Concours Médecine 2023 · Correction intégrale

QCM 01 nombres complexes

z = \sqrt{5} e^{- π / 8}

A : z = \frac{\sqrt{10} + 5 \sqrt{2}}{2} - i \frac{\sqrt{10} - 5 \sqrt{2}}{2}

B : z = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - i \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}

C : z = \frac{\sqrt{10} + 5 \sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{10} - 5 \sqrt{2}}{2}

D : z = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}

✧ Correction

1ère méthode : - π / 2 < - π / 8 < 0 \Rightarrow Re (z) > 0 et Im (z) < 0 donc on élimine C et D.

On a aussi | \cos (- π / 8) | > | \sin (- π / 8) | donc on élimine E.

Choix A : | z | = \sqrt{{(\frac{\sqrt{10 + 5 \sqrt{2}}}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{10 - 5 \sqrt{2}}}{2})}^{2}} = \sqrt{\frac{20}{4}} = \sqrt{5}

Choix B : | z | = \sqrt{{(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})}^{2}} = \sqrt{1} = 1

Donc la réponse juste est A .

2ème méthode : \cos (π / 8) = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} et \sin (π / 8) = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}

z = \sqrt{5} (\cos (π / 8) - i \sin (π / 8)) = \frac{\sqrt{10} + 5 \sqrt{2}}{2} - i \frac{\sqrt{10} - 5 \sqrt{2}}{2}

✅ Réponse A

QCM 02 limite de suite

Pour tout n \geq 2, on pose : U_{n} = (1 - \frac{1}{2^{2}}) \times (1 - \frac{1}{3^{2}}) \times ... \times (1 - \frac{1}{n^{2}})

A : 1

B : 0

C : + \infty

D : \frac{1}{2}

E : la limite n'existe pas

✧ Correction

Il faut remarquer que 1 - \frac{1}{k^{2}} = \frac{k^{2} - 1}{k^{2}} = \frac{(k - 1) (k + 1)}{k^{2}}

U_{n} = \frac{1 \times 3}{2^{2}} \times \frac{2 \times 4}{3^{2}} \times \frac{3 \times 5}{4^{2}} \times ... \times \frac{(n - 1) (n + 1)}{n^{2}} = \frac{n + 1}{2 n}

\lim_{n \to + \infty} U_{n} = \lim_{n \to + \infty} \frac{n + 1}{2 n} = \frac{1}{2}

✅ Réponse D

QCM 03 limite de suite

Pour tout n \geq 1, on pose : U_{n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + ... + \frac{1}{2^{n}} et \ln (V_{n}) = U_{n} \ln (2)

A : \lim_{} U_{n} = 1 et \lim_{} V_{n} = \ln (2)

B : \lim_{} U_{n} = \frac{1}{2} et \lim_{} V_{n} = \ln (2)

C : \lim_{} U_{n} = 2 et \lim_{} V_{n} = 1

D : \lim_{} U_{n} = \frac{1}{2} et \lim_{} V_{n} = 2

E : \lim_{} U_{n} = 1 et \lim_{} V_{n} = 2

✧ Correction

On reconnaît les n premiers termes d'une suite géométrique de raison \frac{1}{2} et de premier terme 1.

U_{n} = \frac{1}{2} \times \frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{n}}{1 - \frac{1}{2}} = 1 - {(\frac{1}{2})}^{n}

Or \lim_{n \to + \infty} {(\frac{1}{2})}^{n} = 0 donc \lim_{n \to + \infty} U_{n} = 1 donc on élimine B, C et D.

