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    • Cours : Les Lois des Exposants (Indices)

      Les exposants (ou indices) sont un moyen d'écrire une multiplication répétée de façon compacte. Par exemple, \( 3 \times 3 \times 3 \times 3 \) s'écrit \( 3^4 \). Ici, 3 est la base et 4 est l'exposant.

      1. Les  lois fondamentales des exposants

      (a) Produit de puissances (Loi n°1)
      Lorsqu'on multiplie deux puissances de même base, on additionne les exposants.
      \( a^m \times a^n = a^{m+n} \)

      (b) Quotient de puissances (Loi n°2)
      Lorsqu'on divise deux puissances de même base, on soustrait les exposants.
      \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)

      (c) Puissance d'une puissance (Loi n°3)
      Lorsqu'on élève une puissance à une autre puissance, on multiplie les exposants.
      \( (a^m)^n = a^{m \times n} \)

      (d) Distributivité sur la multiplication (Loi n°4)
      La puissance se distribue sur chaque facteur d'un produit.
      \( (ab)^n = a^n \times b^n \)

      (e) Distributivité sur la division (Loi n°7)
      La puissance se distribue sur le numérateur et le dénominateur d'un quotient.
      \( \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \)

      2. Exemples d'application

      Exemple 1 : Simplifier \( \frac{(x^3)^4 \times (x^2)^5}{x^7} \)

      • Étape 1 (Loi 3) : \( (x^3)^4 = x^{12} \) et \( (x^2)^5 = x^{10} \)
      • Étape 2 (Loi 1) : \( x^{12} \times x^{10} = x^{22} \)
      • Étape 3 (Loi 2) : \( \frac{x^{22}}{x^7} = x^{22-7} = x^{15} \)

      Exemple 2 : Simplifier \( \frac{(3x^2)^{-4}}{(-2y^{-1}z^2)^{-2}} \)

      • On distribue l'exposant sur chaque facteur (Loi 7 et 4) :
      • \( \frac{3^{-4} (x^2)^{-4}}{(-2)^{-2} (y^{-1})^{-2} (z^2)^{-2}} = \frac{3^{-4} x^{-8}}{(-2)^{-2} y^2 z^{-4}} \)
      • On applique la règle des puissances négatives (\( a^{-n} = 1/a^n \)) :
      • \( \frac{(-2)^2 z^4}{3^4 x^8 y^2} = \frac{4z^4}{81x^8y^2} \)

      Exemple 3 : Simplifier \( 16x^4y^8z^{12} \)

      • On cherche un facteur commun (ici 4) pour les exposants :
      • \( 16 = 2^4 \). Donc on a : \( (2^4) \times (x^4) \times (y^2)^4 \times (z^3)^4 \)
      • On regroupe sous la même puissance (Loi 4) : \( (2 x y^2 z^3)^4 \)

      Exemple 4 : Simplifier \( \left(\frac{-x^3}{y}\right)^2 \)

      • On distribue le carré au numérateur et au dénominateur :
      • \( \frac{(-x^3)^2}{y^2} = \frac{x^6}{y^2} \) (le signe négatif disparaît car un nombre négatif au carré devient positif).

      3. Les exposants fractionnaires (Racines)

      Un exposant fractionnaire \( \frac{1}{n} \) équivaut à une racine n-ième. Par exemple, \( \frac{1}{3} \) équivaut à une racine cubique.

      \( a^{\frac{m}{n}} = (a^{\frac{1}{n}})^m = (\sqrt[n]{a})^m \)

      Exemples :

      • \( 8^{\frac{2}{3}} = (8^{\frac{1}{3}})^2 = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4 \)
      • \( 8^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{8^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{4} \)

      Exercices interactifs

      Exercice 1 : Calculer chaque expression pour \( x = -2 \)

      a) \( A = 3x^2 - 5x + 1 = \)
      b) \( B = 2(x + 4) - 3x = \)
      c) \( C = (x + 3)^2 - 4 = \)
      d) \( D = (2x - 1)(x + 2) = \)

      Exercice 2 : On considère \( A = (2x - 3)^2 - (x + 1)(4x - 6) \)

      1. Développer et réduire A :
      2. Factoriser A :
      3. Calculer A pour \( x = 3 \) :
      4. Déterminer x pour que A = 0 :

      Exercice 3 : On considère \( B = (3x + 2)^2 - (3x + 2)(x - 4) \)

