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Calcul vectoriel dans le plan

Site: seedocx - Education
Course: Arithmétique dans ℕ
Book: Calcul vectoriel dans le plan
Printed by: Guest user
Date: Tuesday, 9 June 2026, 12:23 AM

Description

 

A) Généralités sur les vecteurs

Soient \(A\) et \(B\) deux points du plan \((\mathcal{P})\). Un vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est défini par trois données :

  • sa direction : celle de la droite \((AB)\) ;
  • son sens : de \(A\) vers \(B\) ;
  • sa norme (longueur) : la distance \(AB\), notée \(\|\overrightarrow{AB}\| = AB\).
Remarque :
  • Si \(A = B\), le vecteur est nul : \(\overrightarrow{AA} = \vec{0}\).
  • Deux vecteurs sont égaux s'ils ont même direction, même sens et même norme.
  • \(\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BA}\) (les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BA}\) sont opposés).

Somme de deux vecteurs

a) Relation de Chasles : Soient \(A, B, C\) trois points du plan. \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}. \]
b) Règle du parallélogramme : La somme des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) est le vecteur \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\) tel que \(ABCD\) est un parallélogramme.

B) Produit d’un vecteur par un réel

Définition : On appelle produit du vecteur \(\vec{u}\) par le réel \(k\) le vecteur noté \(k\vec{u}\) :
  • de même direction que \(\vec{u}\) ;
  • de même sens que \(\vec{u}\) si \(k > 0\), de sens contraire si \(k < 0\) ;
  • de norme égale à \(|k|\) fois la norme de \(\vec{u}\).

2) Notion de colinéarité

Définition : Deux vecteurs non nuls \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires s'il existe un réel \(k\) tel que \(\vec{u} = k\vec{v}\).
Propriétés : Soient \(A, B, C, D\) des points deux à deux distincts.
  1. \((AB) \parallel (CD)\) ⇔ \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont colinéaires.
  2. \(A, B, C\) alignés ⇔ \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.

3) Milieu d’un segment

Propriétés : Si \(I\) est le milieu du segment \([AB]\), alors :
  1. \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}\)
  2. \(\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB}\)
  3. \(\overrightarrow{AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\)
Caractérisation du milieu : \(I\) est le milieu de \([AB]\) si et seulement si pour tout point \(M\) du plan : \[ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2 \overrightarrow{MI}. \]
📌 Résumé de cours : vecteurs, somme, produit par un réel, colinéarité, milieu.
Toutes les expressions sont en MathML. Protection anti-copie active.

Table of contents

1. Projection dans le plan

 

2) Propriétés de la projection

  • Chaque point de la droite \((D)\) est confondu avec sa projection (point invariant).
  • Si un point est confondu avec sa projection, alors il appartient à \((D)\).
  • La droite \((D)\) est globalement invariante par la projection sur \((D)\) parallèlement à \((\Delta)\).
  • L'image d'un segment \([AB]\) par la projection \(P\) est le segment \([A'B']\) : \(P([AB])=[A'B']\).
  • La projection conserve les milieux.
Remarque : Si les droites \((D)\) et \((\Delta)\) sont perpendiculaires, on parle de projection orthogonale de \(M\) sur \((D)\).
📝 Exercice 01 : Soit \(ABC\) un triangle isocèle de sommet \(A\). \(I\) est le milieu de \([BC]\).
\(J\) est la projection orthogonale de \(I\) sur \((AB)\).
\(K\) est la projection de \(I\) sur \((AC)\) parallèlement à \((AB)\).
  1. Faire une figure.
  2. Déterminer l'image du segment \([BC]\) par la projection sur \((AC)\) parallèlement à \((AB)\).
  3. Déterminer le milieu du segment \([AC]\).
📐 Triangle isocèle ABC (A sommet)
• A ●
• B ●—————● C
• I milieu de [BC]
• J projection orthogonale de I sur AB
• K projection de I sur AC parallèlement à AB
Figure de l'exercice 01
✅ Corrigé :
  1. Voir figure ci-dessus.
  2. Par la projection sur \((AC)\) parallèlement à \((AB)\) :
    - L'image de \(B\) est \(A\) (car \((AB)\) est la direction, et la parallèle à \((AB)\) passant par \(B\) coupe \((AC)\) en \(A\)).
    - \(C\) est sur \((AC)\) donc invariant.
    Donc l'image du segment \([BC]\) est le segment \([AC]\).
  3. \(I\) est le milieu de \([BC]\). La projection conserve les milieux, donc l'image de \(I\) par cette projection est le milieu de l'image de \([BC]\), c'est-à-dire le milieu de \([AC]\).
    Or l'image de \(I\) est \(K\) (par construction). Donc \(K\) est le milieu du segment \([AC]\).
    Autrement dit : \(K\) est le milieu de \([AC]\).

3) Théorème de Thalès (version projective)

Soient \((D)\) et \((\Delta)\) deux droites sécantes en un point. Soient \(A, B, C\) trois points alignés tels que \((AB)\) et \((\Delta)\) ne sont pas parallèles. Soient \(A', B', C'\) leurs projetés respectifs sur \((D)\) parallèlement à \((\Delta)\).
  1. Alors : \[ \frac{AB}{AC} = \frac{A'B'}{A'C'}. \]
  2. Si \(\overrightarrow{AB} = k\,\overrightarrow{AC}\) avec \(k\in\mathbb{R}\), alors \(\overrightarrow{A'B'} = k\,\overrightarrow{A'C'}\).
    La projection conserve le coefficient d'alignement de trois points.
  3. Si \(\overrightarrow{AB} = k\,\overrightarrow{CD}\), alors \(\overrightarrow{A'B'} = k\,\overrightarrow{C'D'}\).
    La projection conserve le coefficient de colinéarité de deux vecteurs.

