Résolution dans \( \mathbb{R}^3 \)}
Nous résolvons dans \( \mathbb{R}^3 \) le système suivant :
\(
(E)
\begin{cases}
2x + y + z = 1 \quad \text{(1)} \\
x + 2y + z = 2 \quad \text{(2)} \\
x + y + 2z = 4 \quad \text{(3)}
\end{cases}
\)
- Résolution par élimination :
1. **Étape 1** : Éliminer une variable en combinant les équations.
- Soustraire l'équation (2) de l'équation (1) :
\(
(2x + y + z) - (x + 2y + z) = 1 - 2
\)
\(
x - y = -1 \quad \text{(4)}
\)
- Soustraire l'équation (3) de l'équation (2) :
\(
(x + 2y + z) - (x + y + 2z) = 2 - 4
\)
\(
y - z = -2 \quad \text{(5)}
\)
2. **Étape 2** : Résoudre le sous-système formé par les équations (4) et (5).
- De l'équation (4), exprimer \( x \) en fonction de \( y \) :
\(
x = y - 1 \quad \text{(6)}
\)
- De l'équation (5), exprimer \( y \) en fonction de \( z \) :
\(
y = z - 2 \quad \text{(7)}
\)
3. **Étape 3** : Substituer \( y \) et \( x \) dans l'une des équations originales pour trouver \( z \).
- Substituer \( y = z - 2 \) dans l'équation (6) :
\(
x = (z - 2) - 1 = z - 3 \quad \text{(8)}
\)
- Substituer \( x = z - 3 \) et \( y = z - 2 \) dans l'équation (3) :
\(
(z - 3) + (z - 2) + 2z = 4
\)
\(
4z - 5 = 4
\)
\(
4z = 9
\)
\(
z = \frac{9}{4}
\)
4. **Étape 4** : Trouver \( y \) et \( x \) à partir de \( z \).
- De l'équation (7) :
\(
y = \frac{9}{4} - 2 = \frac{9}{4} - \frac{8}{4} = \frac{1}{4}
\)
- De l'équation (8) :
\(
x = \frac{9}{4} - 3 = \frac{9}{4} - \frac{12}{4} = -\frac{3}{4}
\)
- La solution du système est :
\(
\boxed{ (x, y, z) = \left( -\frac{3}{4}, \frac{1}{4}, \frac{9}{4} \right)}
\)