R05: Intersection d'intervalles

📌 Définition

L'intersection de deux ensembles \(A\) et \(B\) est l'ensemble des éléments qui appartiennent à la fois à \(A\) et à \(B\).

\[ A \cap B = \{x \mid x \in A \ \text{et} \ x \in B\} \]

On note : \(x \in A \cap B \iff (x \in A \ \text{et} \ x \in B)\).

📌 Exemple avec des ensembles discrets

Soient :

\[ A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \quad \text{et} \quad B = \{-1, 2, 4, 6, 44, 50\} \]

\[ A \cap B = \{2, 4, 6\} \]

📌 Exemple 1 : Intersection non vide

📍 \(I = [-1, 3]\) et \(J = [1, 5]\)

Intervalle I (violet)

Intervalle J (marron)

Intersection I ∩ J (rouge)

\[ I \cap J = [-1, 3] \cap [1, 5] = [1, 3] \]

📌 Exemple 2 : Intersection avec une extrémité commune

📍 \(I = [-1, 3]\) et \(J = [3, 5]\)

Intervalle I (violet)

Intervalle J (marron)

Intersection I ∩ J (rouge)

\[ I \cap J = [-1, 3] \cap [3, 5] = \{3\} \]

⚠️ L'intersection est réduite au seul nombre 3.

📌 Exemple 3 : Intersection vide

📍 \(I = [-1, 2]\) et \(J = [3, 5]\)

Intervalle I (violet)

Intervalle J (marron)

Intersection I ∩ J (rouge)

\[ I \cap J = [-1, 2] \cap [3, 5] = \emptyset \]

✅ L'intersection est vide (pas de partie rouge visible).

⚠️ Remarque importante

Les intervalles sont décalés verticalement sur les représentations graphiques pour des raisons de clarté. En réalité, la représentation graphique des intervalles reste toujours des parties de l'axe gradué.