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📚 Calcul vectoriel dans le plan

Site: seedocx - Education
Course: ArithmĂ©tique dans ℕ
Book: 📚 Calcul vectoriel dans le plan
Printed by: Guest user
Date: Tuesday, 9 June 2026, 1:37 AM

Description

 

 

A) Généralités sur les vecteurs

Soient \(A\) et \(B\) deux points du plan \((\mathcal{P})\). Un vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est défini par trois données :

  • sa direction : celle de la droite \((AB)\) ;
  • son sens : de \(A\) vers \(B\) ;
  • sa norme (longueur) : la distance \(AB\), notĂ©e \(\|\overrightarrow{AB}\| = AB\).
Remarque :
  • Si \(A = B\), le vecteur est nul : \(\overrightarrow{AA} = \vec{0}\).
  • Deux vecteurs sont Ă©gaux s'ils ont mĂȘme direction, mĂȘme sens et mĂȘme norme.
  • \(\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BA}\) (les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BA}\) sont opposĂ©s).

Somme de deux vecteurs

a) Relation de Chasles : Soient \(A, B, C\) trois points du plan. \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}. \]
b) RÚgle du parallélogramme : La somme des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) est le vecteur \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\) tel que \(ABCD\) est un parallélogramme.

B) Produit d’un vecteur par un rĂ©el

Définition : On appelle produit du vecteur \(\vec{u}\) par le réel \(k\) le vecteur noté \(k\vec{u}\) :
  • de mĂȘme direction que \(\vec{u}\) ;
  • de mĂȘme sens que \(\vec{u}\) si \(k > 0\), de sens contraire si \(k < 0\) ;
  • de norme Ă©gale Ă  \(|k|\) fois la norme de \(\vec{u}\).

2) Notion de colinéarité

Définition : Deux vecteurs non nuls \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires s'il existe un réel \(k\) tel que \(\vec{u} = k\vec{v}\).
Propriétés : Soient \(A, B, C, D\) des points deux à deux distincts.
  1. \((AB) \parallel (CD)\) ⇔ \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont colinĂ©aires.
  2. \(A, B, C\) alignĂ©s ⇔ \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinĂ©aires.

3) Milieu d’un segment

Propriétés : Si \(I\) est le milieu du segment \([AB]\), alors :
  1. \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}\)
  2. \(\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB}\)
  3. \(\overrightarrow{AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\)
Caractérisation du milieu : \(I\) est le milieu de \([AB]\) si et seulement si pour tout point \(M\) du plan : \[ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2 \overrightarrow{MI}. \]
📝 Formulaire à retenir :
  • \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\) (Chasles)
  • \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) ⇔ \(ABCD\) parallĂ©logramme
  • \(k\vec{u}\) : mĂȘme direction, mĂȘme sens si \(k>0\), sens contraire si \(k<0\)
  • \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) colinĂ©aires ⇔ \(\exists k \in \mathbb{R}, \vec{u} = k\vec{v}\)
  • \(I\) milieu de \([AB]\) ⇔ \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}\)
📌 RĂ©sumĂ© de cours : vecteurs, somme, produit par un rĂ©el, colinĂ©aritĂ©, milieu.

Table of contents

1. Calcul vectoriel dans le plan

 

Cours complet + Exercices corrigĂ©s – Tronc commun Sciences BIOF
🔒 Document protĂ©gĂ© – Copie, clic droit et sĂ©lection dĂ©sactivĂ©s
📌 I. Vecteurs du plan – DĂ©finition

Définition : Un vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est défini par trois éléments :

  • sa direction (celle de la droite \((AB)\)) ;
  • son sens (de \(A\) vers \(B\)) ;
  • sa norme (longueur) notĂ©e \(\|\overrightarrow{AB}\| = AB\).
🎯 ActivitĂ© (hexagone rĂ©gulier ABCDEF de centre O, I milieu de [AB], J milieu de [ED]) :

Citer :

  1. Deux vecteurs Ă©gaux.
  2. Deux vecteurs de mĂȘme direction, sens contraire et normes diffĂ©rentes.
  3. Deux vecteurs de mĂȘme direction, mĂȘme sens et normes diffĂ©rentes.
  4. Deux vecteurs de direction diffĂ©rente et de mĂȘme norme.
  5. Deux vecteurs opposés.
Corrigé :
① \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{FO} = \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{ED}\)
② \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CF}\)
⑱ \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{FC}\)
④ \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BC}\)
â‘€ \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{DE}\)
📌 II. ÉgalitĂ© de deux vecteurs
\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\) ⇔ mĂȘme direction, mĂȘme sens et mĂȘme norme.

