Completion requirements
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A) Généralités sur les vecteurs
Soient \(A\) et \(B\) deux points du plan \((\mathcal{P})\). Un vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est défini par trois données :
- sa direction : celle de la droite \((AB)\) ;
- son sens : de \(A\) vers \(B\) ;
- sa norme (longueur) : la distance \(AB\), notée \(\|\overrightarrow{AB}\| = AB\).
Remarque :
- Si \(A = B\), le vecteur est nul : \(\overrightarrow{AA} = \vec{0}\).
- Deux vecteurs sont Ă©gaux s'ils ont mĂȘme direction, mĂȘme sens et mĂȘme norme.
- \(\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BA}\) (les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BA}\) sont opposés).
Somme de deux vecteurs
a) Relation de Chasles : Soient \(A, B, C\) trois points du plan. \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}. \]
b) RÚgle du parallélogramme : La somme des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) est le vecteur \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\) tel que \(ABCD\) est un parallélogramme.
B) Produit dâun vecteur par un rĂ©el
Définition : On appelle produit du vecteur \(\vec{u}\) par le réel \(k\) le vecteur noté \(k\vec{u}\) :
- de mĂȘme direction que \(\vec{u}\) ;
- de mĂȘme sens que \(\vec{u}\) si \(k > 0\), de sens contraire si \(k < 0\) ;
- de norme Ă©gale Ă \(|k|\) fois la norme de \(\vec{u}\).
2) Notion de colinéarité
Définition : Deux vecteurs non nuls \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires s'il existe un réel \(k\) tel que \(\vec{u} = k\vec{v}\).
Propriétés : Soient \(A, B, C, D\) des points deux à deux distincts.
- \((AB) \parallel (CD)\) â \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont colinĂ©aires.
- \(A, B, C\) alignĂ©s â \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinĂ©aires.
3) Milieu dâun segment
Propriétés : Si \(I\) est le milieu du segment \([AB]\), alors :
- \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}\)
- \(\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB}\)
- \(\overrightarrow{AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\)
Caractérisation du milieu : \(I\) est le milieu de \([AB]\) si et seulement si pour tout point \(M\) du plan : \[ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2 \overrightarrow{MI}. \]
đ Formulaire Ă retenir :
- \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\) (Chasles)
- \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) â \(ABCD\) parallĂ©logramme
- \(k\vec{u}\) : mĂȘme direction, mĂȘme sens si \(k>0\), sens contraire si \(k<0\)
- \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) colinĂ©aires â \(\exists k \in \mathbb{R}, \vec{u} = k\vec{v}\)
- \(I\) milieu de \([AB]\) â \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}\)
3. Calcul vectoriel dans le plan
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Multiplication d'un vecteur par un rĂ©el â Exercices corrigĂ©s
đ Document protĂ©gĂ© â Copie, clic droit et sĂ©lection dĂ©sactivĂ©s
đč Rappel sur la diffĂ©rence
Soient \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs du plan.
La différence de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) est égale à la somme de \(\vec{u}\) et \((-\vec{v})\) : \[ \vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{v}) \]
La différence de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) est égale à la somme de \(\vec{u}\) et \((-\vec{v})\) : \[ \vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{v}) \]
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Exercice 04
ĂnoncĂ© : Soit \(ABCD\) un parallĂ©logramme. On pose \(\overrightarrow{AB} = \vec{i}\) et \(\overrightarrow{AC} = \vec{j}\).
Ăcrire les vecteurs \(\overrightarrow{AD}\) et \(\overrightarrow{BD}\) en fonction de \(\vec{i}\) et \(\vec{j}\).
đ§ CorrigĂ© dĂ©taillĂ©
Ătape 1 : \(ABCD\) est un parallĂ©logramme, donc d'aprĂšs la rĂšgle du parallĂ©logramme :
\[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC} \]
Ătape 2 : On en dĂ©duit \(\overrightarrow{AD}\) :
\[ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = \vec{j} - \vec{i} \]
Ătape 3 : Calculons \(\overrightarrow{BD}\) :
\[ \begin{aligned} \overrightarrow{BD} &= \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} \\ &= -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \\ &= -\vec{i} + (\vec{j} - \vec{i}) \\ &= \vec{j} - 2\vec{i} \end{aligned} \]
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RĂ©sultat : \(\overrightarrow{AD} = \vec{j} - \vec{i}\) et \(\overrightarrow{BD} = \vec{j} - 2\vec{i}\)
đ IV. Multiplication d'un vecteur par un rĂ©el
Définition : Soit \(\vec{u}\) un vecteur non nul et \(k\) un nombre non nul. Le produit du vecteur \(\vec{u}\) par le nombre \(k\) est le vecteur \(k\vec{u}\) ayant les caractéristiques suivantes :
- mĂȘme direction que \(\vec{u}\) ;
- mĂȘme sens si \(k > 0\), sens contraire si \(k < 0\) ;
- sa norme est \(|k| \times \|\vec{u}\|\).
đ Illustration : \(\vec{u}\) et \(2\vec{u}\) (mĂȘme sens, double norme)
Remarques :
- \(k\vec{u} = \vec{0}\) si et seulement si \(k = 0\) ou \(\vec{u} = \vec{0}\).
- \(1\vec{u} = \vec{u}\), \((-1)\vec{u} = -\vec{u}\).
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Exercice 05
ĂnoncĂ© : \(A, B, C\) trois points du plan non alignĂ©s.
