Soit \( ABCD \) un parallélogramme tel que : \( AB = 8 \text{ cm} \), \( AD = 4,5 \text{ cm} \) et \( E \in [DA] \) avec \( E \notin [AD] \) et \( AE = 1,5 \text{ cm} \).
La droite \( (EC) \) coupe \( (AB) \) en \( M \).
1- Faire une figure. (Coche quand c'est fait : écris "oui") :
2- Calculer \( AM \) :
3- Soit \( N \) un point de \( [DC] \) tel que \( DN = \frac{3}{4} DC \). Montrer que \( (CE) \parallel (AN) \). (Écris "oui") :
Exercice 9
L'ombre du sommet \( H \) de l'arbre est en \( A \). On place verticalement en \( B \) un bâton tel que l'ombre du point \( C \) soit en \( A \).
On donne : \( AB = 1,2 \text{ m} \) ; \( BC = 0,8 \text{ m} \) et \( AD = 15 \text{ m} \).
Calculer la hauteur \( DH \) de l'arbre :
Exercices : Théorème de Thalès
Exercice 1
On considère la figure suivante : \( (MN) \parallel (FG) \).
D'après la figure, on lit \( AM = 3 \), \( AF = 7 \), \( AN = 4 \).
Calculer \( AG \) :
Exercice 2
Dans la figure : \( (EF) \parallel (BC) \).
\( AE = 20 \) ; \( AF = 25 \) ; \( CF = 15 \) et \( BC = 19,2 \).
Calculer \( AB \) :
Calculer \( EF \) :
Exercice 3
On considère la figure suivante : \( (IJ) \parallel (BC) \).
On donne : \( AI = 5 \) et \( AJ = 13 \). \( AB = x \) et \( JC = 26 \).
Déterminer la valeur de \( x \) :
Exercice 4
On considère la figure ci-dessous avec \( (EF) \parallel (IJ) \).
1- Montrer que \( \frac{x}{x+4} = \frac{5}{7} \). (Écris oui si c'est vrai) :
2- Résoudre cette équation et en déduire \( OE \) :
Exercice 5
On considère la figure ci-dessous telle que :
\( AB = 3 \) et \( AC = 2,4 \). \( AD = 8 \) et \( AE = 6,4 \).
Montrer que \( (BC) \parallel (DE) \). (Écris "oui") :
Exercice 6
On considère la figure ci-dessous telle que :
\( OA = 45 \text{ cm} \) ; \( OC = 33 \text{ cm} \) ; \( OB = 44 \text{ cm} \) et \( OD = 30 \text{ cm} \).
Les droites \( (AB) \) et \( (CD) \) sont-elles parallèles ? (Écris "oui" ou "non") :
Exercice 7
On considère la figure ci-dessous.
On donne \( AN = 6 \text{ cm} \) ; \( AM = 9 \text{ cm} \) ; \( AE = 3 \text{ cm} \) et \( AF = 2 \text{ cm} \).
Soit \( ABCD \) un parallélogramme tel que : \( AB = 8 \text{ cm} \), \( AD = 4,5 \text{ cm} \) et \( E \in [DA] \) avec \( E \notin [AD] \) et \( AE = 1,5 \text{ cm} \).
La droite \( (EC) \) coupe \( (AB) \) en \( M \).
1- Faire une figure. (Coche quand c'est fait : écris "oui") :
2- Calculer \( AM \) :
3- Soit \( N \) un point de \( [DC] \) tel que \( DN = \frac{3}{4} DC \). Montrer que \( (CE) \parallel (AN) \). (Écris "oui") :
Exercice 9
L'ombre du sommet \( H \) de l'arbre est en \( A \). On place verticalement en \( B \) un bâton tel que l'ombre du point \( C \) soit en \( A \).
On donne : \( AB = 1,2 \text{ m} \) ; \( BC = 0,8 \text{ m} \) et \( AD = 15 \text{ m} \).