4) Théorème réciproque de Thalès (version projective)

Soient \((D)\) et \((D')\) deux droites non parallèles à une troisième \((\Delta)\). Soient \(A, B\) deux points de \((D)\) et \(A', B'\) leurs projetés respectifs sur \((D')\) parallèlement à \((\Delta)\).
Si \(C\) est un point de \((D)\) et \(C'\) un point de \((D')\) tels que \[ \frac{AB}{AC} = \frac{A'B'}{A'C'} \] et que les points \(A, B, C\) sont dans le même ordre sur \((D)\) que \(A', B', C'\) sur \((D')\), alors \(C'\) est la projection de \(C\) sur \((D')\) parallèlement à \((\Delta)\) et on a : \[ (AA') \parallel (BB') \parallel (CC'). \]
📌 Cours : Propriétés de la projection, exercice corrigé, théorème de Thalès et sa réciproque.
Toutes les formules sont en MathML. Protection anti-copie active.

2. Projection, Thalès et colinéarité

 

Tronc Commun Sciences BIOF
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📐 I. Théorème de Thalès (direct)
📐 Propriété :
Soient \((D_1)\) et \((D_2)\) deux droites sécantes. \(A, B, C\) trois points alignés, \((AB)\) non parallèle à \((D_1)\) et \((D_2)\).
Si \(A', B', C'\) sont les projetés de \(A, B, C\) sur \((D_2)\) parallèlement à \((D_1)\), alors : \[ \frac{AB}{AC} = \frac{A'B'}{A'C'}. \]
📌 Application :
On considère la figure suivante où \((AB) \parallel (DC)\).
\(DI = 54\), \(IA = 9\), \(IB = x\), \(IC = 45\). Déterminer \(x\). 
    A ----- B
     \     /
      \   /
       \ /
        I
       / \
      /   \
     /     \
    D ----- C

Configuration : (AB) // (DC), I intersection des segments AD et BC

Solution : Par le théorème de Thalès (configuration papillon) : \[ \frac{DI}{IA} = \frac{IC}{IB} \quad\Rightarrow\quad \frac{54}{9} = \frac{45}{x} \quad\Rightarrow\quad 6 = \frac{45}{x} \quad\Rightarrow\quad x = \frac{45}{6} = 7.5. \] Donc \(x = 7.5\).
📐 II. Réciproque du théorème de Thalès
📐 Propriété :
Soient \((D_1)\) et \((D_2)\) deux droites sécantes en \(A\). \(B, M\) sur \((D_1)\) distincts de \(A\) ; \(C, N\) sur \((D_2)\) distincts de \(A\).
Si \(A, B, M\) et \(A, C, N\) sont dans le même ordre et \[ \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}, \] alors \((MN) \parallel (BC)\).
📌 Exemple :
Dans les configurations où les rapports sont égaux et les points alignés dans le même ordre, on conclut au parallélisme.
📐 III. Conservation du coefficient de colinéarité
📐 Propriété :
Soient \((D_1)\) et \((D_2)\) deux droites sécantes. Si \(\overrightarrow{AB} = k\,\overrightarrow{CD}\) et \(A', B', C', D'\) sont les projetés respectifs sur \((D_2)\) parallèlement à \((D_1)\), alors \[ \overrightarrow{A'B'} = k\,\overrightarrow{C'D'}. \] La projection conserve le coefficient de colinéarité.
📌 Application :
Soit \(ABC\) un triangle. \(D\) est un point de \((BC)\) (\(D \notin [BC]\)) et \(O\) un point tel que \(\overrightarrow{AO} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AD}\).
\(E\) est le projeté de \(D\) sur \((AC)\) parallèlement à \((OC)\).
\(F\) est le projeté de \(D\) sur \((AB)\) parallèlement à \((OB)\). 
        A
       / \
      /   \
     /     \
    B---D---C
        |
        O

Configuration : Triangle ABC, D sur (BC), O sur (AD)

1. Montrer que \(\overrightarrow{AC} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AE}\) et \(\overrightarrow{AB} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AF}\).
2. Montrer que \((EF) \parallel (BC)\).

Démonstration :

\(E\) est le projeté de \(D\) sur \((AC)\) parallèlement à \((OC)\). Par conservation du coefficient de colinéarité (Thalès vectoriel) appliqué à la projection de direction \((OC)\) sur \((AC)\) :

Puisque \(A, O, D\) sont alignés avec \(\overrightarrow{AO} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AD}\), leurs projetés \(A, ?, E\) vérifient \(\overrightarrow{AE} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AC}\) (car \(A\) est invariant, \(C\) est l'image de \(D\)).

De même, pour \(F\) sur \((AB)\) parallèlement à \((OB)\) : \(\overrightarrow{AF} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AB}\).

On a alors :

\[ \begin{aligned} \overrightarrow{EF} &= \overrightarrow{EA} + \overrightarrow{AF} = -\frac{3}{4}\overrightarrow{AC} + \frac{3}{4}\overrightarrow{AB} \\ &= \frac{3}{4}(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}) = \frac{3}{4}\overrightarrow{CB} = -\frac{3}{4}\overrightarrow{BC}. \end{aligned} \]

Donc \(\overrightarrow{EF}\) est colinéaire à \(\overrightarrow{BC}\) ; par conséquent \((EF) \parallel (BC)\).