      1. Développer et réduire B :
      2. Factoriser B :
      3. Calculer B pour \( x = -1 \) :
      4. Résoudre B = 0 :

      Exercice 4 : Résoudre les équations

      a) \( 3x + 7 = 22 \rightarrow x = \)
      b) \( 5x - 4 = 2x + 11 \rightarrow x = \)
      c) \( 4(x - 2) = 2x + 6 \rightarrow x = \)
      d) \( 3(2x + 1) - 5 = x + 9 \rightarrow x = \)

      Exercice 5 : Résoudre les équations

      a) \( 2(x + 3) = 5x - 6 \rightarrow x = \)
      b) \( 4(2x - 1) = 3(x + 4) \rightarrow x = \)
      c) \( 5(x - 2) - 2(x + 1) = 7 \rightarrow x = \)
      d) \( (x + 2)(x - 3) = 0 \rightarrow x = \)

      Exercice 6 : Résoudre en utilisant la factorisation

      a) \( x^2 - 16 = 0 \rightarrow x = \)
      b) \( (x + 3)(2x - 5) = 0 \rightarrow x = \)
      c) \( x^2 + 6x + 9 = 0 \rightarrow x = \)
      d) \( 4x^2 - 25 = 0 \rightarrow x = \)

      Exercice 7 : Problème de géométrie

      Un rectangle a une longueur de \( (x + 5) \) cm et une largeur de \( (x - 2) \) cm.

      1. Exprimer son périmètre P en fonction de x :
      2. Développer et réduire l'expression de P :
      3. Calculer P pour \( x = 7 \) :
      4. Si P = 30 cm, déterminer x :
      5. Vérifier que les dimensions sont possibles (Oui/Non) :

      Exercice 8 : Vrai ou Faux

      Un élève affirme que \( A = (x + 3)^2 \) et \( B = x^2 + 9 \) sont égales pour tout réel x.

      1. Développer A :
      2. L'affirmation de l'élève est-elle vraie ou fausse ? :
      3. Calculer A et B pour \( x = 2 \) :
      4. Pour quelle valeur de x (autre que 0) sont-elles égales ? :

      Exercice 9 : Synthèse

      On considère \( E = (2x + 3)^2 - (2x + 3)(x - 4) \).

      1. Développer et réduire E :
      2. Factoriser E :
      3. Calculer E pour \( x = 0 \) :
      4. Résoudre E = 0 :

    • Exercice 10: Calcul de fractions

      Effectuer en détail le calcul ci-dessous et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible :

      \( A = 1 - \left( \frac{1}{4} + \frac{3}{4} \times \frac{4}{5} \right) \)

      Étapes intermédiaires (format a/b) :

      1) La multiplication : \( \frac{3}{4} \times \frac{4}{5} \) =
      2) La somme dans la parenthèse : \( \frac{1}{4} + \frac{3}{5} \) =
      3) La soustraction finale : \( 1 - \frac{17}{20} \) =

      Exercice 11 : Fractions imbriquées

      Calculer et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.
      (Donne tes réponses sous la forme a/b)

      \( A = \frac{2}{3} - \frac{5}{6} \div \left( \frac{7}{4} - \frac{1}{2} \right) \)

      Étapes :

      1) Calcul dans la parenthèse : \( \frac{7}{4} - \frac{1}{2} = \)
      2) La division (règle de l'inverse) : \( \frac{5}{6} \div \frac{5}{4} = \)
      3) La soustraction finale : \( \frac{2}{3} - \frac{2}{3} = \)

      Exercice 12 : Racines carrées et puissances

      Calculer et donner le résultat exact sous la forme la plus simple (entier, fraction ou exposant).

      \( A = \frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}} \)

      \( A = \)

      \( B = (\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2) \)

      \( B = \)

      \( C = 2^{3} \times 2^{-5} \times 2^{4} \)

      \( C = 2^{...} \rightarrow \)

      \( D = \frac{10^{-3} \times 10^5}{10^{-2} \times 10^6} \)

      \( D = 10^{...} \rightarrow \)

      Exercice 13 : Calcul littéral

      Développer et réduire les expressions suivantes.

      \( A = (3x - 2)^2 - (x + 1)(x - 1) \)

      Écris la forme développée réduite.
      Format : pour \( 8x^2 - 12x + 5 \), écris 8x^2 - 12x + 5

      Exercice 14: Calculs et conversions

      1) Calculer et donner le résultat en écriture décimale

      A.

      \(A=7\times10^2\times4\times10^4\)
      \(A=\)

      B.

      \(B=0,14\times(-300000)\times0,0002\)
      \(B=\)

      C.

      \(C=\dfrac{80\times10^{-5}\times3\times10^8}{8\times10^{-6}\times2}\)
      \(C=\)

      D.

