Cours : Le Théorème de Thalès

1. Le Théorème de Thalès

Si \( A, M, B \) sont alignés, \( A, N, C \) sont alignés, et si les droites \( (MN) \) et \( (BC) \) sont parallèles, alors :

\( \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC} \)

Les bons réflexes :
• Toutes les longueurs doivent être dans la même unité.
• L'ordre des points est important : \( AM, AB, AN, AC \) partent tous de \( A \).
• Le parallélisme doit être justifié (le dessin ne suffit pas).

Exemple : Calculer \( AN \)

Sur la figure, \( (MN) \parallel (BC) \). \( AM = 3 \text{ cm} \), \( AB = 5 \text{ cm} \) et \( AC = 7,5 \text{ cm} \).

thales

D'après le théorème de Thalès : \( \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} \). Donc \( \frac{3}{5} = \frac{AN}{7,5} \).

On utilise le produit en croix : \( AN = \frac{3 \times 7,5}{5} = \) cm

2. La Réciproque du Théorème de Thalès

La réciproque sert à démontrer que deux droites sont parallèles.

1. Si \( A, M, B \) et \( A, N, C \) sont alignés dans le même ordre,
2. Et si les rapports sont égaux :

\( \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} \)

3. Alors, d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites sont parallèles :

\( (MN) \parallel (BC) \)

⚠️ Attention : Si les rapports sont différents, alors les droites ne sont pas parallèles.

Application : Les droites sont-elles parallèles ?

On sait que \( A, M, B \) et \( A, N, C \) sont alignés dans le même ordre.

On donne : \( AM = 4 \), \( AB = 6 \) et \( AN = 6 \), \( AC = 9 \).

1) Calculer le rapport \( \frac{AM}{AB} \) (sous forme de fraction simplifiée) :

2) Calculer le rapport \( \frac{AN}{AC} \) (sous forme de fraction simplifiée) :

3) Les droites \( (MN) \) et \( (BC) \) sont-elles parallèles ? (Écris "oui" ou "non") :

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