\ln (V_{n}) = U_{n} \ln (2) \Rightarrow V_{n} = e^{U_{n} \ln (2)}

Par continuité de la fonction exp en \ln (2) : \lim_{n \to + \infty} V_{n} = e^{\ln (2)} = 2

✅ Réponse E

QCM 04 suite produit

U_{n} = (1 - \frac{1}{2^{2}}) \times (1 - \frac{1}{3^{2}}) \times ... \times (1 - \frac{1}{n^{2}})

A : 1

B : 0

C : + \infty

D : \frac{1}{2}

E : la limite n'existe pas

✧ Correction

Il faut remarquer que 1 - \frac{1}{k^{2}} = \frac{k^{2} - 1}{k^{2}} = \frac{(k - 1) (k + 1)}{k^{2}}

U_{n} = \frac{1 \times 3}{2^{2}} \times \frac{2 \times 4}{3^{2}} \times \frac{3 \times 5}{4^{2}} \times ... \times \frac{(n - 1) (n + 1)}{n^{2}} = \frac{n + 1}{2 n}

\lim_{n \to + \infty} U_{n} = \lim_{n \to + \infty} \frac{n + 1}{2 n} = \frac{1}{2}

✅ Réponse D

QCM 05 limite à droite

f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x + 2 \sqrt{x}}

A : + \infty

B : 0

C : 1

D : 1

E : \frac{1}{2}

✧ Correction

\lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sqrt{x}}{x + 2 \sqrt{x}} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} (\sqrt{x} + 2)} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\sqrt{x} + 2} = \frac{1}{2}

✅ La limite vaut 1/2 (E)

QCM 06 limite exponentielle

g (x) = \frac{(2 x)^{x}}{x^{2 x}}

A : + \infty

B : 1

C : 2

D : 0

E : la limite n'existe pas

✧ Correction

g (x) = \frac{(2 x)^{x}}{x^{2 x}} = {(\frac{2 x}{x^{2}})}^{x} = {(\frac{2}{x})}^{x} = e^{x (\ln (2) - \ln (x))}

On a \lim_{x \to + \infty} x (\ln (2) - \ln (x)) = - \infty donc \lim_{x \to + \infty} e^{x (\ln (2) - \ln (x))} = 0

✅ Réponse D

QCM 07 tangente

f (1) = 3 et f^{'} (1) = - 3

A : y = 3 x - 2

B : y = 3 x - 6

C : y = - 3 x + 6

D : y = 3 x

E : y = - 3 x + 2

✧ Correction

L'équation de la tangente en A(1;3) est y = f^{'} (1) (x - 1) + f (1)

y = - 3 (x - 1) + 3 = - 3 x + 3 + 3 = - 3 x + 6

✅ Réponse C

QCM 08 domaine de composition

f (x) = \ln (x - 1) et g (x) = \sqrt{x + 1}

A : [- 1, + \infty [

B :] 1, + \infty [

C : [1 + \frac{1}{e}, + \infty [

D :] e, + \infty [

E :] - e, + \infty [

✧ Correction

x \in D_{g \circ f} ⇨ x \in D_{f} et f (x) \in D_{g}

⇨ x \in] 1, + \infty [et f (x) \in [- 1, + \infty [

⇨ x \in] 1, + \infty [et \ln (x - 1) \geq - 1

⇨ x \in] 1, + \infty [et x - 1 \geq e^{- 1} ⇨ x \geq 1 + \frac{1}{e}

✅ Réponse C

QCM 09 intégrale trigo

\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\sin (x) \tan (x)} dx

A : \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}

B : 2 - \sqrt{2}

C : \sqrt{2} - 2

D : \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2}

E : 1 - \sqrt{2}

✧ Correction

\frac{1}{\sin (x) \tan (x)} = \frac{1}{\sin (x) \times \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = \frac{\cos (x)}{\sin^{2}}

\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{4}} \frac{\cos (x)}{\sin^{2}} dx = {[- \frac{1}{\sin (x)}]}_{\frac{π}{6} \frac{π}{4}} = - \sqrt{2} + 2 = 2 - \sqrt{2}

✅ Réponse B

QCM 10 intégrale logarithme

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} dx

A : 0

B : \ln (2) + 1

C : \ln (2)

D : 1

E : - \ln (2)

✧ Correction

\sin (2 x) = 2 \sin (x) \cos (x) et (1 + \sin^{2} (x))^{'} = 2 \sin (x) \cos (x)

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{(1 + \sin^{2} (x))^{'}}{1 + \sin^{2} (x)} dx = {[\ln (1 + \sin^{2} (x))]}_{0 \frac{π}{2}}