      \(D=\dfrac{72000\times0,007}{6300}\)
      \(D=\)
      2) Écritures scientifiques

      Donner chaque résultat sous la forme \(a\times10^n\), avec \(1\leq |a|<10\). Pour les questions C et D, donner respectivement l'écriture scientifique et l'écriture décimale demandée.

      A.

      \(A=253000000\)

      Réponse :

      B.

      \(B=0,0057\)

      Réponse :

      C.

      \(C=658\times10^{-4}\)

      Réponse :

      D.

      \(D=41,23\times10^6\)

      Réponse :

      E.

      \(E=956000000\)

      Réponse :

      F.

      \(F=0,005423\)

      Réponse :

      G.

      \(G=470\times10^{-2}\)

      Réponse :

      H.

      \(H=0,000165\times10^7\)

      Réponse :
       

      Exercice 15 : Indiquer la (ou les) bonne(s) réponse(s)

      Recopie le(s) numéro(s) de la (ou des) bonne(s) réponse(s).
      S'il y en a plusieurs, sépare-les par une virgule (ex: R2,R4).

      1. \( 10^{-3} \)

      R1 : Un millième R2 : 0.010 R3 : 0.001 R4 : \( 1/10^3 \)
      Réponse(s) :

      2. En 2006, la population mondiale était de 6 500 000 000 habitants. Ce nombre peut s'écrire :

      R1 : \( 65 \times 10^8 \) R2 : \( 6,5 \times 10^9 \) R3 : \( 65 \times 10^{10} \) R4 : \( 0,065 \times 10^{11} \)
      Réponse(s) :

      3. \( 6,4 \times 10^7 = \dots \)

      R1 : \( 6,4^7 \) R2 : 6 40 000 000 R3 : 64 000 000 R4 : 0,000 000 64
      Réponse(s) :

      4. La taille d'une bactérie est de 0,000 000 003 m.

      R1 : \( 3^{-9} \text{ m} \) R2 : \( \frac{3}{100\,000\,000} \text{ m} \) R3 : \( 3 \times 10^{-9} \text{ m} \) R4 : \( 3 \times 10^{-10} \text{ m} \)
      Réponse(s) :

      5. \( 10^6 + 10^4 = \dots \)

      R1 : 1 010 000 R2 : \( 10^{10} \) R3 : \( 10^{24} \) R4 : \( 1,01 \times 10^6 \)
      Réponse(s) :

    • Exercice 16 : Simplifier

      Écris la forme simplifiée de chaque expression (ex: x^2, x^8, 15x^6y^8).

      i. \( (x^5)^3 \)

      \( = \)

      ii. \( (x^3)^2 \times x^2 \)

      \( = \)

      iii. \( x^5 \div x^9 \)

      \( = \)

      iv. \( \sqrt{x^{10}} \)

      \( = \)

      v. \( (x^{-3})^5 \)

      \( = \)

      vi. \( \sqrt[3]{x^6} \)

      \( = \)

      vii. \( (x^{-1})^2 \times \left( x^{\frac{1}{2}} \right)^8 \)

      \( = \)

      viii. \( 3x^2y \times 5x^4y^3 \)

      \( = \)

      ix. \( \sqrt{25x^6y^{-4}} \)

      \( = \)
       

      Exercice 17 : Simplifier

      Écris le résultat simplifié. Si c'est une fraction, utilise le format a/b.

      i. \( \sqrt{20} + \sqrt{5} \)

      \( = \)

      ii. \( \sqrt[3]{24x} - \sqrt[3]{81x} \)

      \( = \)

      iii. \( \sqrt[4]{4y^3} \sqrt[4]{12y^2} \)

      \( = \)

      iv. \( \sqrt[5]{\frac{3}{32}} \)

      \( = \)

      v. \( \sqrt[3]{-\frac{8}{1000}} \)

      \( = \)

      Exercice 18:

      Trouver les entiers \( x \) et \( y \) si \( 2x \times 3y = 6^4 \).

      Indice : \( 6^4 = (2 \times 3)^4 = 2^4 \times 3^4 \).

      \( x = \)
      \( y = \)

      Exercice 19: Trouver la valeur de \( x \)

      i. \( \left( \frac{3^3 \times 3^6}{3^7 \times 3^5} \right) = 3^x \)

      \( x = \)

      ii. \( \frac{(7^x \times 7^3)^2}{7^4 \div 7^2} = 7^3 \)

      \( x = \)

      iii. \( 4^x = \frac{1}{64} \)

      \( x = \)

      iv. \( 2^x = 0.125 \)

      \( x = \)

      Exercice 20:

      Étant donné que \( \frac{(36x^4)^2}{8x^2 \times 3x} = 2^a 3^b x^c \). Trouver \( a, b, c \).

