TR: Calcul trigonométrique

I) Unités de mesure des angles

1) Activité

🔹 Activité

Soit (C) un cercle de centre O et de rayon R. Soient I et M deux points du cercle (C) et α est la mesure de l'angle IOM (0° ≤ α ≤ 360°).

La longueur de l'arc IM est :

\( l = \frac{\alpha \times 2\pi R}{360} = \frac{\alpha \pi R}{180} \)

2) Définition du radian

Définition

Soit (C) un cercle de centre O et de rayon 1. Soient I et M deux points de (C).

La mesure de l'angle géométrique IOM en radians est la longueur de l'arc IM.

3) Proportionnalité des unités

Relation fondamentale

Soient α, β et γ les mesures respectives d'un angle en degrés, radians et grades :

\( \frac{\alpha}{180} = \frac{\beta}{\pi} = \frac{\gamma}{200} \)

Tableau de correspondance

II) Cercle trigonométrique - Abscisses curvilignes

Définition

Le plan est muni d'un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\). On appelle cercle trigonométrique le cercle de centre O et de rayon 1.

Le sens direct (ou sens positif) est le sens inverse des aiguilles d'une montre.
Le sens indirect (ou sens négatif) est le sens des aiguilles d'une montre.

Abscisse curviligne

Définition

Soit x un nombre réel. On appelle abscisse curviligne du point M sur le cercle trigonométrique la mesure en radians de la longueur de l'arc IM.

Si x ≥ 0 : déplacement dans le sens positif.Si x < 0 : déplacement dans le sens négatif.

Mesure principale

Définition

Parmi toutes les mesures d'un angle orienté, il existe une unique mesure appartenant à l'intervalle \(]-\pi; \pi]\). Cette mesure est appelée mesure principale de l'angle.

III) Angle orienté de deux demi-droites

Définition

Soient \([Ox)\) et \([Oy)\) deux demi-droites de même origine O. Le couple \(([Ox); [Oy))\) détermine un angle orienté noté \((\widehat{O_x, O_y})\).

Relation de Chasles

Propriété

Soient \([Ox), [Oy), [Oz)\) trois demi-droites de même origine O. On a :

\( (\widehat{O_x, O_y}) + (\widehat{O_y, O_z}) = (\widehat{O_x, O_z}) + k(2\pi), \quad k \in \mathbb{Z} \)

IV) Rapports trigonométriques d'un nombre réel

Cosinus et sinus

Soit (C) le cercle trigonométrique d'origine I. Soit x un nombre réel et M le point de (C) d'abscisse curviligne x.

L'abscisse du point M est appelée cosinus de x, notée cos x.
L'ordonnée du point M est appelée sinus de x, notée sin x.

Propriétés fondamentales

\( \forall x \in \mathbb{R}, \quad -1 \leq \cos x \leq 1, \quad -1 \leq \sin x \leq 1 \) \( \cos^2 x + \sin^2 x = 1 \)

Angles remarquables

Formules de réflexion

\(\cos(-x) = \cos x\)

\(\sin(-x) = -\sin x\)

\(\cos(\pi - x) = -\cos x\)

\(\sin(\pi - x) = \sin x\)

\(\cos(\pi + x) = -\cos x\)

\(\sin(\pi + x) = -\sin x\)

\(\cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin x\)

\(\sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos x\)

\(\cos(\frac{\pi}{2} + x) = -\sin x\)

\(\sin(\frac{\pi}{2} + x) = \cos x\)

Fonction tangente

Définition

Pour tout \(x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi\) (\(k \in \mathbb{Z}\)), on définit :

\( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \)

V) Équations trigonométriques

Résolutions dans \(\mathbb{R}\)

\( \cos x = \cos a \iff x \equiv a \;[2\pi] \quad \text{ou} \quad x \equiv -a \;[2\pi] \) \( \sin x = \sin a \iff x \equiv a \;[2\pi] \quad \text{ou} \quad x \equiv \pi - a \;[2\pi] \) \( \tan x = \tan a \iff x \equiv a \;[\pi] \)

Cas particuliers :

\( \cos x = 0 \iff x = \frac{\pi}{2} + k\pi \) \( \sin x = 0 \iff x = k\pi \)

Exercice 12

1) Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'équation : \(\sin x = \frac{1}{2}\)

2) Résoudre dans l'intervalle \([0; 4\pi]\) l'équation : \(\sin x = \frac{1}{2}\)

✅ Corrigé

1) Dans \(\mathbb{R}\) :
\(\sin x = \sin(\frac{\pi}{6})\)
\(\iff x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi\) ou \(x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi\) (k ∈ ℤ)

2) Dans \([0; 4\pi]\) :
Les solutions sont : \(\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{13\pi}{6}, \frac{17\pi}{6}\)

Inéquations trigonométriques

Méthode

Pour résoudre une inéquation trigonométrique, on utilise le cercle trigonométrique pour déterminer les intervalles des abscisses curvilignes correspondant à l'inégalité.