📌 Résumé du cours
• Théorème de Thalès (direct) : \(\displaystyle \frac{AB}{AC} = \frac{A'B'}{A'C'}\)
• Réciproque de Thalès : Si \(\displaystyle \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}\) et points dans le même ordre, alors \((MN) \parallel (BC)\)
• Conservation du coefficient de colinéarité : La projection conserve le coefficient de colinéarité.
📌 Cours : Projection, théorème de Thalès direct et réciproque, conservation du coefficient de colinéarité
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3. Exercice

 

 

📝 Exercice 02 : Soit \(ABC\) un triangle et \(D\) un point défini par : \[ \overrightarrow{AD} = \frac{3}{2} \overrightarrow{AB}. \]
  1. Faire une figure.
  2. La droite parallèle à \((BC)\) passant par \(D\) coupe \((AC)\) en \(E\).
    a) Déterminer \(DE\) en fonction de \(BC\).
    b) Montrer que \(\overrightarrow{DE} = \frac{3}{2} \overrightarrow{BC}\) et que \(\overrightarrow{AE} = \frac{3}{2} \overrightarrow{AC}\).
📐 Triangle ABC
• A ●
• B ●—————● C
• D sur (AB) tel que AD = 3/2 AB
• E sur (AC) avec (DE) // (BC)
Figure exercice 02
✅ Corrigé :
  1. Voir figure ci-dessus.
  1. a) Par le théorème de Thalès (configuration "triangle") : \[ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}. \] Or \(\overrightarrow{AD} = \frac{3}{2}\overrightarrow{AB}\) donc \(\frac{AD}{AB} = \frac{3}{2}\).
    Par suite \(\frac{DE}{BC} = \frac{3}{2}\), d'où \(DE = \frac{3}{2} BC\).

    b) \(\overrightarrow{DE}\) et \(\overrightarrow{BC}\) sont colinéaires et de même sens, donc : \[ \overrightarrow{DE} = \frac{3}{2}\overrightarrow{BC}. \] De même, \(\frac{AE}{AC} = \frac{3}{2}\) et \(\overrightarrow{AE}\) a le même sens que \(\overrightarrow{AC}\), donc : \[ \overrightarrow{AE} = \frac{3}{2}\overrightarrow{AC}. \]
📝 Exercice 03 : Soit \(ABC\) un triangle et \(M\) un point défini par : \[ \overrightarrow{AM} = \frac{2}{3} \overrightarrow{AB}. \]
  1. Construire le point \(M'\), projeté de \(M\) sur la droite \((AC)\) parallèlement à \((BC)\).
  2. Montrer que \(\overrightarrow{AM'} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AC}\) et en déduire que \(\overrightarrow{MM'} = \frac{2}{3}\overrightarrow{BC}\).
✅ Corrigé :
  1. Soit \(P\) la projection sur \((AC)\) parallèlement à \((BC)\).
    \(A\) et \(C\) sont sur \((AC)\) donc invariants : \(P(A)=A\), \(P(C)=C\).
    \(P(B)=C\) (car la parallèle à \((BC)\) passant par \(B\) est \((BC)\) elle-même, elle coupe \((AC)\) en \(C\)).
    Comme \(M\) est sur \([AB]\) et que la projection conserve le coefficient d'alignement, on a : \[ \overrightarrow{AM'} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AC}. \] La construction de \(M'\) est donc le point de \((AC)\) tel que \(AM' = \frac{2}{3} AC\) dans le même sens que \(AC\).
  2. On a \(\overrightarrow{AM'} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AC}\) (prouvé ci-dessus).
    Alors : \[ \begin{aligned} \overrightarrow{MM'} &= \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AM'} \\ &= -\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AM'} \\ &= -\frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AC} \\ &= \frac{2}{3}\left(-\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\right) = \frac{2}{3}\overrightarrow{BC}. \end{aligned} \] Donc \(\overrightarrow{MM'} = \frac{2}{3}\overrightarrow{BC}\).

4. Vecteurs du plan

 
– Tronc commun Sciences BIOF
📌 I. Vecteurs du plan – Définition

Définition : Un vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est défini par trois éléments :

  • sa direction (celle de la droite \((AB)\)) ;
  • son sens (de \(A\) vers \(B\)) ;
  • sa norme (longueur) notée \(\|\overrightarrow{AB}\| = AB\).
🎯 Activité (hexagone régulier ABCDEF de centre O, I milieu de [AB], J milieu de [ED]) :

Citer :

  1. Deux vecteurs égaux.
  2. Deux vecteurs de même direction, sens contraire et normes différentes.
  3. Deux vecteurs de même direction, même sens et normes différentes.
  4. Deux vecteurs de direction différente et de même norme.
  5. Deux vecteurs opposés.
Corrigé :
① \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{FO} = \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{ED}\)
② \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CF}\)
③ \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{FC}\)
④ \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BC}\)
⑤ \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{DE}\)
📌 II. Égalité de deux vecteurs
\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\) ⇔ même direction, même sens et même norme.

Remarques :

  • On note \(\vec{u}\) le vecteur représenté par \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{CD}\), etc.
  • \(\overrightarrow{AB} = \vec{0}\) ⇔ \(A = B\).
📌 III. Somme de deux vecteurs
Relation de Chasles : Pour tous points \(A, B, C\) :
\[ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} \]
Règle du parallélogramme :
Si \(\overrightarrow{AB} = \vec{u}\) et \(\overrightarrow{AC} = \vec{v}\), alors \(\overrightarrow{AD} = \vec{u} + \vec{v}\) où \(ABDC\) est un parallélogramme.
📌 IV. Multiplication d'un vecteur par un réel

Soit \(\vec{u}\) un vecteur et \(k \in \mathbb{R}\). Le vecteur \(k\vec{u}\) a :

  • la même direction que \(\vec{u}\) ;
  • le même sens si \(k > 0\), sens contraire si \(k < 0\) ;
  • une norme \(\|k\vec{u}\| = |k| \times \|\vec{u}\|\).
📌 V. Colinéarité de deux vecteurs
Deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires s'il existe un réel \(\lambda\) tel que \(\vec{v} = \lambda \vec{u}\) (ou \(\vec{u} = \lambda \vec{v}\)).

Cela signifie qu'ils ont la même direction.

📌 VI. Milieu d'un segment
Si \(I\) est le milieu de \([AB]\), alors :
\[ \overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} \] et pour tout point \(M\) :
\[ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MI} \]
✅ Exercice 1

Énoncé : Simplifier : \(\vec{U} = \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AB}\)

\[ \begin{aligned} \vec{U} &= \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB} \\ &= \overrightarrow{BA} + 2\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AB} \end{aligned} \]

Résultat : \(\vec{U} = \overrightarrow{AB}\)

✅ Exercice 2

Énoncé : Construire les points \(M\) et \(N\) tels que \(\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}\). Montrer que \(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{BD}\).

\[ \begin{aligned} \overrightarrow{MN} &= \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AN} = -\overrightarrow{AM} + (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}) \\ &= -(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BD} \end{aligned} \]

Donc \(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{BD}\) (CQFD).

