mathematics

CONTROLE N°1 \\ 1er sem - maths
\author{ANNÉE SCOLAIRE : 2021 -- 2022 \\ NIVEAU : <a class="autolink" title="tc" href="https://seedocx.com/mod/page/view.php?id=1315">TC</a>. Science \\ DURÉE : 2H - DATE : 4 -- 11 -- 2021}

EXERCICE 1 (6 points)}

    \item Soit \( n \) un entier naturel. Étudier la parité des nombres suivants :
    \[
    a = 4n^2 + 2n + 3 \quad ; \quad b = 2^{2021} + 3^{2022} \quad \text{et} \quad c = 5^n + 1
    \]
    
    \item Soit \( n \) un entier naturel. Montrer que le nombre :
    \[
    3^{n+2} + 3^n \quad \text{est multiple de 5}
    \]
    
    \item Donner tous les diviseurs positifs non premiers du nombre 102.
    
    \item Décomposer en produit de facteurs premiers le nombre 7752.
    
    \item Déterminer tous les entiers naturels \( x \) et \( y \) tels que
    \[
    (x - 2)(y - 5) = 22
    \]
    
    \item Le nombre 323 est-il premier ? Justifier.
\end{enumerate}

EXERCICE 2 (5 points)
On pose :
\[
a = 2^2 \times 3 \times 7 + 2^5 \times 3 \quad \text{et} \quad b = 168
\]

\begin{enumerate}
    \item Sans calcul, déterminer la parité de \( a \).
    
    \item Montrer que :
    \[
    a = 2^2 \times 3^2 \times 5 \quad \text{et} \quad b = 2^3 \times 3 \times 7
    \]
    
    \item Calculer :
    \[
    \text{PGCD}(a, b) \quad \text{et} \quad \text{PPCM}(a, b)
    \]
    
    \item Simplifier :
    \[
    \frac{a}{b} \quad \text{et} \quad \sqrt{ab}
    \]
    
    \item Montrer que \( 5a \) est un carré parfait.
\end{enumerate}

EXERCICE 3 (7,5 points)
\( ABC \) un triangle. I, J et K trois points du plan tels que :
\[
\overrightarrow{AI} = \frac{2}{3} \overrightarrow{AB} \quad ; \quad \overrightarrow{BJ} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BC} \quad \text{et} \quad \overrightarrow{AK} = 2 \overrightarrow{AC}
\]

\begin{enumerate}
    \item Construire la figure.
    
    \item Montrer que :
    \[
    \overrightarrow{IJ} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{BC} \quad \text{et} \quad \overrightarrow{JK} = \overrightarrow{AB} + \frac{3}{2} \overrightarrow{BC}
    \]
    
    \item 
    \begin{enumerate}
        \item Montrer que :
        \[
        3 \overrightarrow{IJ} + \overrightarrow{KJ} = \overrightarrow{0}
        \]
    \end{enumerate}
    
    \item En déduire que les points I, J et K sont alignés.
    
    \item On considère le point H tel que :
    \[
    \overrightarrow{AH} = 2 \overrightarrow{AJ}
    \]
    
    \item Placer le point H sur la figure.
    
    \item Déterminer la nature du quadrilatère \( ABHC \).
    
    \item En déduire que les deux droites \( (BH) \) et \( (AK) \) sont parallèles.
\end{enumerate}

EXERCICE 4 (1,5 points)
Soit \( n \) un entier naturel. On pose :
\[
A = 4n^2 + 12n + 9
\]

\begin{enumerate}
    \item Montrer que :
    \[
    n^2 + 3n + 2 = (n + 1)(n + 2)
    \]
    
    \item Montrer que \( A - 1 \) est multiple de 8.

