Trigonométrie
Cours complet de mathématiques pour le lycée (Tronc Commun / 1ère Bac).
1. Introduction
La trigonométrie est la branche des mathématiques qui étudie les relations entre les angles et les longueurs des côtés dans un triangle, puis s'étend à l'étude des fonctions périodiques.
Elle est utilisée dans de nombreux domaines : la navigation, l'astronomie, la physique (ondes, mouvements circulaires), et l'ingénierie.
2. Le Cercle Trigonométrique
Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1, centré à l'origine du repère orthonormé \((O, I, J)\).
Définition : On appelle radian la mesure de l'angle au centre qui intercepte un arc de longueur 1 sur le cercle trigonométrique.
La mesure complète d'un tour de cercle est de \(2\pi\) radians, ce qui correspond à \(360^\circ\).
\( \pi \text{ rad} = 180^\circ \quad \text{donc} \quad 2\pi \text{ rad} = 360^\circ \)
On repère un point \(M\) sur ce cercle par son angle \(\theta\) (en radians) mesuré dans le sens anti-horaire à partir de l'axe des abscisses.
3. Cosinus et Sinus d'un angle
Soit \(M\) un point du cercle trigonométrique associé à un angle \(\theta\).
- Le cosinus de \(\theta\), noté \(\cos(\theta)\), est l'abscisse du point \(M\).
- Le sinus de \(\theta\), noté \(\sin(\theta)\), est l'ordonnée du point \(M\).
\( M(\cos\theta, \sin\theta) \)
Propriété fondamentale :Pour tout réel
\(\theta\), on a :
\( \cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1 \)
4. La Tangente
La tangente d'un angle \(\theta\) est définie comme le rapport entre le sinus et le cosinus.
\( \tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} \)
Attention, cette formule n'est valable que si \(\cos(\theta) \neq 0\), c'est-à-dire si \(\theta \neq \frac{\pi}{2} + k\pi\) (avec \(k \in \mathbb{Z}\)).
6. Équations trigonométriques
Résoudre une équation trigonométrique consiste à trouver tous les angles qui vérifient l'égalité. Les solutions sont souvent données avec une périodicité.
Exemple : Résoudre \(\cos(x) = \frac{1}{2}\).
Les solutions sont \(x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi\) et \(x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi\), avec \(k \in \mathbb{Z}\).
7. Exercices corrigés
Voici un exercice type pour vérifier vos acquis.
Exercice : Simplifier l'expression \(A = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) + \cos(\pi + x)\).
👁 Voir la solution
1. On utilise les formules des angles associés :
- \(\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos(x)\)
- \(\cos(\pi + x) = -\cos(x)\)
2. On remplace dans \(A\) :
\(A = \cos(x) + (-\cos(x)) = 0\)
Conclusion : \(A = 0\).