Calculer la hauteur \( DH \) de l'arbre :
Exercice 1
Soit \( ABC \) un triangle tel que \( AB = 5 \text{ cm} \), \( AC = 6 \text{ cm} \) et \( I \) un point de \( [AC] \) tel que : \( CI = 2 \text{ cm} \).
1 a) Construire le point \( J \) de \( [AB] \) tel que \( AJ = \frac{2}{3}AB \).
b) Montrer que les droites \( (IJ) \) et \( (BC) \) sont parallèles. (Écris "oui") :
2 Soit \( K \) le milieu de \( [BC] \), la droite \( (AK) \) coupe la droite \( (IJ) \) en un point \( D \).
a) Comparer \( \frac{ID}{BK} \) et \( \frac{ID}{KC} \). (Écris =) :
b) Déduire que \( D \) est le milieu de \( [IJ] \). (Écris "oui") :
3 a) Montrer que \( \frac{IJ}{BK} = \frac{4}{3} \). (Écris oui) :
b) Les droites \( (AB) \) et \( (KI) \) se coupent en un point \( E \). Calculer \( \frac{EJ}{EB} \) :
c) Montrer que \( B \) est le milieu de \( [AE] \). (Écris "oui") :
4 La parallèle à \( (AB) \) passant par \( D \) coupe \( (EI) \) en un point \( F \).
a) Montrer que \( F \) est le milieu de \( [EI] \). (Écris "oui") :
b) Calculer alors \( DF \) (en cm) :
Exercice 2
Dans la figure ci-contre \( AB = 2 \), \( AD = 3 \), \( AC = 4 \) et les droites \( (DE) \) et \( (BC) \) sont parallèles.
1 Montrer que le triangle \( ADE \) est un agrandissement du triangle \( ABC \) et déterminer le rapport d'agrandissement (sous forme de fraction) :
2 a) Quelle est la proportion du périmètre de \( ADE \) par rapport au périmètre de \( ABC \) ? (Écris le rapport, ex: 3/2) :
b) Quelle est la proportion de l'aire de \( ADE \) par rapport à l'aire de \( ABC \) ? (Écris le rapport, ex: 9/4) :
Exercice 3
Dans la figure ci-contre : \( ABCD \) est un trapèze de bases \( [AB] \) et \( [CD] \). Ses diagonales se coupent en \( O \). La parallèle à \( (AB) \) menée par \( O \) coupe \( [AD] \) et \( [BC] \) en \( E \) et \( F \).
1 Montrer que \( O \) est le milieu de \( [EF] \). (Écris "oui") :
2 On note \( AB = a \) ; \( CD = b \). Calculer \( EF \) en fonction de \( a \) et \( b \). (Format : utilise * pour la multiplication, ex: 2*a*b/(a+b)) :
Exercice 9
Soient \( ABCD \) un rectangle, \( M \) un point de la droite \( (BC) \) tel que : \( C \in [BM] \) et que \( BM = 3BC \). La parallèle à \( (AC) \) passant par \( M \) coupe \( (AB) \) en \( I \) et la parallèle à \( (BD) \) passant par \( M \) coupe \( (CD) \) en \( J \).
1 Évaluer les rapports \( \frac{BI}{BA} \) et \( \frac{CJ}{CD} \) :
\( \frac{BI}{BA} = \)\( \frac{CJ}{CD} = \)
2 En déduire que \( BI = DJ \). (Écris "oui") :
3 Déterminer alors la nature du quadrilatère \( BIDJ \). (Écris le nom en minuscules) :
Exercice 10
On considère un triangle \( ABC \) tel que \( AB = 8 \) ; \( AC = 6 \) et \( BC = 4 \).
1 Soit \( I \) le point de \( [BC] \) tel que \( BI = 1 \), la parallèle à \( (AC) \) menée de \( I \) coupe \( (AB) \) en \( J \). Calculer \( IJ \) et \( BJ \).
