FMP Oujda 2016/2017 · Corrigé

Faculté de Médecine et Pharmacie · Oujda · QCM 01 à 10

QCM 01 suite trigonométrique

V_{n} = \sin (\frac{π}{n}) + \sin (\frac{2 π}{n}) + ... + \sin (\frac{(n - 1) π}{n})

z = \cos (\frac{π}{n}) + i \sin (\frac{π}{n})

A : V = 1 + z + ... + z^{n - 1} = 1 + i \tan (\frac{π}{2 n})

B : V = 1 + z + ... + z^{n - 1} = 1 + i \cos (\frac{π}{2 n})

C : V_{n} = \frac{1}{\tan (\frac{π}{2 n})}

D : V_{n} = \tan (\frac{π}{2 n})

E : \lim_{} \frac{V_{n}}{n} = 0

✧ Correction

V_{n} = Im (1 + z + z^{2} + ... + z^{n - 1}) = Im (\frac{1 - z^{n}}{1 - z})

1 - z^{n} = 1 - e^{i π} = 2 et 1 - z = - 2 i e^{\frac{i π}{2 n}} \sin (\frac{π}{2 n})

\Rightarrow V_{n} = \frac{1}{\tan (\frac{π}{2 n})}

✅ Réponse C

QCM 02 série télescopique

S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k (k + 1)}

A : S_{n} = 1 + \frac{1}{n + 1}

B : S divergente

C : S convergente, somme = 1

D : S convergente, somme = n

E : Toutes les réponses sont fausses

✧ Correction

\frac{1}{k (k + 1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}

S_{n} = 1 - \frac{1}{n + 1} \to 1

✅ Réponse C

QCM 03 suite récurrente

u_{0} = e^{2} - 1; u_{n + 1} = (1 + u_{n}) e^{- 2} - 1

A : (u_{n}) croissante

B : (V_{n}) arithmétique

C : u_{n} = e^{2 n + 2} - 1

D : \lim_{} V_{n} = - 1

E : \sum_{k = 0}^{n} \ln V_{k} = (n + 1) (2 - n + \ln 3)

✧ Correction

1 + u_{n + 1} = (1 + u_{n}) e^{- 2}

1 + u_{n} = (1 + u_{0}) e^{- 2 n} = e^{2} \times e^{- 2 n} = e^{2 - 2 n}

\Rightarrow u_{n} = e^{2 - 2 n} - 1

V_{n} = 3 e^{2 - 2 n}; \lim_{} V_{n} = 0

✅ Réponse Aucune (les propositions sont toutes fausses)

QCM 04 fonction f

f (x) = x - \frac{1 - 2 \ln (1 + x)}{x + 1}

A : D_{f} = [- 1, + \infty [

B : \lim_{} f (x) = + \infty

C : \lim_{} f (x) = 1

D : \lim_{} f (x) = - 1

E : f^{'} (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 4 - 2 \ln (x + 1)}{(x + 1)^{2}}

✧ Correction

D_{f} =] - 1, + \infty [(car ln défini pour x+1 > 0)

\lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty et \lim_{x \to + \infty} \frac{f (x)}{x} = 1

f^{'} (x) = 1 + \frac{2 \ln (x + 1) - 2}{(x + 1)^{2}} + \frac{2}{x + 1}

✅ Réponse B

QCM 05 équation f(x)=x

f (x) = x - \frac{1 - 2 \ln (1 + x)}{x + 1}

A : solution de f (x) = x est x = 1 - \sqrt{e}

B : f (x) - x \geq 0 sur [- 1, + \infty [

C : f (x) - x \leq 0 sur [\sqrt{e} - 1, + \infty [

D : tangente y = x + \frac{2}{\sqrt{e^{3}}} en x_{0} = \sqrt{e^{3}} - 1

E : Toutes les propositions sont fausses

✧ Correction

f (x) = x \Rightarrow - \frac{1 - 2 \ln (x + 1)}{x + 1} = 0 \Rightarrow 1 - 2 \ln (x + 1) = 0 \Rightarrow \ln (x + 1) = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \sqrt{e} - 1

