On considère la fonction \( f \) définie par :
\( f(x) = x - \frac{(\ln(x))^2}{x} \)
- Solution :
La dérivée de \( f \) est :
\( f'(x) = 1 - \frac{2\ln(x) - (\ln(x))^2}{x^2} \)
La bonne réponse est donc :
\( \boxed{B} \)
La fonction \( f \) est définie par :
\( f(x) = 2\ln\left(\frac{e^{x+2}}{\sqrt{1+e^x}}\right) \)
- Solution :
Lorsque \( x \) tend vers \( +\infty \), l'asymptote horizontale est :
\( y = 2x \)
La bonne réponse est donc :
\( \boxed{A} \)
On considère la fonction \( g \) définie par :
\( g(x) = \frac{x^2+1}{x+1} \)
- Solution :
Le point \( x_0 \) où la tangente à \( C_g \) est parallèle à la droite \( y = x \) est :
\( x_0 = 0 \)
La bonne réponse est donc :
\( \boxed{A} \)
Soit :
\( z = -\frac{(1-t)^{10}}{(1+i\sqrt{3})^4} \)
- Solution :
Le module de \( z \) est :
\( |z| = \frac{1}{2} \)
La bonne réponse est donc :
\( \boxed{B} \)
Soient \( z_1, z_2, \) et \( z_3 \) trois nombres complexes distincts ayant le même cube, c’est-à-dire \( z_1^3 = z_2^3 = z_3^3 \).
- Solution :
Les valeurs possibles sont :
\( z_1 = 1, \quad z_2 = \omega, \quad z_3 = \omega^2 \)
où \( \omega = e^{\frac{2\pi i}{3}} \).
La bonne réponse est donc :
\( \boxed{B} \)
Soit dans l’espace muni d’un repère orthonormé direct \( (O,i,j,k) \) les points \( A(0;3;1) \), \( B(-1;3;0) \) et \( C(0;5;0) \). La sphère \( (S) \) a pour équation :
\( x^2 + y^2 + z^2 - 4x - 5 = 0 \)
- Solution :
Les coordonnées du point de tangence \( H \) du plan \( (ABC) \) et de la sphère \( (S) \) sont :
\( (2;2;1) \)
La bonne réponse est donc :
\( \boxed{C} \)
On suppose que 2000 personnes ont envoyé un SMS dans le cadre d’un mini-jeu télé qui consistait à répondre à une question à 2 choix. La société qui gère ce "jeu-SMS" sélectionne 30 SMS au hasard parmi les 2000. On note \( \mathcal{E} \) l’ensemble de tous les sous-ensembles de 30 SMS (distincts). Combien d’éléments contient-il?
- Solution :
Le nombre d'éléments dans \( \mathcal{E} \) est :
\( C_{2000}^{30} \)
La bonne réponse est donc :
\( \boxed{B} \)