FMP Oujda 2019/2020 · Corrigé

Faculté de Médecine et Pharmacie · Oujda · QCM 01 à 10

QCM 01 géométrie dans l'espace

G (1, 2, - 1); (Δ) : x = y - 1 = z + 1; (P) : 2 x - y + z - 1 = 0

A : (Δ) \subset (P)

B : d (G, (P)) = 3

C : (Δ) ⊥ (P)

D : (Δ) et (P) parallèles

E : d (G, (Δ)) = \sqrt{\frac{2}{3}}

✧ Correction

Vecteur normal à (P) : \vec{n} (2, - 1, 1)

(Δ) : {\begin{matrix} x = t \\ y = 1 + t \\ z = - 1 + t \end{matrix}; \vec{u} (1, 1, 1)

\vec{n} \cdot \vec{u} = 2 - 1 + 1 = 2 \neq 0 donc ni perpendiculaire ni parallèle

d (G, (P)) = \frac{| 2 \times 1 - 2 + (- 1) - 1 |}{\sqrt{2^{2} + (^{- 1)^{2} + 1^{2}}}} = \frac{| - 2 |}{\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}} \neq 3

Distance de G à (Δ) : d = \frac{| \vec{AG} \land \vec{u} |}{| \vec{u} |} = \sqrt{\frac{2}{3}}

✅ Réponses Aucune (la bonne est E : d(G,Δ) = √(2/3))

QCM 02 suite récurrente

u_{1} = 1; \forall n \in ℕ^{*} : u_{n + 1} = \frac{2}{n} u_{n}

A : suite géométrique de raison \frac{2}{n}

B : suite croissante

C : suite minorée par \frac{1}{4}

D : \forall n \in ℕ^{*} : u_{n} = \frac{2^{n - 1}}{(n - 1)!}

E : Les propositions précédentes sont fausses

✧ Correction

u_{2} = \frac{2}{1} \times 1 = 2; u_{3} = \frac{2}{2} \times 2 = 2; u_{4} = \frac{2}{3} \times 2 = \frac{4}{3}

Par récurrence : u_{n} = \frac{2^{n - 1}}{(n - 1)!} donc D est vraie

✅ Réponse D

QCM 03 suite arithmétique

S = 327 + 338 + 349 + ... + 767

A : S est pair

B : S = 22427

C : S = 22417

D : S > 22447

E : S < 22426

✧ Correction

Suite arithmétique de raison 11 : u n = 327 + 11 (n - 1)

767 = 327 + 11 (N - 1) \Rightarrow N = \frac{440}{11} + 1 = 40 + 1 = 41

S = N \times \frac{u 1 + u N}{2} = 41 \times \frac{327 + 767}{2} = 41 \times 547 = 22427

✅ Réponse B

QCM 04 nombre complexe

z = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} - i \frac{\sqrt{2}}{2}

A : z^{2} = 1 + i

B : | z | = 2 \cos (\frac{5 π}{8})

C : z^{8} = - (2 \cos (\frac{5 π}{8}))^{8}

D : z^{8} = (2 \cos (\frac{5 π}{8}))^{8} i

E : \arg (z) \equiv \frac{3 π}{4} [2 π]

✧ Correction

z = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} - i \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 \times \frac{2 - \sqrt{2}}{4} - i \frac{\sqrt{2}}{2}

| z | = \sqrt{(1 - \frac{\sqrt{2}}{2})^{2} + \frac{1}{2}} = \sqrt{2 - \sqrt{2}} = 2 \cos (\frac{5 π}{8})

\arg (z) = - \frac{3 π}{8} donc z^{8} = (2 \cos (\frac{5 π}{8}))^{8} e^{- 3 i π} = - (2 \cos (\frac{5 π}{8}))^{8}

✅ Réponse C

QCM 05 racines de l'unité

u = \cos (\frac{2 π}{7}) + i \sin (\frac{2 π}{7})

A : 1 + u = 2 \bar{u}

B : \sum_{k = 0}^{6} u^{k} = - 1

C : \sum_{k = 0}^{6} u^{k} = 2

D : \frac{1 - u}{1 + u} \in ℝ

E : Les propositions précédentes sont fausses

✧ Correction

u)^{7} = 1 et u \neq 1 donc \frac{1 - u^{7}}{1 - u} = 0

\Rightarrow 1 + u + u^{2} + u^{3} + u^{4} + u^{5} + u^{6} = 0

Donc 1 + u + ... + u^{6} = 0 \neq - 1

Réponse D : \frac{1 - u}{1 + u} est réel car | u | = 1

✅ Réponse D

QCM 06 probabilités

Urne : 3 blanches, 3 noires, 3 rouges. Tirage successif avec remise de 4 boules.

