Exercice :
1. Résoudre les équations suivantes :
* * \(5x - 7 = 3\)
Solution :
\[
5x - 7 = 3 \implies 5x = 10 \implies x = 2
\]
* * \(8(x - 3) = 4x + 1\)
Solution :
\[
8x - 24 = 4x + 1 \implies 4x = 25 \implies x = \frac{25}{4}
\]
* * \((4x - 3)(2x + 9) = 0\)
Solution :
\[
4x - 3 = 0 \implies x = \frac{3}{4}
\]
\[
2x + 9 = 0 \implies x = -\frac{9}{2}
\]
* * \(16x^2 - 4 = 0\)
Solution :
\[
16x^2 = 4 \implies x^2 = \frac{1}{4} \implies x = \pm \frac{1}{2}
\]
2. Résoudre les inéquations suivantes :
* * \(-9x + 5 \geq 12\)
Solution :
\[
-9x \geq 7 \implies x \leq -\frac{7}{9}
\]
* * \(6x - 4 \leq -3x + 7\)
Solution :
\[
9x \leq 11 \implies x \leq \frac{11}{9}
\]
* * \(\frac{6x - 7}{3} < \frac{2x - 1}{5}\)
Solution :
\[
5(6x - 7) < 3(2x - 1) \implies 30x - 35 < 6x - 3 \implies 24x < 32 \implies x < \frac{4}{3}
\]
Exercice :
1. Construire le point M tel que : \(\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\)}
Le point M est construit en ajoutant les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
2. Construire le point N l'image de C par la translation qui transforme B en A.}
Le point N est l'image de C par la translation de vecteur \(\overrightarrow{BA}\).
3. Montrer que C est le milieu du segment [MN]}
On montre que \(\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{CN}\).
* *[a.] Construire le point E tel que : \(\overrightarrow{AE} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AC}\)
Le point E est le milieu de AC.
* *[b.] Construire le point F tel que : \(\overrightarrow{BF} = 2\overrightarrow{BC}\)
Le point F est construit en prolongeant BC.
* *[c.] Construire le point A' l'image de A par la translation qui transforme C en B.
Le point A' est l'image de A par la translation de vecteur \(\overrightarrow{CB}\).
* *[d.] Montrer que les points E, F et A' sont alignés.
On montre que les vecteurs \(\overrightarrow{EF}\) et \(\overrightarrow{FA'}\) sont colinéaires.
Exercice:
Rachid a 11 ans et son frère a 26 ans. Dans combien d’années l’âge du frère sera-t-il le double de celui de Rachid ?
Solution :
Soit \(x\) le nombre d'années. On a :
\[
26 + x = 2(11 + x) \implies 26 + x = 22 + 2x \implies x = 4
\]
Dans 4 ans, l'âge du frère sera le double de celui de Rachid.
