Section outline

    •  Établir un objectif pour la leçon

      ACTIVITÉ

      À partir des triangles rectangles découpés, trouvez la longueur et les angles inconnus à l'aide d'une règle et d'un rapporteur.

      Triangle rectangle ABC

      Questions d'amorce :

      1. A-t-il été facile pour vous de trouver la longueur et l'angle inconnus du triangle rectangle donné à votre groupe ?
      2. Sans utiliser de règle ni de rapporteur, pensez-vous pouvoir trouver le côté et l'angle inconnus ?
      3. Quelle technique allez-vous utiliser pour trouver le côté et l'angle inconnus ?

       Généralisation

      Les six rapports trigonométriques

      \(\sin\theta=\dfrac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}\)

      \(\cos\theta=\dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}\)

      \(\tan\theta=\dfrac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}\)

      \(\csc\theta=\dfrac{\text{hypoténuse}}{\text{côté opposé}}\)

      \(\sec\theta=\dfrac{\text{hypoténuse}}{\text{côté adjacent}}\)

      \(\cot\theta=\dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{côté opposé}}\)

      Voici quelques étapes utiles pour résoudre des triangles rectangles :

      1. Dessiner un triangle rectangle.
      2. Étiqueter les côtés et les sommets. Inscrire les données fournies sur la figure.
      3. Utiliser les fonctions trigonométriques appropriées pour trouver les parties inconnues.

      Réf. : e-math - Advanced Algebra and Trigonometry par Orlando A. Oronce et Marilyn O. Mendoza.

       Présenter des exemples pour la nouvelle leçon

      Résoudre un triangle rectangle signifie trouver la mesure des parties restantes.

      Exemple :
      Le triangle BCA est rectangle en C. Si \(c=23\) et \(b=17\), trouvez \(\angle A\), \(\angle B\) et \(a\). Exprimez vos réponses avec deux décimales.

      Solution : faire un croquis.

      Triangle BCA avec les longueurs données

      a. Le côté \(b\) est le côté adjacent de \(\angle A\) ; \(c\) est l'hypoténuse. Utilisez CAH :

      \(\cos\theta=\dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}\)

      \(\cos A=\dfrac{b}{c}\)

      \(\cos A=\dfrac{17}{23}\)

       Évaluation des apprentissages

      QUIZ

      Utilisez la figure donnée pour résoudre les parties restantes du triangle rectangle ACB.

      Triangle rectangle ACB pour le quiz
      1. \(b=17\text{ cm}\) et \(c=23\text{ cm}\)
      2. \(c=16\) et \(a=7\)
      3. \(b=10\) et \(c=20\)
      4. \(b=6\) et \(c=13\)
      5. \(c=13\) et \(a=12\)

    • Exemple 1

      ABC est un triangle rectangle en B, tel que : \(AC = 5\), \(BC = 3\) et \(AB = 4\).
      Calculer les rapports trigonométriques de l'angle \(\hat{C}\).

      On a :

      \(\sin(\hat{C}) = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{4}{5} = 0,8\)
      \(\cos(\hat{C}) = \dfrac{BC}{AC} = \dfrac{3}{5} = 0,6\)
      \(\tan(\hat{C}) = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{4}{3} \approx 1,33\)

      Exercice

      EFG est un triangle rectangle en G tel que : \(EG = 8\) et \(FG = 6\).
      Calculer les rapports trigonométriques de l'angle \(\widehat{GEF}\).

      (Espace pour la solution)

      Exemple 2

      \(\alpha\) est la mesure d'un angle aigu.

      tel que : \(\tan \alpha = \sqrt{3}\)

      \(\sin(\alpha) = ?\) et \(\cos(\alpha) = ?\)

      On a : \(\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1\)

      et \(\tan \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\)

      donc : \(\cos \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\tan \alpha}\)

      donc : \(\left( \dfrac{\sin \alpha}{\tan \alpha} \right)^2 + \sin^2 \alpha = 1\)

      donc : \(\dfrac{\sin^2(\alpha)}{\tan^2(\alpha)} + \sin^2 \alpha = 1\)

      donc : \(\sin^2(\alpha) \left( \dfrac{1}{\tan^2(\alpha)} + \dfrac{1}{1} \right) = 1\)

      donc : \(\sin^2(\alpha) \left( \dfrac{1 + \tan^2(\alpha)}{\tan^2(\alpha)} \right) = 1\)

      donc : \(\sin^2(\alpha) = \dfrac{1}{\dfrac{1 + \tan^2(\alpha)}{\tan^2(\alpha)}}\)

      donc : \(\sin^2(\alpha) = 1 \times \dfrac{\tan^2(\alpha)}{1 + \tan^2(\alpha)}
      = \dfrac{(\sqrt{3})^2}{1 + (\sqrt{3})^2} = \dfrac{3}{4}\)

      donc : \(\sin^2(\alpha) = \dfrac{3}{4}\)

