \times 5^3 = 2^6 \times 3^4 \times 5^3 \] \[ \text{Donc } a = 6,\; b = 4,\; c = 3 \]