Remarques :

  • On note \(\vec{u}\) le vecteur reprĂ©sentĂ© par \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{CD}\), etc.
  • \(\overrightarrow{AB} = \vec{0}\) ⇔ \(A = B\).
📌 III. Somme de deux vecteurs
Relation de Chasles : Pour tous points \(A, B, C\) :
\[ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} \]
RÚgle du parallélogramme :
Si \(\overrightarrow{AB} = \vec{u}\) et \(\overrightarrow{AC} = \vec{v}\), alors \(\overrightarrow{AD} = \vec{u} + \vec{v}\) oĂč \(ABDC\) est un parallĂ©logramme.
📌 IV. Multiplication d'un vecteur par un rĂ©el

Soit \(\vec{u}\) un vecteur et \(k \in \mathbb{R}\). Le vecteur \(k\vec{u}\) a :

  • la mĂȘme direction que \(\vec{u}\) ;
  • le mĂȘme sens si \(k > 0\), sens contraire si \(k < 0\) ;
  • une norme \(\|k\vec{u}\| = |k| \times \|\vec{u}\|\).
📌 V. ColinĂ©aritĂ© de deux vecteurs
Deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires s'il existe un réel \(\lambda\) tel que \(\vec{v} = \lambda \vec{u}\) (ou \(\vec{u} = \lambda \vec{v}\)).

Cela signifie qu'ils ont la mĂȘme direction.

📌 VI. Milieu d'un segment
Si \(I\) est le milieu de \([AB]\), alors :
\[ \overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} \] et pour tout point \(M\) :
\[ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MI} \]
✅ Exercice 1

ÉnoncĂ© : Simplifier : \(\vec{U} = \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AB}\)

\[ \begin{aligned} \vec{U} &= \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB} \\ &= \overrightarrow{BA} + 2\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AB} \end{aligned} \]

RĂ©sultat : \(\vec{U} = \overrightarrow{AB}\)

✅ Exercice 2

ÉnoncĂ© : Construire les points \(M\) et \(N\) tels que \(\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}\). Montrer que \(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{BD}\).

\[ \begin{aligned} \overrightarrow{MN} &= \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AN} = -\overrightarrow{AM} + (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}) \\ &= -(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BD} \end{aligned} \]

Donc \(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{BD}\) (CQFD).

✅ Exercice 3

ÉnoncĂ© : Soit \(ABC\) un triangle et \(M\) un point. On pose :

\[ \overrightarrow{MD} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{BC}, \quad \overrightarrow{ME} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{CA} \]

Quelle est la nature de \(ABCD\) et \(ACBE\) ?

Corrigé :
‱ \(\overrightarrow{MD} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{BC} \Rightarrow \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\) ⇒ \(ABCD\) est un parallĂ©logramme.
‱ \(\overrightarrow{ME} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{CA} \Rightarrow \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{CB}\) ⇒ \(ACBE\) est un parallĂ©logramme.
✅ Exercice 4 (Application)

ÉnoncĂ© : Soit \(ABCD\) un parallĂ©logramme de centre \(O\). DĂ©montrer que pour tout point \(M\) :

\[ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} = 4\overrightarrow{MO} \]
Corrigé :
\[ \begin{aligned} \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} &= 2\overrightarrow{MO} \quad \text{(car O milieu de [AC])}\\ \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MD} &= 2\overrightarrow{MO} \quad \text{(car O milieu de [BD])}\\ \text{Donc } \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} &= 2\overrightarrow{MO} + 2\overrightarrow{MO} = 4\overrightarrow{MO} \end{aligned} \]
✅ Exercice 5 (ColinĂ©aritĂ©)

ÉnoncĂ© : Dans un repĂšre, on donne \(\vec{u}(2;-3)\) et \(\vec{v}(-4;6)\). Ces vecteurs sont-ils colinĂ©aires ?

Corrigé :
\[ \frac{2}{-4} = \frac{-3}{6} \Rightarrow \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2} \quad \text{et} \quad \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2} \] \[ \text{Donc } \vec{v} = -2\vec{u} \quad \Rightarrow \quad \text{Les vecteurs sont colinéaires.} \]
📝 Formulaire à retenir
‱ \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\) (Chasles)
‱ \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\) ⇔ \(ABDC\) parallĂ©logramme
‱ \(I\) milieu de \([AB]\) ⇔ \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}\)
‱ \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) colinĂ©aires ⇔ \(\exists \lambda \in \mathbb{R}, \vec{v} = \lambda \vec{u}\)
📌
Cours conforme au programme officiel - Tronc commun Sciences BIOF
🔱 Vecteurs du plan – RĂ©sumĂ© complet et exercices corrigĂ©s

2. Calcul vectoriel dans le plan

 

Cours complet + Exercices corrigĂ©s – Tronc commun Sciences BIOF
🔒 Document protĂ©gĂ© – Copie, clic droit et sĂ©lection dĂ©sactivĂ©s
📌 I. Vecteurs du plan – DĂ©finition

Définition : Un vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est défini par trois éléments :

  • sa direction (celle de la droite \((AB)\)) ;
  • son sens (de \(A\) vers \(B\)) ;
  • sa norme (longueur) notĂ©e \(\|\overrightarrow{AB}\| = AB\).
🎯 ActivitĂ© (hexagone rĂ©gulier ABCDEF de centre O, I milieu de [AB], J milieu de [ED]) :

Citer :

  1. Deux vecteurs Ă©gaux.
  2. Deux vecteurs de mĂȘme direction, sens contraire et normes diffĂ©rentes.
  3. Deux vecteurs de mĂȘme direction, mĂȘme sens et normes diffĂ©rentes.
  4. Deux vecteurs de direction diffĂ©rente et de mĂȘme norme.
  5. Deux vecteurs opposés.
Corrigé :
① \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{FO} = \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{ED}\)
② \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CF}\)
⑱ \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{FC}\)
④ \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BC}\)
â‘€ \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{DE}\)
📌 II. ÉgalitĂ© de deux vecteurs
\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\) ⇔ mĂȘme direction, mĂȘme sens et mĂȘme norme.