      , On a : \(\sin \alpha > 0\)

      donc : \(\sin(\alpha) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

      3) Relation entre cosinus, sinus et tangente d'un angle aigu.

      \(\alpha\) est la mesure d'un angle aigu.

      \(\tan(\alpha) = \dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\)

      Résultat :

      \(\sin(\alpha) = \tan(\alpha) \times \cos(\alpha)\)

      \(\cos(\alpha) = \dfrac{\sin(\alpha)}{\tan(\alpha)}\)

      Exemple 3

      \(\alpha\) est la mesure d'un angle aigu, tel que : \(\sin \alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

      \(\cos(\alpha) = ?\) et \(\tan(\alpha) = ?\)

      On a :

      \(\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1\)

      \(\cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha)\)

      \(= 1 - \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2\) \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}\)

      \(= 1 - \dfrac{(\sqrt{3})^2}{2^2}\)

      \(= 1 - \dfrac{3}{4}\)

      \(= \dfrac{4 - 3}{4} = \dfrac{1}{4}\)

      donc : \(\cos^2(\alpha) = \dfrac{1}{4}\)

      On a : \(\cos \alpha > 0\)

      \(\sqrt{\cos^2(\alpha)} = \sqrt{\dfrac{1}{4}}\) \(\dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}} = \dfrac{1}{2}\)

      donc : \(\cos(\alpha) = \dfrac{1}{2}\)

      On a : \(\tan(\alpha) = \dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\)

      \(= \dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{1}{2}}\)

      \(= \dfrac{\sqrt{3}}{2} \times \dfrac{2}{1} = \sqrt{3}\)

      donc : \(\tan(\alpha) = \sqrt{3}\)

      2) Relation entre cosinus et sinus d'un angle aigu

      \(\alpha\) est la mesure d'un angle aigu.

      \(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1\)

      \(0 < \cos \alpha < 1\)

      \(0 < \sin \alpha < 1\)

      Résultat : 

      \(\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha\)

      \(\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha\)

      Exemple

      \(\beta\) est la mesure d'un angle aigu

      tel que : \(\sin \beta = \dfrac{1}{2}\)

      Calculer : \(\cos \beta\)

      On a : \(\cos^2(\beta) + \sin^2(\beta) = 1\)

      donc : \(\cos^2(\beta) = 1 - \sin^2(\beta)\)

      donc : \(\cos^2(\beta) = 1 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^2\)

      \(= 1 - \dfrac{1}{4}\)

      \(= \dfrac{1 \times 4 - 1}{4} = \dfrac{3}{4}\)

      \(\cos^2(\beta) = \dfrac{3}{4}\)

      \(\cos(\beta) > 0\)

      \(\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)

      donc : \(\sqrt{\cos^2(\beta)} = \sqrt{\dfrac{3}{4}}\)

      donc : \(\cos(\beta) = \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

      Alors : \(\cos(\beta) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

      5) Tableau trigonométrique des angles usuels

      \(\alpha\) \(0^\circ\) \(30^\circ = \dfrac{\pi}{6}\) \(45^\circ = \dfrac{\pi}{4}\) \(60^\circ = \dfrac{\pi}{3}\) \(90^\circ = \dfrac{\pi}{2}\)
      \(\sin \alpha\) \(0\) \(\dfrac{1}{2}\) \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) \(1\)
      \(\cos \alpha\) \(1\) \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) \(\dfrac{1}{2}\) \(0\)
      \(\tan \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\) \(0\) \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) \(1\) \(\sqrt{3}\) Non définie

      \(\alpha = ?\)

      \(\sin \alpha = 1\)

      \(\cos \alpha = \dfrac{1}{2}\)

      \(\alpha = 90^\circ\)

      \(\alpha = 60^\circ\)