Calcul littéral et identités remarquables

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  calculs dans le triangle rectangle.

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     Établir un objectif pour la leçon

    ACTIVITÉ

    À partir des triangles rectangles découpés, trouvez la longueur et les angles inconnus à l'aide d'une règle et d'un rapporteur.

    

    Questions d'amorce :

    1. A-t-il été facile pour vous de trouver la longueur et l'angle inconnus du triangle rectangle donné à votre groupe ?
    2. Sans utiliser de règle ni de rapporteur, pensez-vous pouvoir trouver le côté et l'angle inconnus ?
    3. Quelle technique allez-vous utiliser pour trouver le côté et l'angle inconnus ?

     Généralisation

    Les six rapports trigonométriques

    \(\sin\theta=\dfrac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}\)

    \(\cos\theta=\dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}\)

    \(\tan\theta=\dfrac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}\)

    \(\csc\theta=\dfrac{\text{hypoténuse}}{\text{côté opposé}}\)

    \(\sec\theta=\dfrac{\text{hypoténuse}}{\text{côté adjacent}}\)

    \(\cot\theta=\dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{côté opposé}}\)

    Voici quelques étapes utiles pour résoudre des triangles rectangles :

    1. Dessiner un triangle rectangle.
    2. Étiqueter les côtés et les sommets. Inscrire les données fournies sur la figure.
    3. Utiliser les fonctions trigonométriques appropriées pour trouver les parties inconnues.

    Réf. : e-math - Advanced Algebra and Trigonometry par Orlando A. Oronce et Marilyn O. Mendoza.

     Présenter des exemples pour la nouvelle leçon

    Résoudre un triangle rectangle signifie trouver la mesure des parties restantes.

    Exemple :
    Le triangle BCA est rectangle en C. Si \(c=23\) et \(b=17\), trouvez \(\angle A\), \(\angle B\) et \(a\). Exprimez vos réponses avec deux décimales.

    Solution : faire un croquis.

    

    a. Le côté \(b\) est le côté adjacent de \(\angle A\) ; \(c\) est l'hypoténuse. Utilisez CAH :

    \(\cos\theta=\dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}\)

    \(\cos A=\dfrac{b}{c}\)

    \(\cos A=\dfrac{17}{23}\)

     Évaluation des apprentissages

    QUIZ

    Utilisez la figure donnée pour résoudre les parties restantes du triangle rectangle ACB.

    

    1. \(b=17\text{ cm}\) et \(c=23\text{ cm}\)
    2. \(c=16\) et \(a=7\)
    3. \(b=10\) et \(c=20\)
    4. \(b=6\) et \(c=13\)
    5. \(c=13\) et \(a=12\)
  • Sélectionner l’activité Exercices

    Exemple 1

    ABC est un triangle rectangle en B, tel que : \(AC = 5\), \(BC = 3\) et \(AB = 4\).
    Calculer les rapports trigonométriques de l'angle \(\hat{C}\).

    On a :

    \(\sin(\hat{C}) = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{4}{5} = 0,8\)

    \(\cos(\hat{C}) = \dfrac{BC}{AC} = \dfrac{3}{5} = 0,6\)

    \(\tan(\hat{C}) = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{4}{3} \approx 1,33\)

    Exercice

    EFG est un triangle rectangle en G tel que : \(EG = 8\) et \(FG = 6\).
    Calculer les rapports trigonométriques de l'angle \(\widehat{GEF}\).

    (Espace pour la solution)

    Exemple 2

    \(\alpha\) est la mesure d'un angle aigu.

    tel que : \(\tan \alpha = \sqrt{3}\)

    \(\sin(\alpha) = ?\) et \(\cos(\alpha) = ?\)

    On a : \(\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1\)

    et \(\tan \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\)

    donc : \(\cos \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\tan \alpha}\)

    donc : \(\left( \dfrac{\sin \alpha}{\tan \alpha} \right)^2 + \sin^2 \alpha = 1\)

    donc : \(\dfrac{\sin^2(\alpha)}{\tan^2(\alpha)} + \sin^2 \alpha = 1\)

    donc : \(\sin^2(\alpha) \left( \dfrac{1}{\tan^2(\alpha)} + \dfrac{1}{1} \right) = 1\)

    donc : \(\sin^2(\alpha) \left( \dfrac{1 + \tan^2(\alpha)}{\tan^2(\alpha)} \right) = 1\)

    donc : \(\sin^2(\alpha) = \dfrac{1}{\dfrac{1 + \tan^2(\alpha)}{\tan^2(\alpha)}}\)

    donc : \(\sin^2(\alpha) = 1 \times \dfrac{\tan^2(\alpha)}{1 + \tan^2(\alpha)}
    = \dfrac{(\sqrt{3})^2}{1 + (\sqrt{3})^2} = \dfrac{3}{4}\)

    donc : \(\sin^2(\alpha) = \dfrac{3}{4}\)