✅ Exercice 3

Énoncé : Soit \(ABC\) un triangle et \(M\) un point. On pose :

\[ \overrightarrow{MD} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{BC}, \quad \overrightarrow{ME} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{CA} \]

Quelle est la nature de \(ABCD\) et \(ACBE\) ?

Corrigé :
• \(\overrightarrow{MD} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{BC} \Rightarrow \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\) ⇒ \(ABCD\) est un parallélogramme.
• \(\overrightarrow{ME} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{CA} \Rightarrow \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{CB}\) ⇒ \(ACBE\) est un parallélogramme.
✅ Exercice 4 (Application)

Énoncé : Soit \(ABCD\) un parallélogramme de centre \(O\). Démontrer que pour tout point \(M\) :

\[ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} = 4\overrightarrow{MO} \]
Corrigé :
\[ \begin{aligned} \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC} &= 2\overrightarrow{MO} \quad \text{(car O milieu de [AC])}\\ \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MD} &= 2\overrightarrow{MO} \quad \text{(car O milieu de [BD])}\\ \text{Donc } \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} &= 2\overrightarrow{MO} + 2\overrightarrow{MO} = 4\overrightarrow{MO} \end{aligned} \]
✅ Exercice 5 (Colinéarité)

Énoncé : Dans un repère, on donne \(\vec{u}(2;-3)\) et \(\vec{v}(-4;6)\). Ces vecteurs sont-ils colinéaires ?

Corrigé :
\[ \frac{2}{-4} = \frac{-3}{6} \Rightarrow \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2} \quad \text{et} \quad \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2} \] \[ \text{Donc } \vec{v} = -2\vec{u} \quad \Rightarrow \quad \text{Les vecteurs sont colinéaires.} \]
📝 Formulaire à retenir
• \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\) (Chasles)
• \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\) ⇔ \(ABDC\) parallélogramme
• \(I\) milieu de \([AB]\) ⇔ \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}\)
• \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) colinéaires ⇔ \(\exists \lambda \in \mathbb{R}, \vec{v} = \lambda \vec{u}\)
🔢 Vecteurs du plan – Résumé complet et exercices corrigés

5. EXERCICES

 

🎯 Objectif : Utiliser les vecteurs dans une figure étoilée

Énoncé : Soit un pentagone régulier ABCDE de centre O. On note :

\[ \vec{u} = \overrightarrow{OA}, \quad \vec{v} = \overrightarrow{OB}, \quad \vec{w} = \overrightarrow{OC} \]

Exprimer \(\overrightarrow{OE}\) en fonction de \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\).

Sachant que la somme des vecteurs \(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{OE} = \vec{0}\), en déduire une relation entre \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\).

💡 Voir les étapes
Étape 1 : Dans un pentagone régulier, les sommets sont disposés à 72° les uns des autres.
\[ \overrightarrow{OE} = \text{rotation de } \overrightarrow{OA} \text{ de } -72^\circ \]
Étape 2 : On peut exprimer \(\overrightarrow{OE}\) comme combinaison linéaire :
\[ \overrightarrow{OE} = -\vec{u} - \vec{v} - \vec{w} - \overrightarrow{OD} \]

Mais par symétrie, \(\overrightarrow{OD} = \text{rotation de } \overrightarrow{OC} \text{ de } 72^\circ\).

Étape 3 : En utilisant la condition \(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{OE} = \vec{0}\) et la symétrie du pentagone (\(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} = -\overrightarrow{OE}\)), on obtient :
\[ \vec{u} + \vec{v} + \vec{w} = \vec{0} \]
✅ Corrigé :

Par symétrie du pentagone régulier, on a :

\[ \overrightarrow{OD} = \text{rotation de } \vec{w} \text{ de } 72^\circ, \quad \overrightarrow{OE} = \text{rotation de } \vec{u} \text{ de } -72^\circ \]

La somme nulle donne : \(\vec{u} + \vec{v} + \vec{w} + \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{OE} = \vec{0}\).

En utilisant les propriétés de rotation et le fait que la somme des vecteurs d'un pentagone régulier est nulle, on déduit :

\[ \vec{u} + \vec{v} + \vec{w} = \vec{0} \]
 

🎯 Objectif : Maîtriser les barycentres et les vecteurs

Énoncé : Soit ABC un triangle. On considère les points D, E, F définis par :

\[ \overrightarrow{AD} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB}, \quad \overrightarrow{BE} = \frac{1}{3}\overrightarrow{BC}, \quad \overrightarrow{CF} = \frac{1}{3}\overrightarrow{CA} \]

Démontrer que les droites (AE), (BF) et (CD) sont concourantes.

💡 Voir les étapes
Étape 1 : Exprimer tous les points en fonction de A, B, C.
\[ D = A + \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} = \frac{2}{3}A + \frac{1}{3}B \] \[ E = B + \frac{1}{3}\overrightarrow{BC} = \frac{2}{3}B + \frac{1}{3}C \] \[ F = C + \frac{1}{3}\overrightarrow{CA} = \frac{2}{3}C + \frac{1}{3}A \]
Étape 2 : Chercher le point d'intersection G de (AE) et (BF) en résolvant :
\[ G = \alpha A + (1-\alpha)E = \beta B + (1-\beta)F \]
Étape 3 : Identifier les coefficients barycentriques.
\[ G = \frac{1}{3}A + \frac{1}{3}B + \frac{1}{3}C \]

C'est le centre de gravité du triangle ABC.

Étape 4 : Vérifier que G appartient aussi à (CD).
\[ G = \frac{1}{3}C + \frac{2}{3}D \]
✅ Corrigé :

Le point G défini par \(\overrightarrow{AG} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\) est le centre de gravité du triangle ABC.