      \( a = \)
      \( b = \)
      \( c = \)

      Exercice 21:

      Étant donné que \( \frac{\sqrt{x^{-1}} \times \sqrt[3]{y^2}}{\sqrt{x^6 y^{\frac{2}{3}}}} = x^a y^b \). Trouver \( a \) et \( b \).

      \( a = \)
      \( b = \)

      Exercice 22:

      Étant donné que \( \frac{\sqrt{a^{\frac{4}{3}} b^{-\frac{2}{3}}}}{a^{-\frac{1}{5}} b^{\frac{2}{3}}} = a^x b^y \). Trouver la valeur de \( x \) et \( y \).

      \( x = \)
      \( y = \)

      Exercice 23:

      Étant donné que \( \left( \frac{a^x}{b^{5-x}} \right)^2 \times \frac{b^{y-4}}{a^y} = a^2 b^4 \). Trouver la valeur de \( x \) et \( y \).

      \( x = \)
      \( y = \)

      Exercice 24 : Simplifier

      Simplifier \( (1 + x)^{\frac{3}{2}} - (1 + x)^{\frac{1}{2}} \).
      (Indice : factoriser par \( (1+x)^{\frac{1}{2}} \)).

      Résultat :

      Exercice 25 : Simplifier

      Calculer la valeur exacte de ces expressions (format a/b ou entier).

      i. \( \left( \frac{32x^{-6}y^{-4}z}{625x^4yz^{-4}} \right)^{\frac{2}{5}} \)

      \( = \)

      ii. \( \frac{(243)^{\frac{2}{5}} (32)^{\frac{1}{5}}}{\sqrt{(196)^{-1}}} \)

      \( = \)

      iii. \( \frac{2^{\frac{1}{3}} \times (27)^{\frac{1}{3}} \times (60)^{\frac{1}{2}}}{(180)^{\frac{1}{2}} \times (4)^{\frac{1}{3}} \times (9)^{\frac{1}{4}}} \)

      \( = \)

      iv. \( \sqrt{(216)^{\frac{2}{3}} \times \frac{(25)^{\frac{1}{2}}}{(0.04)^{-\frac{1}{2}}}} \)

      \( = \)

      v. \( \sqrt[3]{\frac{a^x}{a^m}} \times \sqrt[3]{\frac{a^m}{a^n}} \times \sqrt[3]{\frac{a^n}{a^x}} \)

      \( = \)

      vi. \( \frac{\sqrt{98a^6b^5c^4} + \sqrt{63a^3b^2c} - \sqrt{27a^5bc^3}}{\sqrt{126a^4b^3c^2} + \sqrt{7abc^4}} \)

      \( = \)

    • 2. Exemples d'application (Interactifs)

      Exemple 1 : Simplifier \( \frac{(x^3)^4 \times (x^2)^5}{x^7} \)

      1) Étape 1 (Loi 3) : \( (x^3)^4 = x^{12} \) et \( (x^2)^5 = \)
      2) Étape 2 (Loi 1) : \( x^{12} \times x^{10} = \)
      3) Étape 3 (Loi 2) : \( \frac{x^{22}}{x^7} = \)
       

      Exemple 2 : Simplifier \( \frac{(3x^2)^{-4}}{(-2y^{-1}z^2)^{-2}} \)

      On distribue l'exposant sur chaque facteur, puis on applique la règle \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \).

      1) Le numérateur devient : \( 3^{-4} \times (x^2)^{-4} = \)
      2) Le dénominateur devient : \( (-2)^{-2} \times (y^{-1})^{-2} \times (z^2)^{-2} = \)
      3) En remontant les puissances négatives et en simplifiant : le résultat final est (format a/b)
       

      Exemple 3 : Simplifier \( 16x^4y^8z^{12} \)

      On cherche un facteur commun (ici 4) pour les exposants. Comme \( 16 = 2^4 \), on peut tout regrouper sous une même puissance.

      1) Décomposition : \( (2^4) \times (x^4) \times (y^2)^4 \times (z^3)^4 \)
      2) Résultat regroupé : \( (2 \times x \times y^2 \times z^3)^4 \). Écris l'intérieur de la parenthèse :
       

      Exemple 4 : Simplifier \( \left( \frac{-x^3}{y} \right)^2 \)

      On distribue le carré au numérateur et au dénominateur. (Rappel : le signe négatif disparaît au carré).

      1) Le numérateur devient : \( (-x^3)^2 = \)
      2) Le résultat final (fraction) :