    , On a : \(\sin \alpha > 0\)

    donc : \(\sin(\alpha) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

    3) Relation entre cosinus, sinus et tangente d'un angle aigu.

    \(\alpha\) est la mesure d'un angle aigu.

    \(\tan(\alpha) = \dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\)

    Résultat :

    \(\sin(\alpha) = \tan(\alpha) \times \cos(\alpha)\)

    \(\cos(\alpha) = \dfrac{\sin(\alpha)}{\tan(\alpha)}\)

    Exemple 3

    \(\alpha\) est la mesure d'un angle aigu, tel que : \(\sin \alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

    \(\cos(\alpha) = ?\) et \(\tan(\alpha) = ?\)

    On a :

    \(\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1\)

    \(\cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha)\)

    \(= 1 - \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2\) \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}\)

    \(= 1 - \dfrac{(\sqrt{3})^2}{2^2}\)

    \(= 1 - \dfrac{3}{4}\)

    \(= \dfrac{4 - 3}{4} = \dfrac{1}{4}\)

    donc : \(\cos^2(\alpha) = \dfrac{1}{4}\)

    On a : \(\cos \alpha > 0\)

    \(\sqrt{\cos^2(\alpha)} = \sqrt{\dfrac{1}{4}}\) \(\dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}} = \dfrac{1}{2}\)

    donc : \(\cos(\alpha) = \dfrac{1}{2}\)

    On a : \(\tan(\alpha) = \dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\)

    \(= \dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{1}{2}}\)

    \(= \dfrac{\sqrt{3}}{2} \times \dfrac{2}{1} = \sqrt{3}\)

    donc : \(\tan(\alpha) = \sqrt{3}\)

    2) Relation entre cosinus et sinus d'un angle aigu

    \(\alpha\) est la mesure d'un angle aigu.

    \(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1\)

    \(0 < \cos \alpha < 1\)

    \(0 < \sin \alpha < 1\)

    Résultat : 

    \(\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha\)

    \(\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha\)

    Exemple

    \(\beta\) est la mesure d'un angle aigu

    tel que : \(\sin \beta = \dfrac{1}{2}\)

    Calculer : \(\cos \beta\)

    On a : \(\cos^2(\beta) + \sin^2(\beta) = 1\)

    donc : \(\cos^2(\beta) = 1 - \sin^2(\beta)\)

    donc : \(\cos^2(\beta) = 1 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^2\)

    \(= 1 - \dfrac{1}{4}\)

    \(= \dfrac{1 \times 4 - 1}{4} = \dfrac{3}{4}\)

    \(\cos^2(\beta) = \dfrac{3}{4}\)

    \(\cos(\beta) > 0\)

    \(\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)

    donc : \(\sqrt{\cos^2(\beta)} = \sqrt{\dfrac{3}{4}}\)

    donc : \(\cos(\beta) = \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

    Alors : \(\cos(\beta) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

    5) Tableau trigonométrique des angles usuels

    \(\alpha\)	\(0^\circ\)	\(30^\circ = \dfrac{\pi}{6}\)	\(45^\circ = \dfrac{\pi}{4}\)	\(60^\circ = \dfrac{\pi}{3}\)	\(90^\circ = \dfrac{\pi}{2}\)
    \(\sin \alpha\)	\(0\)	\(\dfrac{1}{2}\)	\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)	\(1\)
    \(\cos \alpha\)	\(1\)	\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\dfrac{1}{2}\)	\(0\)
    \(\tan \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\)	\(0\)	\(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)	\(1\)	\(\sqrt{3}\)	Non définie

    \(\alpha = ?\)

    \(\sin \alpha = 1\)

    \(\cos \alpha = \dfrac{1}{2}\)

    \(\alpha = 90^\circ\)

    \(\alpha = 60^\circ\)

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  Série d'exercices

  • Sélectionner l’activité Série d'exercices : Trigonométrie (avec solutions)

    Exercice 1

    EFG est un triangle rectangle en E tel que : \(EF = 4\) et \(EG = 3\).

