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Tronc commun Sciences BIOF – Exercices et résumé

📌 Résumé du cours

📌 Exercice 01 : Colinéarité et alignement

1) Étudier la colinéarité de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) dans les cas suivants :

a) \(\vec{u}(3; 7)\) ; \(\vec{v}(1; 2)\)

b) \(\vec{u}(\sqrt{3}; 1)\) ; \(\vec{v}\left(\dfrac{1}{2}; \sqrt{2}\right)\)

2) Étudier l'alignement des points \(A\), \(B\) et \(C\) dans les cas suivants :

a) \(A(-4; 2)\) ; \(B(5; 1)\) ; \(C(1; 3)\)

b) \(A(2; 3)\) ; \(B(3; 1)\) ; \(C(7; 4)\)

✅ Corrigé

1) a) \(\det(\vec{u}; \vec{v}) = 3 \times 2 - 1 \times 7 = 6 - 7 = -1 \neq 0\) → non colinéaires.

b) \(\det(\vec{u}; \vec{v}) = \sqrt{3} \times \sqrt{2} - \frac{1}{2} \times 1 = \sqrt{6} - \frac{1}{2} \neq 0\) → non colinéaires.

2) a) \(\overrightarrow{AB}(9; -1)\), \(\overrightarrow{AC}(5; 1)\). \(\det = 9 \times 1 - 5 \times (-1) = 9 + 5 = 14 \neq 0\) → non alignés.

b) \(\overrightarrow{AB}(1; -2)\), \(\overrightarrow{AC}(5; 1)\). \(\det = 1 \times 1 - 5 \times (-2) = 1 + 10 = 11 \neq 0\) → non alignés.

📌 Exercice 02 : Construction de droites

1) Construire la droite \((D)\) passant par \(A(0; 1)\) et dirigée par \(\vec{u}(1; 1)\).

2) Construire la droite \((\Delta)\) passant par \(B(1; 1)\) et de vecteur directeur \(\vec{v}(-1; 2)\).

3) Déterminer les vecteurs directeurs de l'axe des abscisses et de l'axe des ordonnées.

✅ Corrigé

1) La droite \((D)\) passe par \(A(0;1)\) et a pour pente \(m = \frac{1}{1} = 1\). Équation : \(y = x + 1\).

2) La droite \((\Delta)\) passe par \(B(1;1)\) et a pour vecteur directeur \((-1;2)\). Équation paramétrique : \(\begin{cases} x = 1 - t \\ y = 1 + 2t \end{cases}\).

3) Un vecteur directeur de l'axe des abscisses est \(\vec{i}(1;0)\). Un vecteur directeur de l'axe des ordonnées est \(\vec{j}(0;1)\).

📌 Exercice 03 : Représentation paramétrique

Déterminer une représentation paramétrique de la droite \((D)\) passant par \(A\) et dirigée par \(\vec{u}\) :

1) \(A(1; 2)\) ; \(\vec{u} = 3\vec{i} + 4\vec{j}\)

2) \(A(2; 3)\) ; \(\vec{u} = \vec{i} - 2\vec{j}\)

3) \(A(1; 0)\) ; \(\vec{u}(5; 7)\)

✅ Corrigé

1) \(\vec{u}(3;4)\) → \(\begin{cases} x = 1 + 3t \\ y = 2 + 4t \end{cases}\)

2) \(\vec{u}(1;-2)\) → \(\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 3 - 2t \end{cases}\)

3) \(\vec{u}(5;7)\) → \(\begin{cases} x = 1 + 5t \\ y = 0 + 7t \end{cases}\)

📌 Exercice 04 : Équation cartésienne (point + vecteur)

Déterminer une équation cartésienne de la droite \((D)\) passant par \(A\) et dirigée par \(\vec{u}\) :

1) \(A(-1; 2)\) ; \(\vec{u} = 3\vec{i} + 4\vec{j}\)

2) \(A(2; 3)\) ; \(\vec{u} = \vec{i} - 2\vec{j}\)

3) \(A(1; 0)\) ; \(\vec{u}(5; -7)\)

✅ Corrigé

1) \(\vec{u}(3;4) \Rightarrow \vec{u}(-b;a) \Rightarrow a=4, b=-3\). Équation : \(4x - 3y + c = 0\). Avec \(A(-1;2)\) : \(4(-1)-3(2)+c=0 \Rightarrow -4-6+c=0 \Rightarrow c=10\). Donc \(\boxed{4x - 3y + 10 = 0}\).

2) \(\vec{u}(1;-2) \Rightarrow a=-2, b=-1\). Équation : \(-2x - y + c = 0\). Avec \(A(2;3)\) : \(-4-3+c=0 \Rightarrow c=7\). Donc \(\boxed{-2x - y + 7 = 0}\) ou \(2x + y - 7 = 0\).

3) \(\vec{u}(5;-7) \Rightarrow a=-7, b=-5\). Équation : \(-7x - 5y + c = 0\). Avec \(A(1;0)\) : \(-7 + c = 0 \Rightarrow c=7\). Donc \(\boxed{-7x - 5y + 7 = 0}\) ou \(7x + 5y - 7 = 0\).

📌 Exercice 05 : Paramétrique → Cartésienne

Déterminer une équation cartésienne de la droite \((D)\) définie par sa représentation paramétrique :

1) \((D) : \begin{cases} x = 2 \\ y = 1 + t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})\)

2) \((D) : \begin{cases} x = 2k \\ y = \frac{5}{2} + 3k \end{cases} \quad (k \in \mathbb{R})\)

✅ Corrigé

1) \(x = 2\) est constant, donc la droite est verticale : \(\boxed{x = 2}\).

2) On a \(x = 2k \Rightarrow k = \frac{x}{2}\). Remplaçons dans \(y\) : \(y = \frac{5}{2} + 3 \times \frac{x}{2} = \frac{5}{2} + \frac{3x}{2}\). Multiplions par 2 : \(2y = 5 + 3x\). Donc \(\boxed{3x - 2y + 5 = 0}\).

📌 Exercice 06 : Cartésienne → Paramétrique

Déterminer une représentation paramétrique de la droite \((D)\) définie par son équation cartésienne :

1) \((D) : 3x - 2y + 2 = 0\)

2) \((D) : 2x + 3y - 2 = 0\)

3) \((D) : x + 2y = 0\)

4) \((D) : 7x - 3y + 6 = 0\)

✅ Corrigé

1) Vecteur directeur \(\vec{u}(2;3)\). Cherchons un point : pour \(x=0\), \(-2y+2=0 \Rightarrow y=1\), donc \(A(0;1)\). \(\begin{cases} x = 0 + 2t \\ y = 1 + 3t \end{cases}\)

2) \(\vec{u}(-3;2)\). Point : pour \(x=0\), \(3y-2=0 \Rightarrow y=\frac{2}{3}\). \(\begin{cases} x = -3t \\ y = \frac{2}{3} + 2t \end{cases}\)

3) \(\vec{u}(-2;1)\). Point : \(O(0;0)\). \(\begin{cases} x = -2t \\ y = t \end{cases}\)

4) \(\vec{u}(3;7)\). Point : pour \(x=0\), \(-3y+6=0 \Rightarrow y=2\). \(\begin{cases} x = 3t \\ y = 2 + 7t \end{cases}\)