\( IJ = \)\( BJ = \)
2 Soit \( O \) le milieu de \( [IJ] \), la droite \( (BO) \) coupe \( (AC) \) en \( K \).
a) Montrer que \( \frac{OI}{KC} = \frac{OJ}{KA} \). (Écris "oui") :
b) En déduire que \( [BK] \) est une médiane dans le triangle \( ABC \). (Écris "oui") :
3 La parallèle à la droite \( (BK) \) passant par \( J \) coupe \( (AC) \) en \( L \).
a) Évaluer \( \frac{AL}{AK} \) (sous forme de fraction) :
b) Soit \( M \) le milieu de segment \( [AJ] \), montrer que la droite \( (LM) \) est parallèle à la droite \( (BC) \). (Écris "oui") :
Exercice 11
Soit \( \varphi \) un cercle de centre \( O \) et de diamètre \( [AB] \) (on suppose que \( AB = 8\text{ cm} \)). Le point \( I \) est le milieu de \( [AO] \). La perpendiculaire à \( (AB) \) menée de \( I \) coupe \( \varphi \) en \( C \) et \( E \). Soit \( \Delta \) la tangente à \( \varphi \) en \( A \). La droite \( (BC) \) coupe \( \Delta \) en \( F \).
1 Quelle est la nature du triangle \( OAC \) ? (Écris le mot en minuscules) :
2 Comparer les rapports \( \frac{BC}{BF} \) et \( \frac{BI}{BA} \). (Écris =) :
3 Soit \( H \) le projeté orthogonal de \( I \) sur \( (BE) \).
a) Comparer les rapports \( \frac{BH}{BE} \) et \( \frac{BI}{BA} \). (Écris =) :
b) En déduire que les droites \( (CH) \) et \( (EF) \) sont parallèles. (Écris "oui") :
4 La droite \( (HI) \) coupe \( (EF) \) en \( K \).
a) Montrer que \( I \) est le milieu de \( [HK] \). (Écris "oui") :
b) Évaluer le rapport \( \frac{FK}{FE} \) (sous forme de fraction ou décimale) :
Exercice 9
ABCD est un rectangle. M est un point de la droite \((BC)\), tel que \(C\in[BM]\) et \(BM=3BC\).
La parallèle à \((AC)\) passant par \(M\) coupe \((AB)\) en \(I\).
La parallèle à \((BD)\) passant par \(M\) coupe \((CD)\) en \(J\).
Calculer le rapport \(\dfrac{BI}{BA}\).
Calculer le rapport \(\dfrac{CJ}{CD}\).
En déduire que \(BI=DJ\).
Déterminer la nature du quadrilatère \(BIDJ\).
Exercice 10
ABC est un triangle tel que \(AB=8\), \(AC=6\) et \(BC=4\).
I est un point de \([BC]\) tel que \(BI=1\).
La parallèle à \((AC)\) passant par \(I\) coupe \((AB)\) en \(J\).
Calculer \(IJ\) et \(BJ\).
\(O\) est le milieu de \([IJ]\). La droite \((BO)\) coupe \((AC)\) en \(K\).
Montrer que \(\dfrac{OI}{KC}=\dfrac{OJ}{KA}\).
En déduire que \(BK\) est une médiane du triangle \(ABC\).
La parallèle à \((BK)\) passant par \(J\) coupe \((AC)\) en \(L\).
Calculer \(\dfrac{AL}{AK}\).
\(M\) est le milieu de \([AJ]\). Montrer que \((LM)\parallel(BC)\).
Exercice 11
Soit un cercle de centre \(O\) et de diamètre \([AB]\), avec \(AB=8\,\text{cm}\).
I est le milieu de \([AO]\).
La perpendiculaire à \((AB)\) passant par \(I\) coupe le cercle en \(C\) et \(E\).
La tangente au cercle en \(A\) coupe la droite \((BC)\) en \(F\).
Déterminer la nature du triangle \(OAC\).
Comparer les rapports \(\dfrac{BC}{BF}\) et \(\dfrac{BI}{BA}\).
\(H\) est le projeté orthogonal de \(I\) sur la droite \((BE)\).
Comparer \(\dfrac{BH}{BE}\) et \(\dfrac{BI}{BA}\).