On considĂšre \(M, N, P, Q\) tels que :
\[ \overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{BC}, \quad \overrightarrow{AN} = -2\overrightarrow{AC}, \quad \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AP}, \quad \overrightarrow{AQ} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AP} \]
- Faire une figure.
- En déduire que \(2\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{AP}\) et \(B = Q\).
đ§ CorrigĂ© dĂ©taillĂ©
1) Figure :
đ Points A, B, C non alignĂ©s
â M : \(\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{BC}\)
â N : \(\overrightarrow{AN} = -2\overrightarrow{AC}\)
â P : \(\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AN}\) (rĂšgle du parallĂ©logramme)
â Q : \(\overrightarrow{AQ} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AP}\) (Q est le milieu de [AP])
â M : \(\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{BC}\)
â N : \(\overrightarrow{AN} = -2\overrightarrow{AC}\)
â P : \(\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AN}\) (rĂšgle du parallĂ©logramme)
â Q : \(\overrightarrow{AQ} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AP}\) (Q est le milieu de [AP])
2) DĂ©monstration :
\[ \begin{aligned} \overrightarrow{AP} &= \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AN} \\ &= 2\overrightarrow{BC} - 2\overrightarrow{AC} \\ &= 2(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA}) \\ &= 2\overrightarrow{BA} \\ &= -2\overrightarrow{AB} \end{aligned} \]
On obtient donc : \(\overrightarrow{AP} = -2\overrightarrow{AB}\), soit \(2\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{AP}\).
De plus, \(\overrightarrow{AQ} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AP}\) donc \(\overrightarrow{AP} = 2\overrightarrow{AQ}\).
\[ -\overrightarrow{AP} = -2\overrightarrow{AQ} \Rightarrow 2\overrightarrow{AB} = -2\overrightarrow{AQ} \Rightarrow \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AQ} \]
L'égalité \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AQ}\) signifie que les points \(B\) et \(Q\) sont confondus, donc \(B = Q\).
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Conclusion : \(2\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{AP}\) et \(B = Q\)
đ PropriĂ©tĂ©s de la multiplication par un rĂ©el
Quels que soient les vecteurs \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et les réels \(a\), \(b\) :
- \(a(\vec{u} + \vec{v}) = a\vec{u} + a\vec{v}\)
- \((a + b)\vec{u} = a\vec{u} + b\vec{u}\)
- \(a(b\vec{u}) = (a \times b)\vec{u}\)
- \(1\vec{u} = \vec{u}\)
- \(a(\vec{u} - \vec{v}) = a\vec{u} - a\vec{v}\)
- \((a - b)\vec{u} = a\vec{u} - b\vec{u}\)
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Exercice 06
ĂnoncĂ© : Soient les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\). Simplifier :
\[ \overrightarrow{W_1} = 2(\vec{u} + \vec{v}) - 4\left(\frac{1}{2}\vec{u} - \vec{v}\right) \] \[ \overrightarrow{W_2} = \frac{1}{3}(3\vec{u} - 9\vec{v}) + \frac{1}{2}(2\vec{u} + 6\vec{v}) - 2\vec{u} \]
đ§ CorrigĂ© dĂ©taillĂ©
Simplification de \(\overrightarrow{W_1}\) :
\[ \begin{aligned} \overrightarrow{W_1} &= 2\vec{u} + 2\vec{v} - 4 \times \frac{1}{2}\vec{u} + 4\vec{v} \\ &= 2\vec{u} + 2\vec{v} - 2\vec{u} + 4\vec{v} \\ &= (2\vec{u} - 2\vec{u}) + (2\vec{v} + 4\vec{v}) \\ &= 6\vec{v} \end{aligned} \]
Simplification de \(\overrightarrow{W_2}\) :
\[ \begin{aligned} \overrightarrow{W_2} &= \frac{1}{3} \times 3\vec{u} - \frac{1}{3} \times 9\vec{v} + \frac{1}{2} \times 2\vec{u} + \frac{1}{2} \times 6\vec{v} - 2\vec{u} \\ &= \vec{u} - 3\vec{v} + \vec{u} + 3\vec{v} - 2\vec{u} \\ &= (\vec{u} + \vec{u} - 2\vec{u}) + (-3\vec{v} + 3\vec{v}) \\ &= \vec{0} \end{aligned} \]
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RĂ©sultats : \(\overrightarrow{W_1} = 6\vec{v}\) et \(\overrightarrow{W_2} = \vec{0}\)
đ Formulaire Ă retenir
⹠\(\vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{v})\) (différence)
âą \(k\vec{u}\) : mĂȘme direction, mĂȘme sens si \(k>0\), sens contraire si \(k<0\)
âą \(\|k\vec{u}\| = |k| \times \|\vec{u}\|\) (norme)
âą \(k\vec{u} = \vec{0} \iff k=0 \text{ ou } \vec{u}=\vec{0}\)
⹠Distributivité : \(a(\vec{u}+\vec{v}) = a\vec{u} + a\vec{v}\)
âą \(k\vec{u}\) : mĂȘme direction, mĂȘme sens si \(k>0\), sens contraire si \(k<0\)
âą \(\|k\vec{u}\| = |k| \times \|\vec{u}\|\) (norme)
âą \(k\vec{u} = \vec{0} \iff k=0 \text{ ou } \vec{u}=\vec{0}\)
⹠Distributivité : \(a(\vec{u}+\vec{v}) = a\vec{u} + a\vec{v}\)
đĄ Ă ne pas oublier : Le vecteur nul \(\vec{0}\) est colinĂ©aire Ă tout vecteur.
đą Multiplication d'un vecteur par un rĂ©el â Exercices corrigĂ©s