Completion requirements
A) Généralités sur les vecteurs
Soient \(A\) et \(B\) deux points du plan \((\mathcal{P})\). Un vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est défini par trois données :
- sa direction : celle de la droite \((AB)\) ;
- son sens : de \(A\) vers \(B\) ;
- sa norme (longueur) : la distance \(AB\), notée \(\|\overrightarrow{AB}\| = AB\).
Remarque :
- Si \(A = B\), le vecteur est nul : \(\overrightarrow{AA} = \vec{0}\).
- Deux vecteurs sont égaux s'ils ont même direction, même sens et même norme.
- \(\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BA}\) (les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BA}\) sont opposés).
Somme de deux vecteurs
a) Relation de Chasles : Soient \(A, B, C\) trois points du plan. \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}. \]
b) Règle du parallélogramme : La somme des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) est le vecteur \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\) tel que \(ABCD\) est un parallélogramme.
B) Produit d’un vecteur par un réel
Définition : On appelle produit du vecteur \(\vec{u}\) par le réel \(k\) le vecteur noté \(k\vec{u}\) :
- de même direction que \(\vec{u}\) ;
- de même sens que \(\vec{u}\) si \(k > 0\), de sens contraire si \(k < 0\) ;
- de norme égale à \(|k|\) fois la norme de \(\vec{u}\).
2) Notion de colinéarité
Définition : Deux vecteurs non nuls \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires s'il existe un réel \(k\) tel que \(\vec{u} = k\vec{v}\).
Propriétés : Soient \(A, B, C, D\) des points deux à deux distincts.
- \((AB) \parallel (CD)\) ⇔ \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont colinéaires.
- \(A, B, C\) alignés ⇔ \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.
3) Milieu d’un segment
Propriétés : Si \(I\) est le milieu du segment \([AB]\), alors :
- \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}\)
- \(\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB}\)
- \(\overrightarrow{AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\)
Caractérisation du milieu : \(I\) est le milieu de \([AB]\) si et seulement si pour tout point \(M\) du plan : \[ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2 \overrightarrow{MI}. \]
📝 Formulaire à retenir :
- \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\) (Chasles)
- \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) ⇔ \(ABCD\) parallélogramme
- \(k\vec{u}\) : même direction, même sens si \(k>0\), sens contraire si \(k<0\)
- \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) colinéaires ⇔ \(\exists k \in \mathbb{R}, \vec{u} = k\vec{v}\)
- \(I\) milieu de \([AB]\) ⇔ \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}\)
6. Colinéarité de deux vecteurs
PROF : ATMANI NAJIB - Tronc commun Sciences BIOF
📝 Exercice 07 : Soit \(ABC\) un triangle et on pose \(\overrightarrow{AB}=\vec{i}\) et \(\overrightarrow{AC}=\vec{j}\).
Construire le vecteur \(3\vec{i} - 2\vec{j}\).
Construire le vecteur \(3\vec{i} - 2\vec{j}\).
✅ Corrigé :
📐 Construction de \(3\vec{i} - 2\vec{j}\) à partir de l'origine \(A\) :
→ \(3\vec{i}\) : 3 fois le vecteur \(\overrightarrow{AB}\)
→ \(-2\vec{j}\) : 2 fois le vecteur opposé à \(\overrightarrow{AC}\)
→ La somme donne le vecteur résultant \(3\vec{i} - 2\vec{j}\)
→ \(3\vec{i}\) : 3 fois le vecteur \(\overrightarrow{AB}\)
→ \(-2\vec{j}\) : 2 fois le vecteur opposé à \(\overrightarrow{AC}\)
→ La somme donne le vecteur résultant \(3\vec{i} - 2\vec{j}\)
V) Colinéarité de deux vecteurs
📌 1) Définition : Deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires s'il existe un réel \(k\) tel que \(\vec{u} = k\vec{v}\).
💡 Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si et seulement s'ils ont la même direction.
📌 2) Propriétés :
- Trois points \(A, B, C\) sont alignés si et seulement s'il existe \(k \in \mathbb{R}\) tel que \(\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{AC}\).
- Soit \((AB)\) une droite. \(M \in (AB)\) si et seulement si \(\overrightarrow{AM}\) et \(\overrightarrow{AB}\) sont colinéaires.
- Deux droites \((AB)\) et \((CD)\) sont parallèles si et seulement si \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont colinéaires.
📝 Exercice 08 : Soit \(ABC\) un triangle. \(E\) et \(F\) sont deux points tels que : \[ \overrightarrow{AF} = \frac{4}{3}\overrightarrow{AC}, \qquad \overrightarrow{CE} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} \]
- Faire une figure.
- Exprimer \(\overrightarrow{BE}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
- Exprimer \(\overrightarrow{BF}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
- En déduire que \(E\), \(F\) et \(B\) sont alignés.
✅ Corrigé :
📍 Figure : triangle ABC
→ F sur (AC) tel que \(AF = \frac{4}{3} AC\)
→ E tel que \(CE = \frac{1}{4} AB\)
→ F sur (AC) tel que \(AF = \frac{4}{3} AC\)
→ E tel que \(CE = \frac{1}{4} AB\)
- \[ \begin{aligned} \overrightarrow{BE} &= \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AE} \\ &= -\overrightarrow{AB} + (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CE}) \\ &= -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} \\ &= \overrightarrow{AC} - \frac{3}{4}\overrightarrow{AB} \end{aligned} \]
- \[ \overrightarrow{BF} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AF} = -\overrightarrow{AB} + \frac{4}{3}\overrightarrow{AC} \]
- \[ \begin{aligned} \overrightarrow{BF} &= -\overrightarrow{AB} + \frac{4}{3}\overrightarrow{AC} \\ &= \frac{4}{3}\left( \overrightarrow{AC} - \frac{3}{4}\overrightarrow{AB} \right) \\ &= \frac{4}{3}\overrightarrow{BE} \end{aligned} \] Donc \(\overrightarrow{BF}\) et \(\overrightarrow{BE}\) sont colinéaires → \(B, E, F\) sont alignés.
📝 Exercice 09 : Soit \(ABC\) un triangle. \(I\) et \(J\) sont deux points tels que : \[ \overrightarrow{AI} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB}, \qquad \overrightarrow{AJ} = 3\overrightarrow{AC} \]
- a) Exprimer \(\overrightarrow{IC}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
b) Exprimer \(\overrightarrow{BJ}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\). - Déduire que les droites \((IC)\) et \((BJ)\) sont parallèles.
✅ Corrigé :
- a) \[ \overrightarrow{IC} = \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{AC} = -\frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \] b) \[ \overrightarrow{BJ} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AJ} = -\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC} \]
- On remarque que : \[ \overrightarrow{BJ} = 3\left( -\frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \right) = 3\,\overrightarrow{IC} \] Donc \(\overrightarrow{BJ}\) et \(\overrightarrow{IC}\) sont colinéaires, ce qui prouve que les droites \((IC)\) et \((BJ)\) sont parallèles.
📝 À retenir :
- \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) colinéaires ⇔ \(\exists k \in \mathbb{R}, \vec{u} = k\vec{v}\)
- Points alignés ⇔ vecteurs colinéaires
- Droites parallèles ⇔ vecteurs directeurs colinéaires