Remarques :

  • On note \(\vec{u}\) le vecteur reprĂ©sentĂ© par \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{CD}\), etc.
  • \(\overrightarrow{AB} = \vec{0}\) ⇔ \(A = B\).
📌 III. Somme de deux vecteurs
Relation de Chasles : Pour tous points \(A, B, C\) :
\[ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} \]
RÚgle du parallélogramme :
Si \(\overrightarrow{AB} = \vec{u}\) et \(\overrightarrow{AC} = \vec{v}\), alors \(\overrightarrow{AD} = \vec{u} + \vec{v}\) oĂč \(ABDC\) est un parallĂ©logramme.
📌 IV. Multiplication d'un vecteur par un rĂ©el

Soit \(\vec{u}\) un vecteur et \(k \in \mathbb{R}\). Le vecteur \(k\vec{u}\) a :

  • la mĂȘme direction que \(\vec{u}\) ;
  • le mĂȘme sens si \(k > 0\), sens contraire si \(k < 0\) ;
  • une norme \(\|k\vec{u}\| = |k| \times \|\vec{u}\|\).
📌 V. ColinĂ©aritĂ© de deux vecteurs
Deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires s'il existe un réel \(\lambda\) tel que \(\vec{v} = \lambda \vec{u}\) (ou \(\vec{u} = \lambda \vec{v}\)).

Cela signifie qu'ils ont la mĂȘme direction.

📌 VI. Milieu d'un segment
Si \(I\) est le milieu de \([AB]\), alors :
\[ \overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} \] et pour tout point \(M\) :
\[ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MI} \]
✅ Exercice 1

ÉnoncĂ© : Simplifier : \(\vec{U} = \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AB}\)

\[ \begin{aligned} \vec{U} &= \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB} \\ &= \overrightarrow{BA} + 2\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AB} \end{aligned} \]

RĂ©sultat : \(\vec{U} = \overrightarrow{AB}\)

✅ Exercice 2

ÉnoncĂ© : Construire les points \(M\) et \(N\) tels que \(\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}\). Montrer que \(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{BD}\).

\[ \begin{aligned} \overrightarrow{MN} &= \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AN} = -\overrightarrow{AM} + (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}) \\ &= -(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BD} \end{aligned} \]

Donc \(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{BD}\) (CQFD).

✅ Exercice 3

ÉnoncĂ© : Soit \(ABC\) un triangle et \(M\) un point. On pose :

\[ \overrightarrow{MD} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{BC}, \quad \overrightarrow{ME} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{CA} \]

Quelle est la nature de \(ABCD\) et \(ACBE\) ?

Corrigé :
‱ \(\overrightarrow{MD} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{BC} \Rightarrow \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\) ⇒ \(ABCD\) est un parallĂ©logramme.
‱ \(\overrightarrow{ME} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{CA} \Rightarrow \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{CB}\) ⇒ \(ACBE\) est un parallĂ©logramme.
✅ Exercice 4 (Application)

ÉnoncĂ© : Soit \(ABCD\) un parallĂ©logramme de centre \(O\). DĂ©montrer que pour tout point \(M\) :

\[ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} = 4\overrightarrow{MO} \]
Corrigé :
\[ \begin{aligned} \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} &= 2\overrightarrow{MO} \quad \text{(car O milieu de [AC])}\\ \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MD} &= 2\overrightarrow{MO} \quad \text{(car O milieu de [BD])}\\ \text{Donc } \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} &= 2\overrightarrow{MO} + 2\overrightarrow{MO} = 4\overrightarrow{MO} \end{aligned} \]
✅ Exercice 5 (ColinĂ©aritĂ©)

ÉnoncĂ© : Dans un repĂšre, on donne \(\vec{u}(2;-3)\) et \(\vec{v}(-4;6)\). Ces vecteurs sont-ils colinĂ©aires ?

Corrigé :
\[ \frac{2}{-4} = \frac{-3}{6} \Rightarrow \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2} \quad \text{et} \quad \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2} \] \[ \text{Donc } \vec{v} = -2\vec{u} \quad \Rightarrow \quad \text{Les vecteurs sont colinéaires.} \]
📝 Formulaire à retenir
‱ \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\) (Chasles)
‱ \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\) ⇔ \(ABDC\) parallĂ©logramme
‱ \(I\) milieu de \([AB]\) ⇔ \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}\)
‱ \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) colinĂ©aires ⇔ \(\exists \lambda \in \mathbb{R}, \vec{v} = \lambda \vec{u}\)
📌 
Cours conforme au programme officiel - Tronc commun Sciences BIOF
🔱 Vecteurs du plan – RĂ©sumĂ© complet et exercices corrigĂ©s

3. Calcul vectoriel dans le plan

 

Multiplication d'un vecteur par un rĂ©el – Exercices corrigĂ©s
🔒 Document protĂ©gĂ© – Copie, clic droit et sĂ©lection dĂ©sactivĂ©s
đŸ”č Rappel sur la diffĂ©rence
Soient \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs du plan.
La différence de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) est égale à la somme de \(\vec{u}\) et \((-\vec{v})\) : \[ \vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{v}) \]
✅ Exercice 04

ÉnoncĂ© : Soit \(ABCD\) un parallĂ©logramme. On pose \(\overrightarrow{AB} = \vec{i}\) et \(\overrightarrow{AC} = \vec{j}\).