On vérifie successivement :

\[ G \in (AE) \iff \overrightarrow{AG} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AE} \] \[ G \in (BF) \iff \overrightarrow{BG} = \frac{1}{3}\overrightarrow{BF} \] \[ G \in (CD) \iff \overrightarrow{CG} = \frac{1}{3}\overrightarrow{CD} \]

Donc les trois droites (AE), (BF) et (CD) sont concourantes au centre de gravité G du triangle ABC.

 

🎯 Objectif : Lier vecteurs et nombres complexes

Énoncé : Dans le plan complexe, on considère les points A, B, C d'affixes respectives \(a, b, c\).

Montrer que le triangle ABC est équilatéral si et seulement si :

\[ a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca \]

Que devient cette condition en termes vectoriels ?

💡 Voir les étapes
Étape 1 : Le triangle ABC est équilatéral si et seulement si les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont de même longueur et forment un angle de 60°.
\[ |b-a| = |c-a| \quad \text{et} \quad \arg\left(\frac{b-a}{c-a}\right) = \pm\frac{\pi}{3} \]
Étape 2 : En termes complexes, cela équivaut à :
\[ \frac{b-a}{c-a} = e^{\pm i\pi/3} = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2} \]
Étape 3 : En développant et simplifiant, on obtient :
\[ (b-a)^2 + (c-a)^2 = (b-a)(c-a) \]
Étape 4 : En développant, on aboutit à :
\[ a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca \]
✅ Corrigé :

La condition \(a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca\) peut se factoriser :

\[ \frac{1}{2}\left[(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2\right] = 0 \]

En termes vectoriels, cette condition équivaut à :

\[ \|\overrightarrow{AB}\|^2 + \|\overrightarrow{BC}\|^2 + \|\overrightarrow{CA}\|^2 = \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{AB} \]

Ce qui caractérise un triangle équilatéral.

 

🎯 Objectif : Étendre les concepts vectoriels à l'espace

Énoncé : Soit ABCD un tétraèdre. On note I, J, K, L les milieux respectifs des arêtes [AB], [CD], [AC], [BD].

Démontrer que les segments [IJ] et [KL] se coupent en leur milieu.

Que peut-on dire des vecteurs \(\overrightarrow{IJ}\) et \(\overrightarrow{KL}\) ?

💡 Voir les étapes
Étape 1 : Utiliser la relation vectorielle du milieu.
\[ \overrightarrow{OI} = \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}}{2}, \quad \overrightarrow{OJ} = \frac{\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}}{2} \]
Étape 2 : Calculer \(\overrightarrow{IJ}\) et \(\overrightarrow{KL}\).
\[ \overrightarrow{IJ} = \frac{\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}}{2} \] \[ \overrightarrow{KL} = \frac{\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OC}}{2} \]
Étape 3 : Montrer que \(\overrightarrow{IJ} + \overrightarrow{KL} = \vec{0}\).
\[ \overrightarrow{IJ} + \overrightarrow{KL} = \frac{(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}) + (\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC})}{2} = \vec{0} \]
Étape 4 : En déduire que I et J sont symétriques de K et L par rapport au même point.
✅ Corrigé :

On a montré que \(\overrightarrow{IJ} + \overrightarrow{KL} = \vec{0}\), donc \(\overrightarrow{IJ} = -\overrightarrow{KL}\).

Les vecteurs \(\overrightarrow{IJ}\) et \(\overrightarrow{KL}\) sont opposés, donc les segments [IJ] et [KL] ont le même milieu.

De plus, \(\overrightarrow{IJ}\) et \(\overrightarrow{KL}\) sont colinéaires (en fait opposés), donc les droites (IJ) et (KL) sont parallèles.

6. g

A B C Figure : Triangle ABC
A B C D \(\vec{u}\) \(\vec{v}\)

7. Vecteurs du plan

 

Propriétés fondamentales – Tronc commun Sciences BIOF
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📌 Loi 1 – Relation de Chasles

Propriété : Pour trois points A, B, C du plan, on a :

\[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} \]
 
📖 Interprétation : La somme vectorielle correspond au chemin direct de A à C.

Remarque : Cette relation est fondamentale car elle permet de décomposer un vecteur en une somme de vecteurs.

📌 Loi 2 – Associativité

Propriété : Pour quatre points A, B, C, D du plan, on a :

\[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} \]
📖 Interprétation : L'addition vectorielle est associative. L'ordre des vecteurs ne change pas la somme.

Remarque : On peut généraliser à un nombre quelconque de points :

\[ \overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{A_1A_2} + \cdots + \overrightarrow{A_{n-1}A_n} = \overrightarrow{AA_n} \]
📌 Loi 3 – Distributivité

Propriété : Pour tout réel \(\alpha\) et tous vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\), on a :

\[ \alpha(\vec{u} + \vec{v}) = \alpha\vec{u} + \alpha\vec{v} \]
 
📖 Interprétation : La multiplication par un scalaire est distributive par rapport à l'addition vectorielle.

Exemple : Pour \(\alpha = 2\) :

\[ 2(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) = 2\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{BC} \]
📌 Loi 4 – Vecteur nul

Propriété : Pour tout point A et B du plan, on a :

\[ \overrightarrow{AA} = \vec{0} \]
\[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \vec{0} \]
📖 Interprétation : Le vecteur nul est l'élément neutre de l'addition vectorielle.
📌 Loi 5 – Opposé d'un vecteur

Propriété : Pour tous points A et B, on a :

\[ \overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB} \]
📖 Interprétation : L'opposé d'un vecteur a la même direction et la même norme, mais le sens contraire.

Conséquence :

\[ \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{CB} \]
📝 Formulaire à retenir
• \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\) (Relation de Chasles)
• \(\overrightarrow{AB} + \vec{0} = \overrightarrow{AB}\) (Élément neutre)
• \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \vec{0}\) (Opposé)
• \(\alpha(\vec{u} + \vec{v}) = \alpha\vec{u} + \alpha\vec{v}\) (Distributivité)
• \((\alpha + \beta)\vec{u} = \alpha\vec{u} + \beta\vec{u}\) (Distributivité scalaire)
📌 Cours conforme au programme officiel - Tronc commun Sciences BIOF
🔢 Vecteurs du plan – Résumé des propriétés fondamentales

8. Orb

Vecteurs en Tronc Commun (TC)

Figures adaptées de la page "IMG_3779.jpg" – Distributivité, soustraction, combinaison linéaire et loi des cosinus.

