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    • Cours : Racines Carrées et Règles de Calcul

      1. Définition

      Soit \(a\) un nombre positif. Il existe un nombre positif dont le carré est \(a\). Ce nombre est appelé racine carrée positive de \(a\) et est noté \( \sqrt{a} \).

      • Le symbole \( \sqrt{\phantom{x}} \) est appelé radical.
      • \(a\) est le radicande.
      • \( \sqrt{a} \) se lit « racine carrée de \(a\) ».

      2. Propriétés

      Propriété 1 : Pour tout nombre \(a\) positif : \( (\sqrt{a})^2 = a \).

      Exemples : \( (\sqrt{5})^2 = 5 \) ; \( (\sqrt{0.2})^2 = 0.2 \) ; \( (\sqrt{6})^2 = 6 \).

      Propriété 2 : Pour tout nombre \(a\) positif : \( \sqrt{a^2} = a \).

      Exemple : \( \sqrt{49} = \sqrt{7^2} = 7 \), car \( 7^2 = 49 \) et \( 7 > 0 \).

      Attention (piège) : Si \(a \le 0\), alors \(-a\) est positif et \( \sqrt{a^2} = \sqrt{(-a)^2} = -a \).

      Exemples : \( \sqrt{(-7)^2} = 7 \) (et non -7).
      \( \sqrt{(3 - \pi)^2} = \pi - 3 \) (car \(\pi > 3\), donc \(\pi - 3\) est positif).

      Propriété 3 : Pour tout nombre \(a\) : \( \sqrt{a^4} = a^2 \).

      Exemples : \( \sqrt{3^4} = 3^2 = 9 \) ; \( \sqrt{(-2)^4} = (-2)^2 = 4 \).

      3. Solution de l'équation \( x^2 = a \)

      • Si \(a > 0\), l'équation \(x^2 = a\) admet deux solutions : \( x = -\sqrt{a} \) et \( x = +\sqrt{a} \).
      • Si \(a = 0\), l'équation \(x^2 = 0\) admet une solution unique : \( x = 0 \).
      • Si \(a < 0\), l'équation \(x^2 = a\) n'admet pas de solution.

      4. Règles de calcul

      Produit de radicaux

      Pour tous nombres positifs \(a\) et \(b\) :

      \( \sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b} \)
      • Ex : \( \sqrt{12} \times \sqrt{3} = \sqrt{12 \times 3} = \sqrt{36} = 6 \)
      • Ex : \( \sqrt{7} \times \sqrt{15} \times \sqrt{3} = \sqrt{7 \times 15 \times 3} = \sqrt{315} \)
      • Ex : \( \sqrt{25 \times 3} = \sqrt{25} \times \sqrt{3} = 5 \times \sqrt{3} \)

      Quotient de radicaux

      Pour tous nombres positifs \(a\) et \(b\) (\(b \neq 0\)) :

      \( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \)
      • Ex : \( \frac{\sqrt{108}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{108}{3}} = \sqrt{36} = 6 \)
      • Ex : \( \sqrt{\frac{25}{49}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{49}} = \frac{5}{7} \)

       Exercices d'application

      Exercice 1 : Application directe

      \( (\sqrt{5})^2 = \)
      \( \sqrt{49} = \)
      \( \sqrt{(-7)^2} = \)
      \( \sqrt{12} \times \sqrt{3} = \)
      \( \frac{\sqrt{108}}{\sqrt{3}} = \)

      Exercice 2 : Résolution d'équations

      S'il y a deux solutions, sépare-les par "ou" (ex: -3 ou 3).

      \( x^2 = 9 \rightarrow x = \)
      \( x^2 = -9 \rightarrow x = \)
      \( x^2 = 0 \rightarrow x = \)

    • Cours : Calculs avec des Radicaux (Partie 3)

      1. Quotient de deux radicaux

      Pour tous nombres positifs \(a\) et \(b\) (avec \(b \neq 0\)) :

      \( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \)

      Exemples :

      • \( \frac{\sqrt{108}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{108}{3}} = \sqrt{36} = 6 \)
      • \( \frac{\sqrt{100}}{\sqrt{225}} = \sqrt{\frac{100}{225}} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3} \)
      • \( \sqrt{\frac{25}{49}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{49}} = \frac{5}{7} \)
      • \( \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}} = \frac{1}{3} \)

      2. Écrire \( \sqrt{c} \) sous la forme simplifiée \( a\sqrt{b} \)

      Pour simplifier \( \sqrt{c} \) (où \(b\) est le plus petit possible), on cherche à écrire \(c\) sous la forme \( a^2b \).