Écrire les vecteurs \(\overrightarrow{AD}\) et \(\overrightarrow{BD}\) en fonction de \(\vec{i}\) et \(\vec{j}\).

🔧 CorrigĂ© dĂ©taillĂ©

Étape 1 : \(ABCD\) est un parallĂ©logramme, donc d'aprĂšs la rĂšgle du parallĂ©logramme :

\[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC} \]

Étape 2 : On en dĂ©duit \(\overrightarrow{AD}\) :

\[ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = \vec{j} - \vec{i} \]

Étape 3 : Calculons \(\overrightarrow{BD}\) :

\[ \begin{aligned} \overrightarrow{BD} &= \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} \\ &= -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \\ &= -\vec{i} + (\vec{j} - \vec{i}) \\ &= \vec{j} - 2\vec{i} \end{aligned} \]
✅ RĂ©sultat : \(\overrightarrow{AD} = \vec{j} - \vec{i}\) et \(\overrightarrow{BD} = \vec{j} - 2\vec{i}\)
📌 IV. Multiplication d'un vecteur par un rĂ©el

Définition : Soit \(\vec{u}\) un vecteur non nul et \(k\) un nombre non nul. Le produit du vecteur \(\vec{u}\) par le nombre \(k\) est le vecteur \(k\vec{u}\) ayant les caractéristiques suivantes :

  • mĂȘme direction que \(\vec{u}\) ;
  • mĂȘme sens si \(k > 0\), sens contraire si \(k < 0\) ;
  • sa norme est \(|k| \times \|\vec{u}\|\).
📐 Illustration : \(\vec{u}\) et \(2\vec{u}\) (mĂȘme sens, double norme)

Remarques :

  • \(k\vec{u} = \vec{0}\) si et seulement si \(k = 0\) ou \(\vec{u} = \vec{0}\).
  • \(1\vec{u} = \vec{u}\), \((-1)\vec{u} = -\vec{u}\).
✅ Exercice 05

ÉnoncĂ© : \(A, B, C\) trois points du plan non alignĂ©s.

On considĂšre \(M, N, P, Q\) tels que :

\[ \overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{BC}, \quad \overrightarrow{AN} = -2\overrightarrow{AC}, \quad \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AP}, \quad \overrightarrow{AQ} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AP} \]
  1. Faire une figure.
  2. En déduire que \(2\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{AP}\) et \(B = Q\).
🔧 CorrigĂ© dĂ©taillĂ©

1) Figure :

📍 Points A, B, C non alignĂ©s
→ M : \(\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{BC}\)
→ N : \(\overrightarrow{AN} = -2\overrightarrow{AC}\)
→ P : \(\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AN}\) (rĂšgle du parallĂ©logramme)
→ Q : \(\overrightarrow{AQ} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AP}\) (Q est le milieu de [AP])

2) DĂ©monstration :

\[ \begin{aligned} \overrightarrow{AP} &= \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AN} \\ &= 2\overrightarrow{BC} - 2\overrightarrow{AC} \\ &= 2(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA}) \\ &= 2\overrightarrow{BA} \\ &= -2\overrightarrow{AB} \end{aligned} \]

On obtient donc : \(\overrightarrow{AP} = -2\overrightarrow{AB}\), soit \(2\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{AP}\).

De plus, \(\overrightarrow{AQ} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AP}\) donc \(\overrightarrow{AP} = 2\overrightarrow{AQ}\).

\[ -\overrightarrow{AP} = -2\overrightarrow{AQ} \Rightarrow 2\overrightarrow{AB} = -2\overrightarrow{AQ} \Rightarrow \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AQ} \]

L'égalité \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AQ}\) signifie que les points \(B\) et \(Q\) sont confondus, donc \(B = Q\).

✅ Conclusion : \(2\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{AP}\) et \(B = Q\)
📐 PropriĂ©tĂ©s de la multiplication par un rĂ©el

Quels que soient les vecteurs \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et les réels \(a\), \(b\) :

  1. \(a(\vec{u} + \vec{v}) = a\vec{u} + a\vec{v}\)
  2. \((a + b)\vec{u} = a\vec{u} + b\vec{u}\)
  3. \(a(b\vec{u}) = (a \times b)\vec{u}\)
  4. \(1\vec{u} = \vec{u}\)
  5. \(a(\vec{u} - \vec{v}) = a\vec{u} - a\vec{v}\)
  6. \((a - b)\vec{u} = a\vec{u} - b\vec{u}\)
✅ Exercice 06

ÉnoncĂ© : Soient les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\). Simplifier :

\[ \overrightarrow{W_1} = 2(\vec{u} + \vec{v}) - 4\left(\frac{1}{2}\vec{u} - \vec{v}\right) \] \[ \overrightarrow{W_2} = \frac{1}{3}(3\vec{u} - 9\vec{v}) + \frac{1}{2}(2\vec{u} + 6\vec{v}) - 2\vec{u} \]
🔧 CorrigĂ© dĂ©taillĂ©

