FMP Oujda 2017/2018 · Corrigé

Faculté de Médecine et Pharmacie · Oujda · QCM 01 à 10

QCM 01 somme trigonométrique

A = 1 + \cos (\frac{π}{5}) + \cos (\frac{2 π}{5}) + ... + \cos (\frac{9 π}{5})

B = \sin (\frac{π}{5}) + \sin (\frac{2 π}{5}) + ... + \sin (\frac{9 π}{5})

z = A + i B

A : z = 0

B : z = - 2 i

C : z = \frac{1}{2}

D : z = 2 i

E : Toutes les réponses sont fausses

✧ Correction

z = \sum_{k = 0}^{9} e^{\frac{i k π}{5}} = \frac{1 - e^{2 i π}}{1 - e^{\frac{i π}{5}}} = \frac{1 - 1}{1 - e^{\frac{i π}{5}}} = 0

✅ Réponse A

QCM 02 fonction logarithme

f (x) = 2 \ln (x^{2} - 2 x + 2)

A : D_{f} = ℝ^{+}

B : \lim_{} f (x) = 0

C : \lim_{} \frac{f (x)}{x} = 0

D : f^{″} (x) = \frac{x (4 - x)}{((x - 1)^{2} + 1)^{2}}

E : \lim_{} f (x) = \ln 2

✧ Correction

x^{2} - 2 x + 2 = (x - 1)^{2} + 1 > 0 donc D_{f} = ℝ

\lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty et \lim_{x \to + \infty} \frac{f (x)}{x} = 0

\lim_{x \to 0} f (x) = 2 \ln (2)

✅ Réponses C et E

QCM 03 intégrales

I = 5 \int_{0}^{1} e^{t} \cos (2 t) dt; J = 5 \int_{0}^{1} e^{t} \sin (2 t) dt

A : 2 J - I = e \cos (2) - 1

B : 2 I + J = 1 - e \sin (2)

C : J = 2 + e \sin (2) - 2 e \cos (2)

D : I = 2 + e \cos (2) - 2 \sin (2)

E : Toutes les propositions sont fausses

✧ Correction

I = \frac{5}{5} {[e^{t} (\cos 2 t + 2 \sin 2 t)]}_{01} = e^{1} (\cos 2 + 2 \sin 2) - 1

J = \frac{5}{5} {[e^{t} (\sin 2 t - 2 \cos 2 t)]}_{01} = e^{1} (\sin 2 - 2 \cos 2) + 2

2 J - I = e \cos 2 - 1 donc A est vraie

✅ Réponse A

QCM 04 continuité

Si une fonction

f

est définie en un point

a

, alors nécessairement:

A : f continue en a

B : \ln (f) définie en a

C : \frac{1}{f} définie en a

D : \frac{1}{e^{f}} définie en a

E : Toutes les propositions sont fausses

✧ Correction

Une fonction définie en a n'est pas nécessairement continue en a (ex: fonction de Heaviside).

ln(f) et 1/f nécessitent des conditions supplémentaires (f>0, f≠0).

\frac{1}{e^{f}} est toujours définie car e^{f} > 0

✅ Réponse D

QCM 05 plan complexe

z_{A} = 1; z_{B} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i

A : z_{C} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i

B : ABC équilatéral

C : | z_{B} - z_{A} | = \sqrt{2}

D : ABC isocèle

E : z_{C} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i

✧ Correction

C est le symétrique de B par rapport à l'axe des abscisses : z_{C} = \bar{z_{B}} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i

| z_{B} - z_{A} | = \sqrt{(- \frac{1}{2} - 1)^{2} + (\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{3}

AB = AC = \sqrt{3} et BC = \sqrt{3} donc ABC équilatéral

✅ Réponses A, B, D (A est fausse car zC = -1/2 - i√3/2)

QCM 06 équation différentielle

y^{″} - 2 y^{'} - 8 y = 0; y (0) = 1; y^{'} (0) = 2

A : y = e^{- 2 x} + 2 e^{4 x}

B : (e^{i θ})^{m} = \cos (θ^{m}) + i \sin (θ^{m})

C : (e^{i θ})^{m} = m (\cos θ + i \sin θ)

D : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 4 y + 2 z + 3 = 0 est une sphère

E : L'ensemble précédent est vide

✧ Correction

r^{2} - 2 r - 8 = 0 \Rightarrow (r - 4) (r + 2) = 0 \Rightarrow r = 4 ou r = - 2

y = a e^{4 x} + b e^{- 2 x}; a + b = 1; 4 a - 2 b = 2

\Rightarrow a = \frac{2}{3}; b = \frac{1}{3} donc y = \frac{2}{3} e^{4 x} + \frac{1}{3} e^{- 2 x}

✅ Réponse Aucune (la bonne est y = (2/3)e^(4x) + (1/3)e^(-2x))

QCM 07 fonction f_n

f_{n} (x) = n x e^{- n x}; x \geq 0

A : \lim_{} f_{n} (x) = + \infty

B : \lim_{} f_{n} (x) = - \infty

C : \lim_{} f_{n} (x) = n

D : {f_{n}}^{'} (x) = n e^{- n x}

E : Toutes les propositions sont fausses

✧ Correction

\lim_{x \to + \infty} n x e^{- n x} = 0 (croissance comparée)

f_{n}^{'} (x) = n e^{- n x} - n^{2} x e^{- n x} = n e^{- n x} (1 - n x)

✅ Réponse E (toutes sont fausses)

QCM 08 maximum de f_n

f_{n} (x) = n x e^{- n x}

A : asymptote y = 1

B : asymptote y = e

C : max en (\frac{1}{e}, \frac{1}{n})

D : max en (\frac{1}{n}, \frac{1}{e})

E : max en (\frac{1}{e}, - \frac{1}{n})

✧ Correction

f_{n}^{'} (x) = n e^{- n x} (1 - n x) = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{n}

f_{n} (\frac{1}{n}) = n \times \frac{1}{n} \times e^{- 1} = \frac{1}{e}

✅ Réponse D

QCM 09 intersection C1 et C2

f_{1} (x) = x e^{- x}; f_{2} (x) = 2 x e^{- 2 x}

A : se coupent en p = e^{2} et q = \ln 4

B : C1 au-dessus de C2 sur [1;2]

C : ne se coupent pas

D : C1 en dessous de C2 sur [0;1]

E : se coupent en p = e^{2} et q = e

✧ Correction

x e^{- x} = 2 x e^{- 2 x} \Rightarrow e^{- x} = 2 e^{- 2 x} \Rightarrow e^{x} = 2 \Rightarrow x = \ln 2

Un seul point d'intersection : x = ln 2

✅ Réponse Aucune (les propositions sont toutes fausses)

QCM 10 aire sous C1

A = \int_{0}^{\ln} x e^{- x} dx

A : \frac{1}{2} (\ln 2 - 1)

B : \ln 2 - 1

C : 1 - \ln 2

D : \ln 2

E : Toutes les réponses sont fausses

✧ Correction

\int x e^{- x} dx = - (x + 1) e^{- x}

A = {[- (x + 1) e^{- x}]}_{0 \ln 2} = - (\ln 2 + 1) e^{- \ln 2} + (1) e^{0}

= - \frac{\ln 2 + 1}{2} + 1 = \frac{1 - \ln 2}{2}

✅ Réponse Aucune (la bonne est (1-ln2)/2)