Exercice 1:

1. Résoudre l'équation suivante : \( 8x + 6 = 5x \)

2. 
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
    \item Vérifier que pour tout nombre réel \( x \) on a :
    \[ 3x(x-1)-(x^2-1)=(x-1)(2x-1)\]
    \item En déduire les solutions de l'équation :
    \[ 3x(x-1)-(x^2-1)=0\]
\end{enumerate}

3. Résoudre l'inéquation : \( 7x+1 > 2x-4 \) et représenter ses solutions sur une droite graduée.

\section*{Exercice 2}

1. Résoudre le système suivant :
\[ \begin{cases} 
2x+3y=32 \\ 
3x+2y=28 
\end{cases}\]

2. Chez un vendeur de fruits, Jamal achète 2kg d'oranges et 3kg de pommes en payant 32 dirhams ; tandis que Fatima achète 6kg d'oranges et 4kg de pommes en payant 56 dirhams. Déterminer le prix, en dirhams, d'un kilogramme d'oranges et le prix d'un kilogramme de pommes.

\section*{Exercice 3}

Le tableau ci-dessous donne le nombre d'heures qu'un groupe de 50 élèves du cycle secondaire collégial passent devant leurs smartphones pendant une période d'un mois.

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Nombre d'heures & 10 & 14 & 20 & 30 & 35 \\
\hline
Effectif & 5 & 15 & 12 & 16 & 2 \\
\hline
Effectif cumulé & & & & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

1. Recopier et compléter le tableau ci-dessus.

2. Déterminer la médiane de cette série statistique.

3. Calculer le nombre moyen d'heures que ces élèves passent devant leurs smartphones.

\section*{Exercice 4}

Soient \( ABC \) un triangle et \( I \) le milieu du segment \([BC]\).

Soit \( t \) la translation qui transforme \( A \) en \( B \).

1. Construire les points \( J \) et \( E \) images respectives des points \( I \) et \( B \) par la translation \( t \).

2. Déterminer la nature du quadrilatère \( IBEJ \). Justifier la réponse.

\section*{Exercice 5}

Dans le plan muni d'un repère orthonormé \((O,I,J)\), soient les points \( A(-2;-2) \), \( B(4;1) \) et \( C(-\frac{1}{2}; \frac{5}{2}) \).

1. 
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
    \item Déterminer le couple de coordonnées du vecteur \( \overrightarrow{AB} \) et vérifier que \( AB = 3\sqrt{5} \).
    \item Vérifier que le point \( E(1;-\frac{1}{2}) \) est le milieu du segment \([AB]\).
\end{enumerate}

2. Montrer que l'équation réduite de la droite \((AB)\) est :
\[ y = \frac{1}{2}x-1\]

3. 
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
    \item Déterminer le coefficient directeur de la droite \((EC)\).
    \item En déduire que la droite \((EC)\) est la médiatrice du segment \([AB]\).

\section*{Exercice 6 (4 points)}
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé $(O, I, J)$, on considère les deux droites $(D)$ et $(D')$ telles que $(D)$ est la représentation graphique d'une fonction linéaire $f$ (voir figure ci-dessous).

\begin{enumerate}
    \item 
    \begin{enumerate}
        \item[a)] Déterminer graphiquement $f(-1)$
        \item[b)] En déduire que $f(x) = 2x$
        \item[c)] Déterminer le nombre dont l'image par $f$ est 4
    \end{enumerate}
    
    \item Soit $g$ la fonction affine définie par :
    \[ g(x) = \frac{1}{3}x + \frac{5}{3} \]
    \begin{enumerate}
        \item[a)] Montrer que la représentation graphique de $g$ passe par les points $A(1; 2)$ et $B(-2; 1)$
        \item[b)] En déduire que $(D')$ est la représentation graphique de $g$
    \end{enumerate}
    
    \item Résoudre graphiquement l'équation $f(x) = g(x)$
\end{enumerate}

\section*{Exercice 7 (3 points)}
Dans la figure ci-dessous, $ABCDEFGH$ est un parallélépipède rectangle de dimensions :
\[ AB = 8\,cm ;\quad AD = 6\,cm \text{ et } AE = 4\,cm \]

\begin{enumerate}
    \item Calculer $EG$ puis montrer que $AG = 2\sqrt{29}\,cm$
    
    \item Montrer que le volume de la pyramide $AEGH$ est égal à $32\,cm^3$
    
    \item En effectuant un agrandissement de la pyramide $AEGH$, on obtient une pyramide de volume $108\,cm^3$. Déterminer le rapport de cet agrandissement.