Simplification de \(\overrightarrow{W_1}\) :

\[ \begin{aligned} \overrightarrow{W_1} &= 2\vec{u} + 2\vec{v} - 4 \times \frac{1}{2}\vec{u} + 4\vec{v} \\ &= 2\vec{u} + 2\vec{v} - 2\vec{u} + 4\vec{v} \\ &= (2\vec{u} - 2\vec{u}) + (2\vec{v} + 4\vec{v}) \\ &= 6\vec{v} \end{aligned} \]

Simplification de \(\overrightarrow{W_2}\) :

\[ \begin{aligned} \overrightarrow{W_2} &= \frac{1}{3} \times 3\vec{u} - \frac{1}{3} \times 9\vec{v} + \frac{1}{2} \times 2\vec{u} + \frac{1}{2} \times 6\vec{v} - 2\vec{u} \\ &= \vec{u} - 3\vec{v} + \vec{u} + 3\vec{v} - 2\vec{u} \\ &= (\vec{u} + \vec{u} - 2\vec{u}) + (-3\vec{v} + 3\vec{v}) \\ &= \vec{0} \end{aligned} \]
✅ RĂ©sultats : \(\overrightarrow{W_1} = 6\vec{v}\) et \(\overrightarrow{W_2} = \vec{0}\)
📝 Formulaire à retenir
‱ \(\vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{v})\) (diffĂ©rence)
‱ \(k\vec{u}\) : mĂȘme direction, mĂȘme sens si \(k>0\), sens contraire si \(k<0\)
‱ \(\|k\vec{u}\| = |k| \times \|\vec{u}\|\) (norme)
‱ \(k\vec{u} = \vec{0} \iff k=0 \text{ ou } \vec{u}=\vec{0}\)
‱ DistributivitĂ© : \(a(\vec{u}+\vec{v}) = a\vec{u} + a\vec{v}\)
💡 À ne pas oublier : Le vecteur nul \(\vec{0}\) est colinĂ©aire Ă  tout vecteur.
🔱 Multiplication d'un vecteur par un rĂ©el – Exercices corrigĂ©s
📌
Cours conforme au programme officiel - Tronc commun Sciences BIOF

4. Calcul vectoriel

 

Exercices corrigĂ©s – Tronc commun Sciences BIOF
🔒 Document protĂ©gĂ© – Copie, clic droit et sĂ©lection dĂ©sactivĂ©s
📖 Rappel : PropriĂ©tĂ©s fondamentales
Relation de Chasles : \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\)
RĂšgle du parallĂ©logramme : \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) ⇔ \(ABCD\) parallĂ©logramme
Translation : L'image de \(B\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{AC}\) est le point \(M\) tel que \(\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AC}\)
✅ Exercice 2

ÉnoncĂ© : \(M\) est l'image de \(B\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{AC}\). Pour \(N\), on construit le parallĂ©logramme \(ACDN\) (car \(\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}\)).

Montrer que \(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{BD}\).

🔧 CorrigĂ© dĂ©taillĂ©

Étape 1 : DĂ©composons \(\overrightarrow{MN}\) en utilisant la relation de Chasles :

\[ \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AN} \]

Étape 2 : \(\overrightarrow{MA} = -\overrightarrow{AM}\). Or \(\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM}\).

\[ \overrightarrow{MA} = -(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM}) \]

Étape 3 : On sait que \(M\) est l'image de \(B\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{AC}\), donc :

\[ \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AC} \]

Étape 4 : On a \(\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}\) (par construction du parallĂ©logramme \(ACDN\)).

Étape 5 : Remplaçons tous les termes :

\[ \begin{aligned} \overrightarrow{MN} &= -(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM}) + (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}) \\ &= -(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} \\ &= -\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} \\ &= -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \end{aligned} \]

Étape 6 : Or \(-\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BD}\) (d'aprùs Chasles).

✅ Conclusion : \(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{BD}\)
✅ Exercice 3

ÉnoncĂ© : Soit \(ABC\) un triangle et \(M\) un point du plan. On dĂ©finit \(D\) et \(E\) par :

\[ \overrightarrow{MD} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{BC}, \quad \overrightarrow{ME} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{CA} \]

Quelle est la nature des quadrilatĂšres \(ABCD\) et \(ACBE\) ?

🔧 CorrigĂ© dĂ©taillĂ©

1ïžâƒŁ Nature de \(ABCD\) :

On a \(\overrightarrow{MD} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{BC}\).

Or \(\overrightarrow{MD} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AD}\) (d'aprĂšs Chasles).

\[ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{BC} \]

En simplifiant par \(\overrightarrow{MA}\) des deux cÎtés :

\[ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} \]

L'égalité \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\) signifie que les vecteurs \(\overrightarrow{AD}\) et \(\overrightarrow{BC}\) sont égaux :

  • mĂȘme direction
  • mĂȘme sens
  • mĂȘme longueur
✅ Donc \(ABCD\) est un parallĂ©logramme.

2ïžâƒŁ Nature de \(ACBE\) :

On a \(\overrightarrow{ME} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{CA}\).

Or \(\overrightarrow{ME} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AE}\) (d'aprĂšs Chasles).