    1. Construire la figure.
    2. Calculer \(FG\).
    3. Calculer : \(\sin \widehat{EFG}\), \(\cos \widehat{EFG}\) et \(\tan \widehat{EFG}\).
    4. Soit \(M\) le projeté orthogonal de \(E\) sur \((FG)\). Calculer : \(EM\).

    Solution :

    1) Figure à construire.

    2) D'après le théorème de Pythagore dans le triangle EFG rectangle en E :

    \(FG^2 = EF^2 + EG^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25\)

    Donc \(FG = \sqrt{25} = 5\) cm.

    3) Dans le triangle EFG rectangle en E, pour l'angle \(\widehat{EFG}\) :

    Le côté opposé est \(EG = 3\), le côté adjacent est \(EF = 4\), l'hypoténuse est \(FG = 5\).

    \(\sin \widehat{EFG} = \dfrac{EG}{FG} = \dfrac{3}{5} = 0,6\)

    \(\cos \widehat{EFG} = \dfrac{EF}{FG} = \dfrac{4}{5} = 0,8\)

    \(\tan \widehat{EFG} = \dfrac{EG}{EF} = \dfrac{3}{4} = 0,75\)

    4) Calcul de \(EM\) (hauteur issue de E) :

    On calcule l'aire du triangle EFG de deux façons :

    \(\text{Aire} = \dfrac{EF \times EG}{2} = \dfrac{4 \times 3}{2} = 6\)

    \(\text{Aire} = \dfrac{FG \times EM}{2} = \dfrac{5 \times EM}{2}\)

    Donc \(\dfrac{5 \times EM}{2} = 6 \Rightarrow 5 \times EM = 12 \Rightarrow EM = \dfrac{12}{5}\)

    Donc : \(EM = 2,4\) cm

    Exercice 2

    
    On a : \(AB = \sqrt{6}\), \(AC = 3\sqrt{2}\) et \(BC = 2\sqrt{6}\).

    1. Montrer que \(ABC\) est un triangle rectangle en \(A\).
    2. Calculer les rapports trigonométriques de \(\widehat{ABC}\).
    3. Soit \(M\) le point de \([BA]\) tel que \(BM = 6\sqrt{2}\) et \(N\) est le projeté orthogonal de \(M\) sur \((AB)\).
       Calculer : \(BN\) et \(MN\).

    Solution :

    1) Calculons séparément :

    \(AB^2 + AC^2 = (\sqrt{6})^2 + (3\sqrt{2})^2 = 6 + 18 = 24\)

    \(BC^2 = (2\sqrt{6})^2 = 4 \times 6 = 24\)

    On constate que \(AB^2 + AC^2 = BC^2\). D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.

    2) Rapports trigonométriques de \(\widehat{ABC}\) :

    \(\sin \widehat{ABC} = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{6}} = \dfrac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\sqrt{3}} = \dfrac{3}{2\sqrt{3}} = \dfrac{3\sqrt{3}}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

    \(\cos \widehat{ABC} = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{\sqrt{6}}{2\sqrt{6}} = \dfrac{1}{2}\)

    \(\tan \widehat{ABC} = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{3\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \dfrac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{3}} = \dfrac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}\)

    3) Calcul de \(BN\) et \(MN\) :

    Dans le triangle BMN rectangle en N, on a \(\widehat{MBN} = \widehat{ABC}\).

    \(\cos \widehat{MBN} = \dfrac{BN}{BM} \Rightarrow BN = BM \times \cos \widehat{ABC} = 6\sqrt{2} \times \dfrac{1}{2} = 3\sqrt{2}\)

    \(\sin \widehat{MBN} = \dfrac{MN}{BM} \Rightarrow MN = BM \times \sin \widehat{ABC} = 6\sqrt{2} \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{6}\)

    Donc : \(BN = 3\sqrt{2}\) et \(MN = 3\sqrt{6}\)

    Exercice 3

    Soit \(\alpha\) la mesure de l'angle tel que : \(0^\circ < \alpha < 90^\circ\).

    1. Calculer : \(\sin \alpha\) et \(\tan \alpha\) sachant que : \(\cos \alpha = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}\).
    2. Calculer : \(\tan \alpha\) et \(\cos \alpha\) sachant que : \(\sin \alpha = 0,3\).
    3. Calculer : \(\cos \alpha\) et \(\sin \alpha\) sachant que : \(\tan \alpha = 2\sqrt{3}\).