A : \frac{4}{9}

B : \frac{1}{27}

C : \frac{1}{81}

D : \frac{4}{27}

E : Les suggestions précédentes sont fausses

✧ Correction

Nombre total de tirages : 3^{4} = 81

Nombre de répartitions (2+1+1) : 3 choix pour la couleur double

Nombre de tirages : 3 \times \frac{4!}{2! \times 1! \times 1!} = 3 \times 12 = 36

p = \frac{36}{81} = \frac{4}{9}

✅ Réponse A

QCM 07 équation différentielle

y^{″} - 6 y^{'} + 9 y = 0; y (0) = 3; y^{'} (0) = 10

A : y (x) = e^{x} (2 x + 3) + 5 x

B : y (x) = e^{x} (x + 3) + x

C : y (x) = e^{x} (3 - x) + 2 x

D : y (x) = e^{x} (x + 10) - 7

E : y (x) = e^{x} (x + 3)

✧ Correction

Équation caractéristique : r^{2} - 6 r + 9 = 0 \Rightarrow (r - 3)^{2} = 0 \Rightarrow r = 3

y (x) = (a x + b) e^{3 x}

y (0) = b = 3; y^{'} (0) = a + 3 b = a + 9 = 10 \Rightarrow a = 1

\Rightarrow y (x) = (x + 3) e^{3 x}

✅ Réponse Aucune (la bonne est y=(x+3)e^(3x))

QCM 08 intégrales

I = \int_{\frac{1}{2}}^{1} (2 x - 1)^{4} dx; J = \int_{1}^{e^{2}} \frac{2}{x (2 + \ln x)^{3}} dx; K = \int_{0}^{π} \cos x \sin x \cos (2 x) dx

A : I = 1

B : J = \frac{7}{36}

C : K = 0

D : K = \frac{1}{2}

E : Les suggestions précédentes sont fausses

✧ Correction

I = \frac{1}{2} \int_{\frac{1}{2}}^{1} (2 x - 1)^{4} \times 2 dx = \frac{1}{10} {[(2 x - 1)^{5}]}_{\frac{1}{2} 1} = \frac{1}{10}

J : u = 2 + \ln x; u^{'} = \frac{1}{x}; J = 2 \int_{2}^{4} \frac{1}{u^{3}} du = {[- \frac{1}{u^{2}}]}_{24} = - \frac{1}{16} + \frac{1}{4} = \frac{3}{16}

K = \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \sin (2 x) \cos (2 x) dx = \frac{1}{4} \int_{0}^{π} \sin (4 x) dx = 0

✅ Réponse C (K=0)

QCM 09 domaine et variations

f (x) = \sqrt{(1 - x) (1 - e^{x})}

A : D_{f} =] - \infty, 0]

B : D_{f} = ℝ

C : f croissante sur] - \infty, 0 [

D : f décroissante sur] - \infty, 0 [

E : f dérivable en 1 à droite

✧ Correction

(1 - x) (1 - e^{x}) \geq 0

1 - e^{x} \geq 0 pour x \leq 0 et 1 - x \geq 0 pour x \leq 1

\Rightarrow D_{f} =] - \infty, 0]

✅ Réponse A

QCM 10 asymptote et tangente

f (x) = \frac{1 - e^{x}}{1 - \ln x}

A : branche parabolique direction Oy en + \infty

B : f positive sur D_{f}

C : pente de la tangente en 1 est 1

D : tangente en 1 parallèle à l'axe des abscisses

E : Les suggestions précédentes sont fausses

✧ Correction

D_{f} =] 0, 1 [\cup] 1, e [\cup] e, + \infty [

\lim_{x \to + \infty} \frac{f}{(} = - \infty donc branche parabolique direction Oy

✅ Réponse A