      \( \sqrt{c} = \sqrt{a^2b} = a\sqrt{b} \)

      Exemples :

      • \( \sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = \sqrt{3^2 \times 3} = 3\sqrt{3} \)
      • \( \sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = \sqrt{4^2 \times 3} = 4\sqrt{3} \)
      • \( \sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = \sqrt{3^2 \times 5} = 3\sqrt{5} \)

      Exercice 3 : Simplifier les radicaux

      Format : écris par exemple 3sqrt(2) pour \( 3\sqrt{2} \).

      \( \sqrt{20} = \)
      \( \sqrt{75} = \)
      \( \sqrt{288} = \)

      3. Somme de radicaux semblables

      On peut additionner des radicaux s'ils ont le même nombre sous la racine (radicaux semblables).

      \( m\sqrt{a} + n\sqrt{a} = (m + n)\sqrt{a} \)

      Exemples :

      • \( 4\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = (4+2)\sqrt{5} = 6\sqrt{5} \)
      • \( 7\sqrt{3} - 12\sqrt{3} = (7-12)\sqrt{3} = -5\sqrt{3} \)
      • \( \frac{1}{2}\sqrt{7} - \frac{3}{5}\sqrt{7} + 2\sqrt{7} = (\frac{1}{2} - \frac{3}{5} + 2)\sqrt{7} = \frac{19}{10}\sqrt{7} \)
      • \( \sqrt{3} + \sqrt{12} - 5\sqrt{27} = \sqrt{3} + 2\sqrt{3} - 15\sqrt{3} = (1 + 2 - 15)\sqrt{3} = -12\sqrt{3} \)

      Exercice 4: Calculer les sommes

      Format : écris par exemple -5sqrt(3).

      \( 7\sqrt{3} - 12\sqrt{3} = \)
      \( \frac{1}{2}\sqrt{7} - \frac{3}{5}\sqrt{7} + 2\sqrt{7} = \)

      ⚠️ 4. Erreurs à éviter

      La racine carrée n'est pas distributive sur l'addition et la soustraction !

      • \( \sqrt{a} + \sqrt{b} \neq \sqrt{a + b} \) (sauf cas particuliers)
      • \( \sqrt{a} - \sqrt{b} \neq \sqrt{a - b} \)

      Exemples pour comprendre :

      • \( \sqrt{36} + \sqrt{4} = 6 + 2 = 8 \)    MAIS    \( \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \)
      • \( \sqrt{25} - \sqrt{9} = 5 - 3 = 2 \)    MAIS    \( \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \)

      5. Développer et réduire

      On utilise les mêmes règles que pour les expressions littérales classiques (distributivité et identités remarquables).

      Exemples :

      • \( 3\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 3 \times (\sqrt{2})^2 = 3 \times 2 = 6 \)
      • \( (\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2) = (\sqrt{5})^2 - (2)^2 = 5 - 4 = 1 \)
      • \( (\sqrt{3} - \sqrt{7})^2 = (\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3}\sqrt{7} + (\sqrt{7})^2 = 3 - 2\sqrt{21} + 7 = 10 - 2\sqrt{21} \)

      Exercice 5 : Développer

      Format : écris par exemple 10-2sqrt(21).

      \( (\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2) = \)
      \( (\sqrt{3} - \sqrt{7})^2 = \)
      \( (2\sqrt{5} - 3\sqrt{2})^2 = \)

    • Cours : Racines Carrées et Règles de Calcul (Partie 3)

      1. Simplifier et décomposer

      Simplifier \( \sqrt{75} \) et \( \sqrt{153} \) :

      • \( \sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = \sqrt{5^2 \times 3} = 5\sqrt{3} \)
      • \( \sqrt{153} = \sqrt{9 \times 17} = \sqrt{3^2 \times 17} = 3\sqrt{17} \)

      Décomposer 288 en produit de facteurs premiers, puis en déduire \( \sqrt{288} \) :

      • a) \( 288 = 2^5 \times 3^2 \)
      • b) \( \sqrt{288} = \sqrt{2^5 \times 3^2} = \sqrt{2^4 \times 2 \times 3^2} = 2^2 \times 3 \times \sqrt{2} = 12\sqrt{2} \)

      2. Résolution d'équations de type \( (ax+b)^2 = c \)

      Résoudre \( (2x - 1)^2 = 3 \).

      • On a donc \( 2x - 1 = \sqrt{3} \) ou \( 2x - 1 = -\sqrt{3} \)
      • Soit \( 2x = 1 + \sqrt{3} \) ou \( 2x = 1 - \sqrt{3} \)
      • D'où \( x = \frac{1 + \sqrt{3}}{2} \) ou \( x = \frac{1 - \sqrt{3}}{2} \)

      3. Développer et réduire

      a) Développer et réduire \( (2 + \sqrt{3})^2 \) :

      \( (2 + \sqrt{3})^2 = 2^2 + 2 \times 2 \times \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7 + 4\sqrt{3} \)

      b) En déduire la racine carrée de \( 7 + 4\sqrt{3} \) :

      Puisque \( (2 + \sqrt{3})^2 = 7 + 4\sqrt{3} \), alors \( \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} = \sqrt{(2 + \sqrt{3})^2} = 2 + \sqrt{3} \).

