Cours - Tronc commun Sciences

📌 Application sur les intervalles

✏️ Question

On considère les intervalles suivants : \([1,4]\) ; \([-2,0[\) et \(]-3,2[\).

  1. Donner la longueur de chaque intervalle.
  2. Préciser le centre de chaque intervalle.
  3. Que représente chaque nombre : 1,5 ; 1 ; 2,5 respectivement pour les intervalles ?
✅ Corrigé
  • \([1,4]\) : longueur = \(3\), centre = \(2,5\)
  • \([-2,0[\) : longueur = \(2\), centre = \(-1\)
  • \(]-3,2[\) : longueur = \(5\), centre = \(-0,5\)

📖 Vocabulaire des intervalles

📌 Définitions

Soient \(a, b \in \mathbb{R}\) avec \(a < b\). Pour l'intervalle \([a, b]\) :

  • Extrémités : \(a\) et \(b\)
  • Distance : \(b - a\)
  • Longueur : \(b - a\)
  • Centre : \(x_0 = \frac{a + b}{2}\)
  • Rayon : \(r = \frac{b - a}{2}\)
⚠️ Remarques importantes
  • Les symboles \(-\infty\) et \(+\infty\) ne sont pas des nombres.
  • \(\mathbb{R}^* = \mathbb{R} \setminus \{0\}\)
  • \(\mathbb{R}^+ = [0, +\infty[\) ; \(\mathbb{R}^{+*} = ]0, +\infty[\)
  • \(\mathbb{R}^- = ]-\infty, 0]\) ; \(\mathbb{R}^{-*} = ]-\infty, 0[\)
  • \(]a, a[ = \emptyset\) (ensemble vide)

📐 B. Encadrement

📖 Définition

Réaliser un encadrement d'un nombre réel \(x\) c'est trouver deux réels \(a\) et \(b\) avec \(a < b\) tels que :

\[ a \leq x \leq b \quad \text{ou} \quad a < x \leq b \quad \text{ou} \quad a \leq x < b \]

Le nombre \(b - a\) est appelé l'amplitude de l'encadrement.

✏️ Exercice

1) Donner un encadrement de \(\sqrt{2}\) d'amplitude \(0,01\).

\[ 1,41 \leq \sqrt{2} \leq 1,42 \quad \text{amplitude} = 0,01 \]

2) Soit \(x \in ]\frac{1}{3}, 1[\).

  • Encadrement de \(x + 4\) : \(\frac{13}{3} < x + 4 < 5\)
  • Vérifier que \(\frac{x}{x+4} = 1 - \frac{4}{x+4}\)

🔗 III. Intersections et réunions d'intervalles

A. Intersection d'intervalles

📖 Définition

L'intersection de deux ensembles \(A\) et \(B\) est l'ensemble des éléments communs à \(A\) et \(B\), noté \(A \cap B\).

\[ A \cap B = \{x \mid x \in A \ \text{et}\ x \in B\} \]

📌 Exemple graphique

C1

\[ [1,5] \cap [3,7] = [3,5] \]
📌 Exemples
  • \([1,4] \cap [2,6] = [2,4]\)
  • \([-3,2] \cap [0,5] = [0,2]\)
  • \(]-\infty, 3] \cap [1, +\infty[ = [1,3]\)
  • \([1,4] \cap [5,7] = \emptyset\)

🔗 B. Réunion d'intervalles

📖 Définition

La réunion de deux ensembles \(A\) et \(B\) est l'ensemble des éléments qui appartiennent à \(A\) ou à \(B\), noté \(A \cup B\).

\[ A \cup B = \{x \mid x \in A \ \text{ou}\ x \in B\} \]
\[ [1,5] \cup [3,7] = [1,7] \]
📌 Exemples
C2
  • \([1,4] \cup [2,6] = [1,6]\)
  • \([-3,2] \cup [0,5] = [-3,5]\)
  • \(]-\infty, 3] \cup [1, +\infty[ = \mathbb{R}\)