Distributivité : α(𝐚 + 𝐛) = α𝐚 + α𝐛

α( AB→ + BC→ ) = α AB→ + α BC→
AB + BC = AC
α·AB + α·BC = α·AC
Exemple avec α = 2 – Les triangles sont semblables : géométriquement, AE/AC = AD/AB = 2.
✨ Dans le triangle ABC, on place D sur (AB) tel que AD = 2·AB et E sur (AC) tel que AE = 2·AC. Alors (DE) // (BC) et le triangle ADE est une homothétie de ABC. On vérifie que 2·AB + 2·BC = 2·(AB+BC).

Soustraction vectorielle : 𝐚 − 𝐛 = 𝐚 + (−𝐛)

AB→ − AC→ = AB→ + (− AC→ )
AB − AC = CB (car AB + CA = CB)
📐 Pour soustraire AC de AB, on ajoute le vecteur opposé −AC (même longueur, sens inverse). On construit alors le parallélogramme pour obtenir la différence.

Combinaison linéaire : α·𝐚 + β·𝐛

AB→ , AC→  dans le plan  → α AB→ + β AC→  est aussi dans le même plan
Exemple : α = 1,5   β = 0,8
🔹 Toute combinaison linéaire de deux vecteurs non colinéaires reste dans le plan qu'ils définissent. On construit d'abord α·AB (bleu clair), puis β·AC (vert clair), et leur somme (violet).

Relation entre les normes : loi des cosinus

| AB→ + AC→ | = |AB + |AC + 2|AB||AC| cosθ
où θ est l’angle entre AB et AC.
📐 Les vecteurs AB, AC et leur somme forment un triangle. La loi des cosinus donne directement la norme de la somme.

9. Ihh

Vecteurs en Tronc Commun (TC)

Adaptation de la page IMG_3780.jpg – Division d’un segment, paramètre λ, décomposition d’un vecteur.

Point X sur la demi-droite [PQ) : λ > 0

0.60

Déplacez le curseur : λ > 0 → point X sur le rayon [PQ)
λ = 0 → X = P ; λ = 1 → X = Q ; λ entre 0 et 1 → X entre P et Q.

OX→ = (1-λ) OP→ + λ OQ→
Avec P et Q deux points, le vecteur position de tout point X de la droite (PQ) s'écrit : X→ =(1-λ)P→ +λQ→. Pour λ > 0, X est sur la demi-droite d’origine P passant par Q.
✨ Interprétation géométrique : Le point X divise le segment PQ dans le rapport λ : (1-λ).
• Si λ ∈ [0,1] : X est entre P et Q.
• Si λ > 1 : X est au-delà de Q.
• Si λ < 0 : X est sur le prolongement opposé (en dehors du rayon).
Sur la figure : P = bleu, Q = vert, X = rouge. Les vecteurs OP, OQ et OX sont affichés.

Décomposition d’un vecteur : AC→ =AB→ +BC→

Un même vecteur AC peut être décomposé d’une infinité de façons en somme de deux vecteurs. Ici, nous choisissons arbitrairement un point B (déplaçable) pour obtenir AC→ =AB→ +BC→.
🔹 Pour décomposer un vecteur AC, on choisit un point B quelconque (non aligné ou aligné). Alors AB + BC = AC (relation de Chasles). En faisant varier B, on obtient une infinité de décompositions.

Application : deux sphères reliées (exercice)

Deux sphères de masses m₁ et m₂ sont reliées par une tige rigide sans masse. Le système tourne librement autour de son centre de masse.

Le moment cinétique total par rapport au CM est :

L = 2 μ r × v

où μ = m1m2 / (m1+m2) est la masse réduite, r le vecteur position de m₁ par rapport à m₂, et v la vitesse de m₁ par rapport au CM.

Cette notion dépasse le programme de TC, mais illustre l’importance des vecteurs en physique.

Remarque : La première figure illustre la paramétrisation d’un rayon (λ > 0). La deuxième montre la décomposition infinie d’un vecteur en deux vecteurs (relation de Chasles). Ces notions sont fondamentales en Tronc Commun.

Identités vectorielles

Illustration de l’identité du triple produit vectoriel :

a × (b × c) = (a ⋅ c) b - (a ⋅ b) c

Visualisation géométrique

a (bleu), b (vert), c (rouge)
a×(b×c) (violet) = (a·c)b − (a·b)c (orange)
✨ Le vecteur a×(b×c) est toujours dans le plan formé par b et c et perpendiculaire à a. L’identité le décompose comme une combinaison linéaire de b et c. Les curseurs ci-dessous permettent de modifier a, b, c.
a : x: y: z:
b : x: y: z:
c : x: y: z:
30°

Preuve algébrique (composantes)

En notation de Levi-Civita :
[a×(b×c)]i = εijk aj (b×c)k = εijk εklm aj bl cm
= (δilδjm − δimδjl) aj bl cm = aj cj bi − aj bj ci
= (a·c) bi − (a·b) ci.
Cette identité est fondamentale en physique (moment cinétique, force de Lorentz, etc.).

Remarque : L’identité du triple produit vectoriel est illustrée ici avec des vecteurs quelconques (modifiables par curseurs). La projection 3D→2D utilise un angle de vue réglable. Les flèches oranges et violettes coïncident parfaitement (aux erreurs d’arrondi près).

10. Hdhd

📐 Exercices vectoriels : lignes, combinaisons et courbe

Faites varier les curseurs et observez les vecteurs en direct.