De plus, \(\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB}\).

\[ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AE} = (\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB}) + \overrightarrow{CA} \]

En simplifiant par \(\overrightarrow{MA}\) des deux cÎtés :

\[ \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA} \]

Or \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CB}\) (d'aprĂšs Chasles).

\[ \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{CB} \]

L'égalité \(\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{CB}\) signifie que \(AE\) et \(CB\) sont égaux comme vecteurs.

✅ Donc \(ACBE\) est un parallĂ©logramme.
📝 À retenir
‱ \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\) ⇔ \(ABCD\) parallĂ©logramme
‱ \(\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{CB}\) ⇔ \(ACBE\) parallĂ©logramme
‱ Translation : image de \(B\) par \(\overrightarrow{AC}\) ⇔ \(\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AC}\)
📌 
Cours conforme au programme officiel - Tronc commun Sciences BIOF
🔱 Calcul vectoriel – Exercices corrigĂ©s

5. Calcul vectoriel dans le plan

 

Multiplication d'un vecteur par un rĂ©el – Exercices corrigĂ©s
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đŸ”č Rappel sur la diffĂ©rence
Soient \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs du plan.
La différence de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) est égale à la somme de \(\vec{u}\) et \((-\vec{v})\) : \[ \vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{v}) \]
✅ Exercice 04

ÉnoncĂ© : Soit \(ABCD\) un parallĂ©logramme. On pose \(\overrightarrow{AB} = \vec{i}\) et \(\overrightarrow{AC} = \vec{j}\).

Écrire les vecteurs \(\overrightarrow{AD}\) et \(\overrightarrow{BD}\) en fonction de \(\vec{i}\) et \(\vec{j}\).

🔧 CorrigĂ© dĂ©taillĂ©

Étape 1 : \(ABCD\) est un parallĂ©logramme, donc d'aprĂšs la rĂšgle du parallĂ©logramme :

\[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC} \]

Étape 2 : On en dĂ©duit \(\overrightarrow{AD}\) :

\[ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = \vec{j} - \vec{i} \]

Étape 3 : Calculons \(\overrightarrow{BD}\) :

\[ \begin{aligned} \overrightarrow{BD} &= \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} \\ &= -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \\ &= -\vec{i} + (\vec{j} - \vec{i}) \\ &= \vec{j} - 2\vec{i} \end{aligned} \]
RĂ©sultat : \(\overrightarrow{AD} = \vec{j} - \vec{i}\) et \(\overrightarrow{BD} = \vec{j} - 2\vec{i}\)
📌 IV. Multiplication d'un vecteur par un rĂ©el

Définition : Soit \(\vec{u}\) un vecteur non nul et \(k\) un nombre non nul. Le produit du vecteur \(\vec{u}\) par le nombre \(k\) est le vecteur \(k\vec{u}\) ayant les caractéristiques suivantes :

  • mĂȘme direction que \(\vec{u}\) ;
  • mĂȘme sens si \(k > 0\), sens contraire si \(k < 0\) ;
  • sa norme est \(|k| \times \|\vec{u}\|\).
📐 Illustration : \(\vec{u}\) et \(2\vec{u}\) (mĂȘme sens, double norme)

Remarques :

  • \(k\vec{u} = \vec{0}\) si et seulement si \(k = 0\) ou \(\vec{u} = \vec{0}\).
  • \(1\vec{u} = \vec{u}\), \((-1)\vec{u} = -\vec{u}\).
✅ Exercice 05

ÉnoncĂ© : \(A, B, C\) trois points du plan non alignĂ©s.

On considĂšre \(M, N, P, Q\) tels que :

\[ \overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{BC}, \quad \overrightarrow{AN} = -2\overrightarrow{AC}, \quad \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AP}, \quad \overrightarrow{AQ} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AP} \]
  1. Faire une figure.
  2. En déduire que \(2\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{AP}\) et \(B = Q\).
🔧 CorrigĂ© dĂ©taillĂ©

1) Figure :

📍 Points A, B, C non alignĂ©s
→ M : \(\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{BC}\)
→ N : \(\overrightarrow{AN} = -2\overrightarrow{AC}\)
→ P : \(\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AN}\) (rĂšgle du parallĂ©logramme)
→ Q : \(\overrightarrow{AQ} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AP}\) (Q est le milieu de [AP])

2) DĂ©monstration :

\[ \begin{aligned} \overrightarrow{AP} &= \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AN} \\ &= 2\overrightarrow{BC} - 2\overrightarrow{AC} \\ &= 2(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA}) \\ &= 2\overrightarrow{BA} \\ &= -2\overrightarrow{AB} \end{aligned} \]

On obtient donc : \(\overrightarrow{AP} = -2\overrightarrow{AB}\), soit \(2\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{AP}\).

De plus, \(\overrightarrow{AQ} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AP}\) donc \(\overrightarrow{AP} = 2\overrightarrow{AQ}\).

\[ -\overrightarrow{AP} = -2\overrightarrow{AQ} \Rightarrow 2\overrightarrow{AB} = -2\overrightarrow{AQ} \Rightarrow \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AQ} \]

L'égalité \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AQ}\) signifie que les points \(B\) et \(Q\) sont confondus, donc \(B = Q\).