    Solution :

    1) On sait que \(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1\).

    \(\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\right)^2 = 1 - \dfrac{20}{25} = 1 - \dfrac{4}{5} = \dfrac{1}{5}\)

    Comme \(\alpha\) est aigu, \(\sin \alpha > 0\), donc \(\sin \alpha = \dfrac{1}{\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5}}{5}\).

    \(\tan \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \dfrac{\frac{\sqrt{5}}{5}}{\frac{2\sqrt{5}}{5}} = \dfrac{1}{2} = 0,5\).

    Donc : \(\sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{5}\) et \(\tan \alpha = 0,5\)

    2) \(\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (0,3)^2 = 1 - 0,09 = 0,91\).

    \(\cos \alpha = \sqrt{0,91} \approx 0,954\).

    \(\tan \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \dfrac{0,3}{\sqrt{0,91}} \approx 0,314\).

    Donc : \(\cos \alpha = \sqrt{0,91}\) et \(\tan \alpha = \frac{0,3}{\sqrt{0,91}}\)

    3) On utilise l'identité \(1 + \tan^2 \alpha = \dfrac{1}{\cos^2 \alpha}\).

    \(\cos^2 \alpha = \dfrac{1}{1 + \tan^2 \alpha} = \dfrac{1}{1 + (2\sqrt{3})^2} = \dfrac{1}{1 + 12} = \dfrac{1}{13}\).

    \(\cos \alpha = \dfrac{1}{\sqrt{13}} = \dfrac{\sqrt{13}}{13}\).

    \(\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \dfrac{1}{13} = \dfrac{12}{13}\).

    \(\sin \alpha = \sqrt{\dfrac{12}{13}} = \dfrac{2\sqrt{3}}{\sqrt{13}} = \dfrac{2\sqrt{39}}{13}\).

    Donc : \(\cos \alpha = \frac{\sqrt{13}}{13}\) et \(\sin \alpha = \frac{2\sqrt{39}}{13}\)

    Exercice 4

    Simplifier les expressions suivantes :

    \(A = \sin^2 40^\circ - 4\cos^2 30^\circ + \sin^2 50^\circ + \tan^2 45^\circ\)

    \(B = \cos \beta \times \sin \alpha - \dfrac{1}{2}\cos^2 \beta - \dfrac{1}{2}\cos^2 \alpha + \sin \beta \times \cos \alpha\)
    (tel que : \(\alpha + \beta = 90^\circ\))

    Solution :

    Pour A : On sait que \(\cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\), \(\tan 45^\circ = 1\) et \(\sin 40^\circ = \cos 50^\circ\) (angles complémentaires).

    \(A = \cos^2 50^\circ + \sin^2 50^\circ - 4\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + 1^2\)

    \(A = 1 - 4 \times \dfrac{3}{4} + 1 = 1 - 3 + 1\)

    Donc : A = -1

    Pour B : On sait que \(\alpha + \beta = 90^\circ \Rightarrow \cos \beta = \sin \alpha\) et \(\sin \beta = \cos \alpha\).

    \(B = \sin \alpha \times \sin \alpha - \dfrac{1}{2}\sin^2 \alpha - \dfrac{1}{2}\cos^2 \alpha + \cos \alpha \times \cos \alpha\)

    \(B = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha - \dfrac{1}{2}(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)\)

    \(B = 1 - \dfrac{1}{2} \times 1 = \dfrac{1}{2}\)

    Donc : B = 1/2

    Exercice 5

    Soit \(\alpha\) la mesure d'angle aigu. Réduire les expressions :

    \(C = 2 - 2\sin \alpha \times \cos \alpha - (\sin \alpha - \cos \alpha)^2\)

    \(D = \tan \alpha + \dfrac{1}{\tan \alpha} - \dfrac{1}{\cos \alpha \times \sin \alpha}\)

    \(E = \cos^3 \alpha + \sin^3 \alpha + \cos^2 \alpha \times \sin \alpha + \sin^2 \alpha \times \cos \alpha\)

    \(F = \tan^2 \alpha - \sin^2 \alpha \times \tan^2 \alpha + \cos^2 \alpha\)

    Solution :

    Pour C : On développe \((\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha\).