✏️ Exercice 1 – Point sur une droite (paramètre λ)

Soient deux points fixes A et B. Pour tout réel λ, on définit le point X par :

\overrightarrow{OX} = (1-\lambda)\overrightarrow{OA} + \lambda \overrightarrow{OB}

ou encore AX→ = \lambda \overrightarrow{AB}.

0.60
120 280
550 120
🔵 A (bleu)  |  🟢 B (vert)  |  🔴 X (rouge)
➡️ Si λ > 0, X est sur la demi-droite [AB) ; si λ ∈ ]0,1[ entre A et B ; si λ > 1 au-delà de B ; si λ < 0 de l’autre côté de A. Le vecteur AX = λ·AB est toujours colinéaire à AB.

✏️ Exercice 2 – Combinaison linéaire α a + β b

À partir de l’origine O, on place deux vecteurs libres a et b. On construit le vecteur v = α·a + β·b.

1.20
0.70
a : x   y
b : x   y
🟦 a (bleu)  |  🟩 b (vert)  |  🟪 α·a (violet)  |  🟧 β·b (orange)  |  🔴 v = αa + βb (rouge)
On visualise la règle du parallélogramme. Toute combinaison linéaire reste dans le plan défini par a et b.

✏️ Exercice 3 – Courbe paramétrée et vecteur tangent

Soit la courbe C définie par M(t) = (t, t24) (parabole).

Pour chaque instant t, on affiche le vecteur vitesse (tangent) : v→(t)=(1, t/2).

1.20
📈 Courbe (parabole) en gris.   🔵 Point M(t) en bleu.   🟠 Vecteur tangent (vitesse) en orange. Le vecteur tangent est proportionnel à la dérivée de la position. Faites varier t pour voir l’évolution de la tangente.
🌟 Ces exercices permettent de visualiser les concepts fondamentaux : paramétrage d’une droite, combinaison linéaire, vecteurs tangents à une courbe. Tous les calculs sont effectués en temps réel.

11. Hdh

📐 Exercices vectoriels avancés (niveau supérieur)

Combinaisons, décomposition non orthogonale, courbes gauches et barycentres.

✏️ Exercice 4 – Décomposition vectorielle dans une base oblique

Soient deux vecteurs u et v non colinéaires (base du plan). Pour tout vecteur w, il existe des scalaires uniques α, β tels que :

\mathbf{w} = \alpha \mathbf{u} + \beta \mathbf{v}

Déplacez les extrémités de u, v et w (tous partent de l'origine). Les coefficients α, β sont calculés en temps réel (résolution d’un système 2×2).

u : x y
v : x y
w : x y
🟦 u (bleu)  |  🟩 v (vert)  |  🔴 w (rouge)  |  🟣 α·u (violet)  |  🟠 β·v (orange)  |  La somme αu+βv (rouge clair) doit coïncider avec w.

✏️ Exercice 5 – Courbe paramétrée 3D : hélice circulaire

Courbe M(t) = (cos t, sin t, t/3). Projection 3D→2D avec angle variable. Affichage du vecteur tangent T(t) et du vecteur normal principal N(t).

1.20
45°
🌀 Courbe (hélice) en gris. 🔵 Point M(t). 🟠 Vecteur tangent (dérivée). 🟣 Vecteur normal (accélération normale).
Formules : T(t) = (-sin t, cos t, 1/3) ; N(t) = (-cos t, -sin t, 0) (normalisé approximativement).

✏️ Exercice 6 – Barycentre et combinaison convexe

Soit un triangle ABC. Tout point M du plan s'écrit de façon unique : AM→ = \alpha \overrightarrow{AB} + \beta \overrightarrow{AC}.
Les coordonnées barycentriques sont (1-α-β, α, β). Ici on force α,β ≥ 0 et α+β ≤ 1 : alors M est à l'intérieur du triangle.

0.30
0.40
A : x y
B : x y
C : x y
🟦 Triangle ABC (bleu). 🔴 Point M = A + α·AB + β·AC. Les curseurs garantissent α,β ≥0 et α+β ≤1 → M reste à l'intérieur ou sur le bord.
Les coordonnées barycentriques sont (1-α-β, α, β).

🌟 Exercices supplémentaires : décomposition dans une base quelconque, courbe 3D (hélice) avec vecteurs tangent et normal, combinaison convexe dans un triangle. Tous les calculs sont interactifs et illustrent des notions fondamentales d'algèbre vectorielle.

12. Ydh

📐 5 exercices : lois vectorielles fondamentales

Relation de Chasles, distributivité, loi du parallélogramme, associativité, loi des cosinus.

✏️ Loi 1 – Relation de Chasles

Pour trois points A, B, C : AB→ + BC→ = AC→.

A : x y
B : x y
C : x y
🟦 AB (bleu) + 🟩 BC (vert) = 🔴 AC (rouge). La somme vectorielle correspond au chemin direct de A à C.

✏️ Loi 2 – Distributivité : α·(a + b) = α·a + α·b

Soit deux vecteurs a et b, et un scalaire α.

1.50
a : x y
b : x y
🟦 a + b (cyan)  |  🟠 α·(a+b) (orange)  |  🟣 α·a (violet) + 🟢 α·b (vert clair) = orange. Les deux constructions coïncident → vérification de la distributivité.

✏️ Loi 3 – Règle du parallélogramme

La somme de deux vecteurs a et b est la diagonale du parallélogramme construit sur a et b.

a : x y
b : x y
🟦 a (bleu)  |  🟩 b (vert)  |  🔴 a+b (rouge) diagonale. Les côtés opposés sont parallèles et égaux.

✏️ Loi 4 – Associativité : (a+b)+c = a+(b+c)

L’ordre d’addition de trois vecteurs n’a pas d’importance.

a : x y
b : x y
c : x y
🟠 (a+b)+c (orange)  |  🟣 a+(b+c) (violet) – les deux résultantes coïncident.

✏️ Loi 5 – Norme de la somme : |a+b|² = |a|²+|b|²+2|a||b|cosθ

Angle θ entre a et b.