📐 PropriĂ©tĂ©s de la multiplication par un rĂ©el

Quels que soient les vecteurs \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et les réels \(a\), \(b\) :

  1. \(a(\vec{u} + \vec{v}) = a\vec{u} + a\vec{v}\)
  2. \((a + b)\vec{u} = a\vec{u} + b\vec{u}\)
  3. \(a(b\vec{u}) = (a \times b)\vec{u}\)
  4. \(1\vec{u} = \vec{u}\)
  5. \(a(\vec{u} - \vec{v}) = a\vec{u} - a\vec{v}\)
  6. \((a - b)\vec{u} = a\vec{u} - b\vec{u}\)
✅ Exercice 06

ÉnoncĂ© : Soient les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\). Simplifier :

\[ \overrightarrow{W_1} = 2(\vec{u} + \vec{v}) - 4\left(\frac{1}{2}\vec{u} - \vec{v}\right) \] \[ \overrightarrow{W_2} = \frac{1}{3}(3\vec{u} - 9\vec{v}) + \frac{1}{2}(2\vec{u} + 6\vec{v}) - 2\vec{u} \]
🔧 CorrigĂ© dĂ©taillĂ©

Simplification de \(\overrightarrow{W_1}\) :

\[ \begin{aligned} \overrightarrow{W_1} &= 2\vec{u} + 2\vec{v} - 4 \times \frac{1}{2}\vec{u} + 4\vec{v} \\ &= 2\vec{u} + 2\vec{v} - 2\vec{u} + 4\vec{v} \\ &= (2\vec{u} - 2\vec{u}) + (2\vec{v} + 4\vec{v}) \\ &= 6\vec{v} \end{aligned} \]

Simplification de \(\overrightarrow{W_2}\) :

\[ \begin{aligned} \overrightarrow{W_2} &= \frac{1}{3} \times 3\vec{u} - \frac{1}{3} \times 9\vec{v} + \frac{1}{2} \times 2\vec{u} + \frac{1}{2} \times 6\vec{v} - 2\vec{u} \\ &= \vec{u} - 3\vec{v} + \vec{u} + 3\vec{v} - 2\vec{u} \\ &= (\vec{u} + \vec{u} - 2\vec{u}) + (-3\vec{v} + 3\vec{v}) \\ &= \vec{0} \end{aligned} \]
RĂ©sultats : \(\overrightarrow{W_1} = 6\vec{v}\) et \(\overrightarrow{W_2} = \vec{0}\)
📝 Formulaire à retenir
‱ \(\vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{v})\) (diffĂ©rence)
‱ \(k\vec{u}\) : mĂȘme direction, mĂȘme sens si \(k>0\), sens contraire si \(k<0\)
‱ \(\|k\vec{u}\| = |k| \times \|\vec{u}\|\) (norme)
‱ \(k\vec{u} = \vec{0} \iff k=0 \text{ ou } \vec{u}=\vec{0}\)
‱ DistributivitĂ© : \(a(\vec{u}+\vec{v}) = a\vec{u} + a\vec{v}\)
🔱 Multiplication d'un vecteur par un rĂ©el – Exercices corrigĂ©s

6. Colinéarité de deux vecteurs

PROF : ATMANI NAJIB - Tronc commun Sciences BIOF
📝 Exercice 07 : Soit \(ABC\) un triangle et on pose \(\overrightarrow{AB}=\vec{i}\) et \(\overrightarrow{AC}=\vec{j}\).
Construire le vecteur \(3\vec{i} - 2\vec{j}\).
✅ CorrigĂ© :
📐 Construction de \(3\vec{i} - 2\vec{j}\) à partir de l'origine \(A\) :
→ \(3\vec{i}\) : 3 fois le vecteur \(\overrightarrow{AB}\)
→ \(-2\vec{j}\) : 2 fois le vecteur opposĂ© Ă  \(\overrightarrow{AC}\)
→ La somme donne le vecteur rĂ©sultant \(3\vec{i} - 2\vec{j}\)