Donc D est vraie : la tangente au point x_{0} = \sqrt{e^{3}} - 1 a pour équation y = x + \frac{2}{\sqrt{e^{3}}}

✅ Réponse D

QCM 06 géométrie dans l'espace

A (- 1, 2, 0); B (3, 0, 4); C (- 2, 1, 2)

A : S = 5 \sqrt{2}

B : S = 5 \sqrt{3}

C : hauteur issue de A = \sqrt{5}

D : hauteur issue de A = \sqrt{6}

E : A, B, C alignés

✧ Correction

\vec{AB} = (4, - 2, 4); \vec{AC} = (- 1, - 1, 2)

\vec{AB} \land \vec{AC} = (0, - 12, - 6); | \vec{AB} \land \vec{AC} | = 6 \sqrt{5}

S = \frac{1}{2} | \vec{AB} \land \vec{AC} | = 3 \sqrt{5}

| \vec{BC} | = \sqrt{30}; hauteur = \frac{2 S}{| \vec{BC} |} = \frac{6 \sqrt{5}}{\sqrt{30}} = \sqrt{6}

✅ Réponse D

QCM 07 choix de la bonne réponse

Choisir la réponse juste

A : périmètre cercle = π R

B : e^{i π} + e^{i π} = i \sqrt{2}

C : jury de 5 parmi 9 : 256 façons

D : l'hectare est une unité de longueur

E : Toutes les propositions sont fausses

✧ Correction

A : périmètre = 2πR (faux)

B : e^(iπ) + e^(iπ) = -2 (faux)

C : C(9,5) = 126 (faux)

D : l'hectare est une unité de surface (faux)

✅ Réponse E

QCM 08 intégrales

I = 2 \int_{0}^{a} (\tan^{3} x + \tan x) dx

A : I = 1 - \frac{1}{\cos^{2}}

B : I = 2 - \frac{1}{\cos^{2}}

C : J = \sin a (\frac{\cos a \sin 2 a}{3} + \cos a)

D : J = \frac{\sin}{a} (\frac{\cos a \sin 2 a}{3} + \cos a)

E : Toutes les propositions sont fausses

✧ Correction

\tan^{3} x + \tan x = \tan x (\tan^{2} x + 1) = \tan x \times \sec^{2} x

I = 2 \int_{0}^{a} \tan x \sec^{2} x dx = {[\tan^{2} x]}_{0 a} = \tan^{2} a = \frac{1}{\cos^{2}} - 1

✅ Réponse Aucune (la bonne est I = tan²(a))

QCM 09 intégrale par parties

I_{n} = \int_{0}^{\frac{π}{2}} x^{n} \cos x dx

A : I_{0} = - 1

B : I_{1} = \frac{π}{2}

C : I_{n + 2} = (\frac{π}{2})^{n + 1} + (n + 1) I_{n}

D : I_{n + 2} = (\frac{π}{2})^{n + 2} - (n + 1) (n + 2) I_{n}

E : I_{2} = 2 - \frac{π^{2}}{4}

✧ Correction

I_{0} = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos x dx = 1

I_{1} = \int_{0}^{\frac{π}{2}} x \cos x dx = \frac{π}{2} - 1

I_{2} = \frac{π^{2}}{4} - 2

I_{n + 2} = (\frac{π}{2})^{n + 1} - (n + 1) (n + 2) I_{n}

✅ Réponse D

QCM 10 affirmations justes

Choisir l'affirmation juste

A : \sum_{k = 1}^{4} \cos^{2} (\frac{(2 k + 1) π}{12}) = 3

B : I (2, 0) centre de symétrie de f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x - 2

C : \sqrt{1 - \sin 2 x} = \cos 2 x

D : période de f (x) = 1 - 8 \cos x - 4 \cos 2 x est π

E : (g ○ f)^{'} = f^{'} \cdot g^{'} (f) est faux

✧ Correction

A : \cos^{2} \frac{3 π}{12} + \cos^{2} \frac{5 π}{12} + \cos^{2} \frac{9 π}{12} + \cos^{2} \frac{11 π}{12} = 2

B : point d'inflexion en (2,0) donc centre de symétrie

✅ Réponse B