    \(C = 2 - 2\sin \alpha \cos \alpha - (1 - 2\sin \alpha \cos \alpha)\)

    \(C = 2 - 2\sin \alpha \cos \alpha - 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha = 1\)

    Donc : C = 1

    Pour D : On remplace \(\tan \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\).

    \(D = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha} - \dfrac{1}{\cos \alpha \sin \alpha}\)

    \(D = \dfrac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha - 1}{\cos \alpha \sin \alpha} = \dfrac{1 - 1}{\cos \alpha \sin \alpha} = 0\)

    Donc : D = 0

    Pour E : On factorise par \(\cos \alpha\) et \(\sin \alpha\).

    \(E = \cos \alpha(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) + \sin \alpha(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)\)

    \(E = \cos \alpha(1) + \sin \alpha(1) = \cos \alpha + \sin \alpha\)

    Donc : \(E =  \cos \alpha + \sin \alpha\)

    Pour F : On factorise par \(\tan^2 \alpha\).

    \(F = \tan^2 \alpha(1 - \sin^2 \alpha) + \cos^2 \alpha\)

    On sait que \(1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha\), donc :

    \(F = \tan^2 \alpha \times \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = \cos^2 \alpha(\tan^2 \alpha + 1)\)

    Or \(\cos^2 \alpha = \dfrac{1}{\tan^2 \alpha + 1}\), donc :

    \(F = \dfrac{1}{\tan^2 \alpha + 1} \times (\tan^2 \alpha + 1) = 1\)

    Donc : F = 1

  • Sélectionner l’activité serie

    Exercice 1

    Soit \(ABC\) un triangle rectangle en \(A\) tel que : \(AC = 2\) et \(AB = 2\sqrt{3}\).

    1. Calculer \(BC\).
    2. Calculer les rapports trigonométriques de l'angle \(\widehat{ABC}\).
    3. Soit \(H\) le projeté orthogonal de \(A\) sur \((BC)\).
       a- Calculer \(BH\) et \(AH\).
       b- Calculer l'aire du triangle \(ABC\).

    Exercice 2

    Soit \(\alpha\) un angle aigu.

    1. Sachant que \(\cos \alpha = \dfrac{1}{2}\), calculer \(\sin \alpha\) et \(\tan \alpha\).
    2. Montrer que \(1 + \tan^2 \alpha = \dfrac{1}{\cos^2 \alpha}\).
    3. Sachant que \(\tan \alpha = \sqrt{3}\), calculer \(\cos \alpha\) et \(\sin \alpha\).

    Exercice 3

    Soit \(ABC\) un triangle rectangle en \(B\) tel que : \(BC = 8\) et \(AB = 6\) (Figure ci-dessous).

    

    1. Calculer la distance \(AC\).
    2. Soit \(E\) un point de \([BC]\) tel que : \(CE = 5\).
       Soit \(F\) le projeté orthogonal de \(E\) sur \((AC)\).
       a- Calculer \(\cos \widehat{C}\) et \(\tan \widehat{C}\).
       b- Calculer \(FC\) et \(FE\).

    Exercice 4

    Considérons la figure ci-contre :

    

    1. Calculer \(AF\).
    2. Calculer \(AC\).

    Exercice 5

    Soit \(ABC\) un triangle rectangle en \(C\). \(H\) est le pied de la hauteur issue de \(C\) sur \((AB)\), tel que : \(\cos \widehat{A} = \dfrac{\sqrt{5}}{3}\).

    1. Calculer \(\sin \widehat{A}\), \(\cos \widehat{B}\) et \(\tan \widehat{A}\).
    2. Calculer : \(\dfrac{BH}{BC}\), \(\dfrac{AH}{HC}\) et \(\dfrac{HA}{HB}\).
    3. Si on sait que \(BC = 2\), calculer \(AC\), \(BH\) et \(HC\).

    Exercice 6

    1. Soit \(\alpha\) la mesure d'un angle aigu tel que : \(\cos \alpha = \dfrac{\sqrt{5}}{3}\).
       Calculer \(\sin \alpha\) et \(\tan(90^\circ - \alpha)\).
    2. Soit \(EFG\) un triangle rectangle en \(E\) tel que : \(EG = 3\) et \(\widehat{EFG} = 60^\circ\).
       Calculer \(EF\) et \(FG\).
    3. Soit \(MNP\) un triangle rectangle en \(M\). La bissectrice de l'angle \(\widehat{MPN}\) coupe \((MN)\) en \(D\) et le cercle circonscrit au triangle \(MNP\) en \(E\).
       Montrer que : \(\dfrac{PM}{PD} = \dfrac{PE}{PN}\).