      Calculer \( (\sqrt{5} - 3)^2 \) et en déduire \( \sqrt{14 - 6\sqrt{5}} \) :

      \( (\sqrt{5} - 3)^2 = (\sqrt{5})^2 - 2 \times \sqrt{5} \times 3 + 3^2 = 5 - 6\sqrt{5} + 9 = 14 - 6\sqrt{5} \)

      Puisque \( 14 - 6\sqrt{5} = (\sqrt{5} - 3)^2 = (3 - \sqrt{5})^2 \) (car \( 3 > \sqrt{5} \)), alors \( \sqrt{14 - 6\sqrt{5}} = 3 - \sqrt{5} \).

      a) Calculer \( E = x^3 + 3x^2 - 5x + 7 \) pour \( x = \sqrt{2} \) :

      \( E = (\sqrt{2})^3 + 3(\sqrt{2})^2 - 5\sqrt{2} + 7 \)
      \( E = 2\sqrt{2} + 3 \times 2 - 5\sqrt{2} + 7 \)
      \( E = 2\sqrt{2} + 6 - 5\sqrt{2} + 7 \)
      \( E = 13 + (2 - 5)\sqrt{2} = 13 - 3\sqrt{2} \)

      b) Factoriser \( F = 9x^2 - 7 \) :

      \( F = (3x)^2 - (\sqrt{7})^2 = (3x - \sqrt{7})(3x + \sqrt{7}) \)

      4. Rendre rationnel un dénominateur

      L'objectif est d'éliminer la racine carrée au dénominateur en multipliant par l'expression conjuguée.

      Exemple 1 : Rendre rationnel \( \frac{2}{5\sqrt{3}} \).

      On multiplie le numérateur et le dénominateur par \( \sqrt{3} \) :
      \( \frac{2}{5\sqrt{3}} = \frac{2 \times \sqrt{3}}{5\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{5 \times 3} = \frac{2\sqrt{3}}{15} \)

      Exemple 2 : Rendre rationnel \( \frac{3}{\sqrt{5} - 1} \).

      On multiplie par le conjugué \( \sqrt{5} + 1 \) :
      \( \frac{3}{\sqrt{5} - 1} = \frac{3(\sqrt{5} + 1)}{(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1)} = \frac{3(\sqrt{5} + 1)}{(\sqrt{5})^2 - 1^2} = \frac{3(\sqrt{5} + 1)}{5 - 1} = \frac{3(\sqrt{5} + 1)}{4} \)

      Définition du conjugué : Deux expressions avec des radicaux sont dites conjuguées si leur produit est un nombre rationnel (sans racine). Par exemple, \( (\sqrt{7} - 1) \) et \( (\sqrt{7} + 1) \) sont conjuguées car leur produit vaut 6.

       Exercices d'application

      Exercice 6 : Développer et réduire

      Format : écris par exemple 7+4sqrt(3).

      \( (2 + \sqrt{3})^2 = \)
      \( (\sqrt{5} - 3)^2 = \)

      Exercice 7 : Rendre rationnel le dénominateur

      Format : si le résultat est \( \frac{2\sqrt{3}}{15} \), écris 2sqrt(3)/15.

      \( \frac{2}{5\sqrt{3}} = \)
      \( \frac{3}{\sqrt{5} - 1} = \)

    • Exercice 8 : Calculer

      Donner le résultat sous la forme d'un entier ou d'une racine carrée simplifiée.
      Exemple : sqrt(3)

      1°

      \( \sqrt{11} \times \sqrt{99} = \)

      2°

      \( \sqrt{\frac{9}{10}} \times \sqrt{\frac{40}{81}} = \)

      3°

      \( \sqrt{\frac{1}{27}} \times \sqrt{\frac{3}{4}} = \)

      4°

      \( \sqrt{11^2 \times 9} = \)

      5°

      \( \sqrt{\frac{10}{72}} \times \sqrt{\frac{36}{45}} = \)

      6°

      \( \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{5}} \times \sqrt{\frac{45}{2}} = \)

      7°

      \( \sqrt{2^4 \times 3^7} = \)

      8°

      \( \sqrt{3^3 \times 48} = \)

      9°

      \( \sqrt{4^3 \times 5^4 \times 7^2} = \)
       

      Exercice 9 : Effectuer et donner sous la forme la plus simple

      1°

      \( \sqrt{5} \times \sqrt{80} = \)

      4°

      \( \sqrt{5} \times \sqrt{0.45} = \)

      2°

      \( \sqrt{20} \times \sqrt{45} = \)

      5°

      \( \sqrt{57.76} \times \sqrt{0.25} = \)

      3°

      \( \sqrt{12.1} \times \sqrt{0.9} = \)

      6°

      \( \sqrt{0.72} \times \sqrt{0.32} = \)
       

      Exercice 10

      On considère : \(X=\sqrt{3}\) et \(Y=2\).