= \ln (2) - \ln (1) = \ln (2)

✅ Réponse C

QCM 11 géométrie dans l'espace

(P) : x - y - z + 2 = 0, (P^{'}) : x + z - 2 = 0, (Δ) : {\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 + 2 t \\ z = 1 - t \end{cases}

A : (Δ) \subset (P)

B : (Δ) ⊥ (P)

C : (Δ) \cap (P) = \emptyset

D : (Δ) \cap (P^{'}) = \emptyset

E : (Δ) ⊥ (P^{'})

✧ Correction

\vec{n} (1, - 1, - 1) normal à (P) ; \vec{n}' (1, 0, 1) normal à (P') ; \vec{u} (1, 2, - 1) directeur de (Δ)

A (1, 2, 1) \in (Δ); 1 - 2 - 1 + 2 = 0 donc A \in (P)

\vec{n} \cdot \vec{u} = 1 - 2 + 1 = 0 donc (Δ) est parallèle à (P).

Comme A \in (P) et (Δ) parallèle à (P), on a (Δ) \subset (P)

✅ Réponse A

QCM 12 dérivabilité en 0

f (x) = x + x^{2} \sin (\frac{1}{x}) si x \neq 0 et f (0) = 0

A : f est dérivable en 0

B : f^{'} (0) = 0

C : f^{'} (0) = 1

D : Pour tout x \neq 0, f^{'} (x) = 1 + 2 x \sin (\frac{1}{x}) + \cos (\frac{1}{x})

E : f est dérivable en 0 et f^{'} (0) = 2

✧ Correction

\frac{f (x) - f (0)}{x - 0} = \frac{x + x^{2} \sin (\frac{1}{x})}{x} = 1 + x \sin (\frac{1}{x})

On a | \sin (\frac{1}{x}) | \leq 1 donc | x \sin (\frac{1}{x}) | \leq | x |

Or \lim_{x \to 0} | x | = 0 donc \lim_{x \to 0} x \sin (\frac{1}{x}) = 0

\lim_{x \to 0} (1 + x \sin (\frac{1}{x})) = 1 donc f^{'} (0) = 1

✅ Réponse C

QCM 13 probabilités

Urne : 5 bleues, 4 blanches, 3 noires. Tirage de 3 boules, répété

n

fois avec remise.

A : \frac{8 \times 3^{n}}{11^{n}}

B : \frac{8 n \times 3^{n}}{11^{n}}

C : \frac{8 n \times 3^{n - 1}}{11^{n}}

D : \frac{8 n \times 3^{n - 1}}{11^{n}}

E : \frac{8 \times 3^{n}}{11^{n - 1}}

✧ Correction

La probabilité d'obtenir 3 boules de couleurs deux à deux distinctes :

p (A) = \frac{C_{5}^{1} \times C_{4}^{1} \times C_{3}^{1}}{C_{12}^{3}} = \frac{5 \times 4 \times 3}{12 \times 11 \times 10} = \frac{3}{11}

Probabilité d'obtenir n - 1 succès :

C_{n}^{n - 1} {(\frac{3}{11})}^{n - 1} {(\frac{8}{11})}^{1} = n \times \frac{3^{n - 1}}{11^{n - 1}} \times \frac{8}{11} = \frac{8 n \times 3^{n - 1}}{11^{n}}

✅ Réponse C

QCM 14 probabilités (suite)

Même énoncé que QCM 13 mais avec n \geq 5

A : \frac{8 \times 3^{n}}{11^{n}}

B : \frac{8 n \times 3^{n}}{11^{n}}

C : \frac{8 n \times 3^{n - 1}}{11^{n}}

D : \frac{8 n \times 3^{n - 1}}{11^{n}}

E : \frac{8 \times 3^{n}}{11^{n - 1}}

✧ Correction

Même calcul que QCM 13 : p (A) = \frac{3}{11}

Probabilité d'obtenir n - 1 succès : \frac{8 n \times 3^{n - 1}}{11^{n}}

✅ Réponse C