    Exercice 7

    1. Simplifier : \(A = \cos^2 \alpha (2 + \tan^2 \alpha)\).
    2. Montrer que : \(\dfrac{1 - \sin \alpha}{\cos \alpha} = \dfrac{\cos \alpha}{1 + \sin \alpha}\).
    3. Montrer que : \(\tan 40^\circ + \tan 50^\circ = \dfrac{1}{\sin 40^\circ \times \cos 40^\circ}\).

  • Sélectionner l’activité Calculs trigonometriques — Série d'exercices

    Calculs trigonometriques — Série d'exercices

    Exercices de préparation aux examens : relations fondamentales, angles remarquables, et calculs dans le triangle rectangle.

     Partie 1— Relations et Calculs trigonométriques

    Exercice 1

    Soit \(\alpha\) un angle aigu tel que \(\cos \alpha = \frac{3}{5}\).

    1) Calculer \(\sin \alpha\).

    2) En déduire \(\tan \alpha\).

    Exercice 2

    Soit \(\beta\) un angle aigu tel que \(\sin \beta = \frac{1}{4}\).

    1) Calculer \(\cos \beta\).

    2) En déduire \(\tan \beta\).

    Exercice 3

    On donne \(\tan \theta = 2\).

    1) Rappeler la relation entre \(\cos^2 \theta\) et \(\tan^2 \theta\).

    2) Calculer \(\cos \theta\) et \(\sin \theta\).

    Exercice 4

    Calculer la valeur exacte de :

    a) \(A = \sin^2 45^\circ + \cos^2 45^\circ\)

    b) \(B = 2 \sin 30^\circ \times \cos 60^\circ\)

    c) \(C = \frac{\tan 60^\circ}{\sin 60^\circ}\)

    Exercice 5

    Simplifier les expressions :

    a) \(D = (\sin x + \cos x)^2 - 1\)

    b) \(E = \frac{\sin^2 x}{1 - \sin^2 x}\)

    Exercice 6

    Sachant que \(x + y = 90^\circ\), simplifier :

    a) \(F = \sin x - \cos y\)

    b) \(G = \tan x \times \tan y\)

    c) \(H = \frac{\sin x}{\cos y}\)

    Partie 2 — Trigonométrie dans le triangle rectangle

    Exercice 7

    ABC est un triangle rectangle en A tel que \(AB = 5\) cm et \(AC = 12\) cm.

    1. Calculer \(BC\).
    2. Calculer \(\cos \widehat{ABC}\) et \(\sin \widehat{ABC}\).
    3. En déduire la mesure de l'angle \(\widehat{ABC}\) (arrondir au degré).

    Exercice 8

    DEF est un triangle rectangle en E tel que \(DE = 7\) cm et \(\widehat{D} = 30^\circ\).

    1. Calculer \(EF\) (arrondir au mm).
    2. Calculer \(DF\) (arrondir au mm).

    Exercice 9

    MNP est un triangle rectangle en M tel que \(MN = 4\) cm et \(NP = 9\) cm.

    1. Calculer la mesure de l'angle \(\widehat{N}\) (arrondir au degré).
    2. En déduire la mesure de l'angle \(\widehat{P}\).

    Exercice 10

    ABC est un triangle isocèle en A avec \(AB = AC = 10\) cm et \(\widehat{A} = 40^\circ\).

    1) Calculer la hauteur issue de A.

    2) En déduire la longueur \(BC\).

    Exercice 11

    Un mât de 12 m est maintenu par un câble tendu fixé au sol à 5 m du pied du mât.

    1. Calculer la longueur du câble (arrondir au cm).
    2. Calculer l'angle que fait le câble avec le sol (arrondir au degré).

    Exercice 12

    Une échelle de 6 m est posée contre un mur vertical. Le pied de l'échelle est à 2 m du mur.

    1. Calculer l'angle d'inclinaison de l'échelle par rapport au sol (arrondir au degré).
    2. Calculer la hauteur atteinte par l'échelle sur le mur (arrondir au cm).

    Exercice 13

    ABCD est un rectangle de largeur \(AB = 6\) cm et de longueur \(BC = 8\) cm.

    1) Calculer la diagonale \(AC\).

    2) Calculer la mesure de l'angle \(\widehat{ACB}\) (arrondir au degré).