      1° Calculer \(X^2\) et \(Y^2\).

      2° Comparer \(X^2\) et \(Y^2\).

      \(X^2\) est \(Y^2\)

      3° En déduire la comparaison entre \(X\) et \(Y\).

      \(X\) est \(Y\)
       

      Exercice 11

      On considère les deux nombres :

      \(A=\sqrt{63}\times\sqrt{7}\)    \(B=\sqrt{63\times7}\)

      1° Calculer \(A^2\) et \(B^2\).

      2° Comparer \(A^2\) et \(B^2\). En déduire que \(A=B\).

       

      Exercice 12 : Développer et réduire

      1°

      \( (\sqrt{3} + 1)^2 = \)

      2°

      \( (2 - \sqrt{7})^2 = \)

      3°

      \( (\sqrt{5} - \sqrt{3})^2 = \)

      4°

      \( (\sqrt{3} - 1)^2 = \)

      5°

      \( (2 + \sqrt{7})^2 = \)

      6°

      \( (\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 = \)

      7°

      \( (\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1) = \)

      8°

      \( (2 - \sqrt{7})(2 + \sqrt{7}) = \)

      9°

      \( (\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3}) = \)
       

      Exercice 13 : Écrire sous la forme \( a + b\sqrt{2} \)

      \( E = 5 + 6\sqrt{2}(3\sqrt{2} + 4) = \)
      \( F = (7\sqrt{2} - 4)^2 = \)
       

    • Exercice 14

      On donne : \( A = \sqrt{48} - \sqrt{108} + \sqrt{300} + \sqrt{121} - 11 \).

      Écrire \( A \) sous la forme \( a\sqrt{3} \), où \( a \) est un entier.

      \( A = \)
       

      Exercice 15

      On donne \( A = 2\sqrt{27} - 2\sqrt{3} - \sqrt{12} \) et \( B = \sqrt{75} + \sqrt{48} - 7\sqrt{3} \).

      1° Écrire \( A \) et \( B \) sous la forme \( a\sqrt{3} \), où \( a \) est un nombre positif.
      \( A = \)
      \( B = \)
      2° Vérifier que \( \frac{A}{B} = 1 \). (Écris 1) :

      Exercice 16

      Écrire \( A = 2\sqrt{18} \cdot \sqrt{14} \cdot \sqrt{21} \) sous la forme \( p\sqrt{q} \), où \( p \) et \( q \) sont des entiers, et \( q \) est le plus petit possible.

      \( A = \)

      Exercice 17

      On donne \( A = (2\sqrt{3} + 7)(2\sqrt{3} - 7) \) et \( B = (\sqrt{2} + \sqrt{8})^2 \).

      Montrer que \( A \) et \( B \) sont des nombres rationnels (c'est-à-dire des entiers ou des fractions sans racine).

      Valeur de \( A \) :
      Valeur de \( B \) :

      Exercice 18

      Soit \( E = (4\sqrt{2} - 2)(\sqrt{2} + 1) - (\sqrt{2} + 1)^2 \).

      Montrer que \( E \) est un nombre entier naturel.

      \( E = \)

      Exercice 19

      On suppose que \( a = \sqrt{3}(1 + \sqrt{6}) \) et \( b = 3 - \sqrt{6} \).

      1° Calculer \( a^2 \) et \( b^2 \). En déduire que \( a^2 + b^2 \) est un nombre entier naturel.
      \( a^2 = \)
      \( b^2 = \)
      \( a^2 + b^2 = \)
      2° Si \( a \) et \( b \) sont les longueurs des côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle, quelle est la longueur de l'hypoténuse ? (Indice : Théorème de Pythagore : \( c^2 = a^2 + b^2 \)).
      Longueur de l'hypoténuse =

      Exercice 20

      On considère \( A = \sqrt{2} + \sqrt{18} \), \( B = \sqrt{3} + \sqrt{12} \) et \( C = \frac{3\sqrt{5} + 5\sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} \).

      1° Comparer \( A \) et \( B \). (Écris A, A>B ou A=B) :
      2° Trouver la valeur numérique de \( \sqrt{B^2 + A^2 - 2B \cdot A} \) :
      3° Rendre rationnel le dénominateur de \( C \) :
      4° Vérifier que \( C^2 - \frac{\sqrt{45}}{\sqrt{5}} \) est un nombre entier naturel :