On considère maintenant que vous faites partie des personnes qui ont envoyé un SMS. Quelle est la probabilité que vous soyez sélectionné(e) parmi les 2000 participants ?
Options :
A. 0.12
B. 0.03
C. 0.015
D. 0.02
E. 0.3
Solution :
La probabilité de sélection est donnée par le rapport du nombre de personnes sélectionnées sur le nombre total de participants. Si \( n \) est le nombre de personnes sélectionnées, alors la probabilité est \( \frac{n}{2000} \). La réponse correcte dépend de la valeur de \( n \).
Soit \( U_n = \ln(1 + ne^{-n}) \), \( n \in \mathbb{N} \). Quelle est la bonne réponse ?
Options :
A. La suite (\( U_n \)) est bornée
B. \( \lim_{n \to +\infty} U_n = +\infty \)
C. \( \lim_{n \to +\infty} U_n = 1 \)
D. La suite (\( U_n \)) est divergente
E. \( \lim_{n \to +\infty} U_n = 0 \)
Solution :
Calculons la limite de \( U_n \) :
\[
\lim_{n \to +\infty} U_n = \lim_{n \to +\infty} \ln(1 + ne^{-n}) = \ln(1 + 0) = 0
\]
La réponse correcte est E.
Soit la suite \( w(n) \) définie par \( w_0 = 1 \) et \( w_{n+1} = \frac{w_n + 3}{2w_n + 4} \) et on pose \( y_n = \frac{4}{2+w_n} \); \( y_{n+1} \) vérifie la relation suivante :
Options :
A. \( y_{n+1} = \frac{23}{6+y_n} \)
B. \( y_{n+1} = \frac{32}{6+y_n} \)
C. \( y_{n+1} = \frac{-6}{32+y_n} \)
D. \( y_{n+1} = \frac{6}{32+y_n} \)
E. \( y_{n+1} = \frac{32}{20+y_n} \)
Solution :
En substituant \( w_n \) dans l'expression de \( y_{n+1} \), on trouve :
\[
y_{n+1} = \frac{4}{2 + w_{n+1}} = \frac{4}{2 + \frac{w_n + 3}{2w_n + 4}} = \frac{32}{6 + y_n}
\]
La réponse correcte est B.
Soit (E) l’équation: \( x^x = (\sqrt{x})^{x+1} \). Quelle est la bonne réponse?
Options :
A. \( x=1 \) est une solution
B. \( x=2 \) est une solution
C. \( x=0 \) est une solution
D. \( x=e \) est une solution
E. l’équation (E) n’admet pas de solution
Solution :
En testant \( x = 1 \):
\[
1^1 = (\sqrt{1})^{1+1} \Rightarrow 1 = 1
\]
Donc \( x = 1 \) est une solution. La réponse correcte est A.
Calculer l’intégrale suivante:
\[
\int \frac{\cos x \, dx}{2+\sin x}
\]
Options :
A. \( \frac{1}{2} \ln|2+\sin x|+C \)
B. \( \ln |2+\sin x|+C \)
C. -\( \ln |2+\sin x|+C \)
D. \( \ln |2+\cos x|+C \)
E. \( \frac{1}{2} \ln|2+\cos x|+C \)
Solution :
En posant \( u = 2 + \sin x \), on a \( du = \cos x \, dx \). Ainsi :
\[
\int \frac{\cos x \, dx}{2+\sin x} = \ln|2 + \sin x| + C
\]
La réponse correcte est B}.
Soit \( f(x) = (1 + \frac{1}{x})^x \). Quelle est la bonne réponse ?
Options :
A. \( D_f = ]0, +\infty[ \)
B. \( D_f = \mathbb{R}^* \)
C. \( D_f' = ]-\infty, -1[ \cup ]0, +\infty[ \)
D. \( D_f' = ]-1, 1[ \)
E. \( D_f' = [-1, 1] \)
Solution :
La fonction \( f(x) \) est définie pour \( x > 0 \). Donc \( D_f = ]0, +\infty[ \). La réponse correcte est A}.
Soit \( f(x) = x \sin(\pi x) - \ln(x) - 1 \) définie sur \( ]0, 1[ \). Quelle est la bonne réponse ?
Options :
A. f est majorée
B. Il existe \( c \in ]0, 1] \) tel que \( f(c) = 0 \)
C. \( \lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty \)
D. f est croissante
E. \( \lim_{x \to 1^-} f(x) = -1 \)
Solution :
En évaluant les limites et le comportement de la fonction, on trouve que \( \lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty \). La réponse correcte est C}.