    Exercice 14

    Un avion s'approche de la piste d'atterrissage. Il est à une altitude de 800 m et l'angle de descente est de \(3^\circ\).

    1) Faire un schéma.

    2) Calculer la distance horizontale qui le sépare encore de la piste (arrondir au mètre).

    Exercice 15

    ABC est un triangle rectangle en B. La bissectrice de l'angle \(\widehat{A}\) coupe le segment \([BC]\) en \(D\).

    On donne \(AB = 8\) cm et \(\widehat{A} = 60^\circ\).

    1. Calculer \(\widehat{BAC}\) (attention, c'est l'angle entier).
    2. Calculer \(AC\).
    3. Calculer l'angle \(\widehat{ADC}\).

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    Exercice 1 : Relations fondamentales

    a) Sachant que \( \cos \alpha = \frac{3}{5} \), calculer \( \sin \alpha \) :

    b) En déduire \( \tan \alpha \) :

    c) Sachant que \( \sin \beta = \frac{1}{2} \), calculer \( \cos \beta \) :

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    Exercice 2 : Valeurs remarquables

    a) \( \sin 30^\circ = \)

    b) \( \cos 60^\circ = \)

    c) \( \tan 45^\circ = \)

    d) \( \sin 45^\circ = \)

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    Exercice 3 : Calculs dans le triangle

    Dans un triangle \(ABC\) rectangle en \(A\), on donne \(AB = 6\) cm et \(\widehat{ABC} = 30^\circ\).

    1. Calculer \(AC\) (arrondir à 0.1) :

    2. Calculer \(BC\) (arrondir à 0.1) :

    3. Calculer l'angle \( \widehat{ACB} \) :

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    Exercice 4 : Simplification

    a) Simplifier \( \sin^2 x + \cos^2 x \) :

    b) Simplifier \( \frac{\sin x}{\cos x} \) :

    c) Simplifier \( 1 + \tan^2 x \) :

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    Exercice 5 : Angles complémentaires

    Sachant que \( \alpha + \beta = 90^\circ \) :

    a) \( \sin \alpha = \cos ... \) :

    b) \( \cos \alpha = \sin ... \) :

    c) \( \tan \alpha \times \tan \beta = \)

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    Exercice 6 : Calcul d'angle

    Dans un triangle \(DEF\) rectangle en \(E\), on donne \(DE = 4\) cm et \(DF = 7\) cm.

    1. Calculer \( \cos \widehat{D} \) (arrondir à 0.01) :

    2. En déduire l'angle \( \widehat{D} \) en degrés (arrondir à l'unité) :

    3. Calculer l'angle \( \widehat{F} \) :

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    Exercice 7 : Expression littérale

    Simplifier l'expression \( E = (\sin x + \cos x)^2 + (\sin x - \cos x)^2 \).

    Valeur simplifiée de E :

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    Exercice 8 : Le mât

    Un mât de 10 m est maintenu par un câble fixé au sol à 6 m du pied du mât.

    1. Calculer la longueur du câble (arrondir à 0.1) :

    2. Calculer l'angle du câble avec le sol (arrondir à l'unité) :

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    Exercice 9 : Calcul de sinus et cosinus

    Soit \(\alpha\) un angle aigu tel que \( \tan \alpha = 3 \).

    1. Calculer \( \cos^2 \alpha \) (sous forme de fraction) :

    2. En déduire \( \cos \alpha \) :

    3. Calculer \( \sin \alpha \) :

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    Exercice 10 : Le rectangle

    Un rectangle \(ABCD\) a pour largeur \(AB = 5\) cm et pour longueur \(BC = 12\) cm.

    1. Calculer la diagonale \(AC\) :

    2. Calculer \( \sin \widehat{ACB} \) (fraction) :

    3. Calculer l'angle \( \widehat{ACB} \) (arrondir à l'unité) :

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    Exercice 11 : Calcul de tan

    Dans un triangle rectangle, on a \( \sin \alpha = \frac{5}{13} \) et \( \cos \alpha = \frac{12}{13} \).

    1. Calculer \( \tan \alpha \) :

    2. Vérifier si \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \) (Oui/Non) :

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    Exercice 12 : Les angles remarquables

    a) \( \tan 30^\circ = \)

    b) \( \cos 45^\circ = \)

    c) \( \sin 60^\circ = \)

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    Exercice 13 : Le triangle isocèle

    Un triangle \(ABC\) est isocèle en \(A\) avec \(AB = AC = 8\) cm et \(BC = 6\) cm. Soit \(H\) le milieu de \([BC]\).