V) Colinéarité de deux vecteurs

📌 1) DĂ©finition : Deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinĂ©aires s'il existe un rĂ©el \(k\) tel que \(\vec{u} = k\vec{v}\).
💡 Deux vecteurs non nuls sont colinĂ©aires si et seulement s'ils ont la mĂȘme direction.
📌 2) PropriĂ©tĂ©s :
  1. Trois points \(A, B, C\) sont alignés si et seulement s'il existe \(k \in \mathbb{R}\) tel que \(\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{AC}\).
  2. Soit \((AB)\) une droite. \(M \in (AB)\) si et seulement si \(\overrightarrow{AM}\) et \(\overrightarrow{AB}\) sont colinéaires.
  3. Deux droites \((AB)\) et \((CD)\) sont parallÚles si et seulement si \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont colinéaires.
📝 Exercice 08 : Soit \(ABC\) un triangle. \(E\) et \(F\) sont deux points tels que : \[ \overrightarrow{AF} = \frac{4}{3}\overrightarrow{AC}, \qquad \overrightarrow{CE} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} \]
  1. Faire une figure.
  2. Exprimer \(\overrightarrow{BE}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
  3. Exprimer \(\overrightarrow{BF}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
  4. En déduire que \(E\), \(F\) et \(B\) sont alignés.
✅ CorrigĂ© :
📍 Figure : triangle ABC
→ F sur (AC) tel que \(AF = \frac{4}{3} AC\)
→ E tel que \(CE = \frac{1}{4} AB\)
  1. \[ \begin{aligned} \overrightarrow{BE} &= \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AE} \\ &= -\overrightarrow{AB} + (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CE}) \\ &= -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} \\ &= \overrightarrow{AC} - \frac{3}{4}\overrightarrow{AB} \end{aligned} \]
  2. \[ \overrightarrow{BF} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AF} = -\overrightarrow{AB} + \frac{4}{3}\overrightarrow{AC} \]
  3. \[ \begin{aligned} \overrightarrow{BF} &= -\overrightarrow{AB} + \frac{4}{3}\overrightarrow{AC} \\ &= \frac{4}{3}\left( \overrightarrow{AC} - \frac{3}{4}\overrightarrow{AB} \right) \\ &= \frac{4}{3}\overrightarrow{BE} \end{aligned} \] Donc \(\overrightarrow{BF}\) et \(\overrightarrow{BE}\) sont colinĂ©aires → \(B, E, F\) sont alignĂ©s.
📝 Exercice 09 : Soit \(ABC\) un triangle. \(I\) et \(J\) sont deux points tels que : \[ \overrightarrow{AI} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB}, \qquad \overrightarrow{AJ} = 3\overrightarrow{AC} \]
  1. a) Exprimer \(\overrightarrow{IC}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
    b) Exprimer \(\overrightarrow{BJ}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
  2. DĂ©duire que les droites \((IC)\) et \((BJ)\) sont parallĂšles.
✅ CorrigĂ© :
  1. a) \[ \overrightarrow{IC} = \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{AC} = -\frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \] b) \[ \overrightarrow{BJ} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AJ} = -\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC} \]
  2. On remarque que : \[ \overrightarrow{BJ} = 3\left( -\frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \right) = 3\,\overrightarrow{IC} \] Donc \(\overrightarrow{BJ}\) et \(\overrightarrow{IC}\) sont colinéaires, ce qui prouve que les droites \((IC)\) et \((BJ)\) sont parallÚles.
📝 À retenir :
  • \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) colinĂ©aires ⇔ \(\exists k \in \mathbb{R}, \vec{u} = k\vec{v}\)
  • Points alignĂ©s ⇔ vecteurs colinĂ©aires
  • Droites parallĂšles ⇔ vecteurs directeurs colinĂ©aires
📌 Cours : ColinĂ©aritĂ© de deux vecteurs – Exercices corrigĂ©s.
Toutes les formules sont en MathML. Protection anti-copie active.
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7. Calcul vectoriel dans le plan

 

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Rappel exercice 09 :
\(\overrightarrow{BJ} = -\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}\).
On a montré que \(\overrightarrow{BJ} = 3\overrightarrow{IC}\) donc \((IC) \parallel (BJ)\).

VI) Milieu d’un segment

📌 PropriĂ©tĂ© 1 : Soient \(A\), \(B\) et \(I\) trois points du plan. Les quatre assertions suivantes sont Ă©quivalentes :
  1. \(I\) est le milieu du segment \([AB]\).
  2. \(\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB}\)
  3. \(\overrightarrow{AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\)
  4. \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}\)
📌 PropriĂ©tĂ© 2 (CaractĂ©risation du milieu) :
\(I\) est le milieu de \([AB]\) si et seulement si pour tout point \(M\) du plan : \[ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MI} \]
🔍 DĂ©monstration :
(⇒) Si \(I\) est le milieu de \([AB]\), alors \(\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB}\).
Pour tout \(M\) : \[ \begin{aligned} \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} &= (\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA}) + (\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB}) \\ &= 2\overrightarrow{MI} + (\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB}) \\ &= 2\overrightarrow{MI} \end{aligned} \] car \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}\).

(⇐) Si pour tout \(M\), \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MI}\),
en prenant \(M = I\) on obtient \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}\), donc \(I\) est le milieu de \([AB]\).
📝 Exercice 10 : Soit \(ABC\) un triangle. Les points \(E\) et \(F\) sont tels que : \[ \overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}, \qquad \overrightarrow{BE} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} \]
  1. Faire une figure.
  2. Montrer que \(C\) est le milieu du segment \([EF]\).
✅ CorrigĂ© :
📍 Figure : triangle ABC
→ F : \(\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\)
→ E : \(\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}\)
→ C est le milieu de [EF]
  1. \[ \begin{aligned} \overrightarrow{BE} &= \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} \\ \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CE} &= \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} \quad \Rightarrow \quad \overrightarrow{CE} = \overrightarrow{BA} \quad (1) \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} \overrightarrow{AF} &= \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \\ \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CF} &= \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \quad \Rightarrow \quad \overrightarrow{CF} = \overrightarrow{AB} \quad (2) \end{aligned} \] De (1) et (2) : \[ \overrightarrow{CE} + \overrightarrow{CF} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AB} = \vec{0} \] Donc \(\overrightarrow{CE} = -\overrightarrow{CF}\), ce qui signifie que \(C\) est le milieu du segment \([EF]\).
📝 À retenir sur le milieu :
  • \(I\) milieu de \([AB]\) ⇔ \(\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB}\)
  • \(I\) milieu de \([AB]\) ⇔ \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}\)
  • Pour tout point \(M\) : \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MI}\)