3.0
2.5
60°
a (bleu), b (vert), a+b (rouge). La norme calculée géométriquement (loi des cosinus) s’affiche ci-dessous.

🌟 Ces 5 exercices illustrent les lois fondamentales qui régissent l’algèbre vectorielle. Modifiez les curseurs et les coordonnées pour explorer chaque loi en temps réel.

13. Udbd

📐 5 lois vectorielles fondamentales

Toutes les formules sont écrites en MathML.

✏️ Loi 1 – Relation de Chasles

AB→ + BC→ = AC→
A : x y
B : x y
C : x y
🟦 AB→ (bleu) + 🟩 BC→ (vert) = 🔴 AC→ (rouge)

✏️ Loi 2 – Distributivité

α(a→+b→) = αa→+αb→
1.50
a→ : x y
b→ : x y
🟦 a→+b→ (cyan)  |  🟠 α(a→+b→) (orange)  |  🟣 αa→ (violet) + 🟢 αb→ (vert clair) = orange.

✏️ Loi 3 – Règle du parallélogramme

a→+b→ = d→

La diagonale du parallélogramme construit sur a→ et b→.

a→ : x y
b→ : x y
🟦 a→ (bleu)  |  🟩 b→ (vert)  |  🔴 a→+b→ (rouge) diagonale.

✏️ Loi 4 – Associativité

(a→+b→)+c→ = a→+(b→+c→)
a→ : x y
b→ : x y
c→ : x y
🟠 (a→+b→)+c→ (orange)  |  🟣 a→+(b→+c→) (violet) – les deux vecteurs résultants coïncident.

✏️ Loi 5 – Norme de la somme (loi des cosinus)

∥a→+b→∥2 = ∥a→∥2 + ∥b→∥2 + 2∥a→∥∥b→∥cosθ
3.0
2.5
60°
🟦 a→ (bleu)  |  🟩 b→ (vert)  |  🔴 a→+b→ (rouge)

🌟 Toutes les formules sont écrites en MathML – compatibles avec les navigateurs récents. Modifiez les curseurs et les coordonnées pour explorer chaque loi vectorielle en temps réel.

14. Udv

✏️ Correction d’exercices vectoriels

Toutes les formules sont écrites en MathML. Les figures illustrent les calculs.

📐 Sommes et différences de vecteurs

D’après la relation de Chasles : AB→+BC→=AC→

a) AM→+MN→

= \mover>AN→

b) MP→+AM→

= \mover>AM→+MP→=\mover>AP→

c) OP→+KO→+NK→

= \mover>KO→+OP→+NK→ =\mover>KP→+NK→ =\mover>NK→+KP→=\mover>NP→

d) MN→+NM→

= \mover>MM→=\mover>0→

e) MO→+PM→+OP→

= \mover>MO→+OP→+PM→ =\mover>MP→+PM→ =\mover>MM→=\mover>0→

f) KN→-ON→+OK→

= \mover>KN→+NO→+OK→ =\mover>KO→+OK→ =\mover>KK→=\mover>0→

📐 Propriété caractéristique du parallélogramme

Dire que ABCD est un parallélogramme revient à dire que :

\mover>AC→ = \mover>AB→ + \mover>AD→

Démonstration :

\mover>AC→ = \mover>AB→ + \mover>AD→ \quad\Longleftrightarrow\quad \mover>AD→ + \mover>DC→ = \mover>AB→ + \mover>AD→ \Longrightarrow\quad \mover>DC→ = \mover>AB→

Ce qui est la condition vectorielle du parallélogramme.

🔵 A, 🟢 B, 🔴 C, 🟡 D – Les vecteurs AB→ (bleu) et AD→ (vert) ont pour somme la diagonale AC→ (rouge).

📐 Soustraction de deux vecteurs

On utilise l’opposé : u→-v→=u→+(-v→).

⬅️ À gauche : u→ (bleu) et v→ (vert).
➡️ À droite : u→-v→ (rouge) = u→+(-v→) où -v→ est en pointillé orange.
🌟 Exercices et propriétés vectorielles – Formules en MathML, illustrations dynamiques avec Canvas.

15. dsd

 

Figures vectorielles – Tronc commun Sciences BIOF
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📌 Figure 1 : Relation de Chasles (AB + BC = AC)
AB→ (bleu) + BC→ (vert) = AC→ (rouge)
\[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} \]
📌 Figure 2 : Associativité (AB + BC + CD = AD)
AB→ + BC→ + CD→ = AD→
L'addition vectorielle est associative
\[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} \]
📌 Figure 3 : Distributivité (α = 2)
α(AB→ + BC→) = α AB→ + α BC→
Exemple avec α = 2 : 2·(AB + BC) = 2·AB + 2·BC
\[ 2(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) = 2\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{BC} \]
📌 PROF : ATMANI NAJIB
Cours conforme au programme officiel - Tronc commun Sciences BIOF
🔢 Vecteurs du plan – Propriétés fondamentales : Chasles, Associativité, Distributivité

16. d

📐 Vecteurs du plan

Combinaison linéaire et barycentre – Tronc commun Sciences BIOF
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📌 Combinaison linéaire : X = (1-λ)P + λQ
0.00

● P (bleu)    ● Q (vert)    ● X (rouge)
OX = (1-λ) OP + λ OQ
Avec P et Q deux points fixes, le vecteur position de tout point X de la droite (PQ) s'écrit :
X = (1-λ)P + λ Q
📖 Interprétation géométrique :
• Si λ ∈ [0,1] : X est entre P et Q
• Si λ > 1 : X est au-delà de Q
• Si λ < 0 : X est sur le prolongement opposé (en dehors du rayon)
• λ = 0 → X = P   |   λ = 1 → X = Q
\[ \overrightarrow{OX} = (1-\lambda)\overrightarrow{OP} + \lambda\overrightarrow{OQ} \]
📌 PROF : ATMANI NAJIB
Cours conforme au programme officiel - Tronc commun Sciences BIOF
🔢 Vecteurs du plan – Barycentre et combinaison linéaire