    1. Calculer \(AH\) (hauteur, arrondir à 0.1) :

    2. Calculer \( \cos \widehat{B} \) (arrondir à 0.01) :

    3. Calculer l'angle \( \widehat{B} \) (arrondir à l'unité) :

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    Exercice 14 : Les identités

    Montrer que les expressions suivantes sont égales à 1.

    a) \( \sin^4 x + 2\sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x = \)

    b) \( (\cos x + \sin x)^2 - 2\sin x \cos x = \)

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    Exercice 15 : L'échelle

    Une échelle de 5 m est posée contre un mur. Le pied de l'échelle est à 2 m du mur.

    1. Calculer la hauteur atteinte sur le mur (arrondir à 0.1) :

    2. Calculer l'angle que fait l'échelle avec le sol (arrondir à l'unité) :

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    Exercice 1

    Soit \(ABC\) un triangle rectangle en \(A\) tel que : \(AB = 4\) et \(\sin \widehat{C} = 0,8\).

    1) Calculer \(BC\) :

    2) Calculer \(AC\) :

    3) Calculer \(A = \cos 60^\circ \times \sin 30^\circ - \tan^2 45^\circ + \sin^2 60^\circ\) :

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    Exercice 2

    Soit \(EFG\) un triangle rectangle en \(E\) tel que \(EF = 4\) et \(EG = 3\).

    1) Calculer \(FG\) :

    2) Calculer \(\sin \widehat{F}\) :

    3) Calculer \(X = \sin^2 45^\circ - \sqrt{2}\cos 45^\circ + \sin^2 45^\circ\) :

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    Exercice 3

    Soit \(ABC\) un triangle rectangle en \(A\) tel que : \(AB = \sqrt{5}\), \(BC = 2\sqrt{5}\) et \(AC = \sqrt{15}\).

    1) Calculer \(\cos \widehat{ACB}\) (fraction) :

    2) En déduire l'angle \(\widehat{ACB}\) en degrés :

    3) Calculer \(\cos \widehat{ABC}\) (fraction) :

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    Exercice 4

    Soit \(ABC\) un triangle tel que : \(AB = 3\sqrt{3}\), \(AC = 3\sqrt{6}\) et \(BC = 9\).

    1) Montrer que \(ABC\) est rectangle en \(A\). Quelle est la valeur de \(AB^2 + AC^2\) ?

    2) Calculer \(\sin \widehat{ACB}\) (fraction) :

    3) Calculer \(AH\) (hauteur issue de A) :

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    Exercice 5

    1) \(\alpha\) est un angle aigu tel que : \(\sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{3}\).

    Calculer \(\cos \alpha\) :

    Calculer \(\tan \alpha\) :

    Calculer \(\sin(90^\circ - \alpha)\) :

    2) Montrer que : \(\frac{\cos^2 \alpha + 2\sin^2 \alpha - 1}{\sin^2 \alpha} = 1\). (Tapez 1 pour valider) :

    3) \(x\) est un angle aigu tel que \(\cos x = \frac{\sqrt{5}}{3}\). Montrer que \(\tan x = \frac{2\sqrt{5}}{5}\). (Tapez 1 pour valider) :

    4) Calculer les expressions suivantes :

    \(A = \sin^2 5^\circ + \tan^2 29^\circ + \sin^2 85^\circ - \frac{1}{\tan^2 61^\circ}\) :

    \(B = \frac{3}{2}\cos^2 60^\circ + \frac{1}{2}\sin^2 15^\circ + \frac{3}{2}\cos^2 30^\circ + \frac{1}{2}\sin^2 75^\circ\) :

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    Exercice 6

    Soit \(\alpha\) un angle aigu.

    1) Montrer que : \(\cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + \tan^2 \alpha}\). (Tapez 1 pour valider) :

    2) On suppose \(\tan \alpha = \sqrt{3}\).

    Calculer \(\cos \alpha\) :

    Calculer \(\sin \alpha\) :

    3) Sachant que \(\tan \alpha = \sqrt{15}\), calculer \(\cos \alpha\) :

    4) Montrer que : \(5\cos^2 15^\circ + \sin 35^\circ + 5\cos^2 75^\circ - \cos 55^\circ = 5\). (Tapez 5 pour valider) :

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