Course: SERIE D'EXERCICES : RÉSOLUTION DE SYSTÈMES

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Select section Exercice 1

Exercice 1
- Select activity Exercice 1
  
  Nous résolvons dans \( \mathbb{R} \times \mathbb{R} \), par la méthode de substitution, le système
  
  \[
  (E)
  \begin{cases}
  x + 3y = 9 \quad \text{(1)} \\
  2x - y = 1 \quad \text{(2)}
  \end{cases}
  \]
  
  - Résolution par substitution :
  
  1. **Étape 1** : Exprimer \( x \) en fonction de \( y \) à partir de l'équation (1) :
  \[
  x = 9 - 3y \quad \text{(3)}
  \]
  
  2. **Étape 2** : Substituer \( x \) dans l'équation (2) par l'expression trouvée en (3) :
  \[
  2(9 - 3y) - y = 1
  \]
  \[
  18 - 6y - y = 1
  \]
  \[
  18 - 7y = 1
  \]
  
  3. **Étape 3** : Résoudre pour \( y \) :
  \[
  -7y = 1 - 18
  \]
  \[
  -7y = -17
  \]
  \[
  y = \frac{17}{7}
  \]
  
  4. **Étape 4** : Substituer \( y = \frac{17}{7} \) dans l'équation (3) pour trouver \( x \) :
  \[
  x = 9 - 3\left(\frac{17}{7}\right)
  \]
  \[
  x = 9 - \frac{51}{7}
  \]
  \[
  x = \frac{63}{7} - \frac{51}{7}
  \]
  \[
  x = \frac{12}{7}
  \]
  La solution du système est :
  
  \[
  \boxed{(x, y) = \left( \frac{12}{7}, \frac{17}{7} \right)}
  \]
Select section Exercice2

Exercice2
- Select activity Nous résolvons dans \( \mathbb{R} \times \mathbb{R...
  
  Nous résolvons dans \( \mathbb{R} \times \mathbb{R} \), par la méthode de substitution, le système
  
  \[
  (E)
  \begin{cases}
  x - 2y + 1 = 0 \quad \text{(1)} \\
  x - y = 0 \quad \text{(2)}
  \end{cases}
  \]
  
  - Résolution par substitution
  
  1. **Étape 1** : Exprimer \( x \) en fonction de \( y \) à partir de l'équation (2) :
  \[
  x = y \quad \text{(3)}
  \]
  
  2. **Étape 2** : Substituer \( x \) dans l'équation (1) par l'expression trouvée en (3) :
  \[
  y - 2y + 1 = 0
  \]
  \[
  -y + 1 = 0
  \]
  
  3. **Étape 3** : Résoudre pour \( y \) :
  \[
  -y = -1
  \]
  \[
  y = 1
  \]
  
  4. **Étape 4** : Substituer \( y = 1 \) dans l'équation (3) pour trouver \( x \) :
  \[
  x = 1
  \]
  
  La solution du système est :
  \[
  \boxed{(x, y) = (1, 1)}
  \]
Select section Exercice 3

Exercice 3
- Select activity Résoudre le système suivant
  
  Résoudre le système suivant :
  
  \[
  \begin{cases}
  x + y = 4 \quad \text{(1)} \\
  xy = 3 \quad \text{(2)}
  \end{cases}
  \]
  
  - Solution :
  
  1. **Étape 1** : Exprimer \( y \) en fonction de \( x \) à partir de l'équation (1) :
  \[
  y = 4 - x \quad \text{(3)}
  \]
  
  2. **Étape 2** : Substituer \( y \) dans l'équation (2) :
  \[
  x(4 - x) = 3
  \]
  \[
  4x - x^2 = 3
  \]
  \[
  x^2 - 4x + 3 = 0
  \]
  
  3. **Étape 3** : Résoudre l'équation quadratique :
  \[
  x^2 - 4x + 3 = 0
  \]
  Le discriminant est :
  \[
  \Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4
  \]
  Les solutions sont :
  \[
  x = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}
  \]
  \[
  x_1 = 3 \quad \text{et} \quad x_2 = 1
  \]
  
  4. **Étape 4** : Trouver \( y \) pour chaque \( x \) :
  - Si \( x = 3 \), alors \( y = 4 - 3 = 1 \).
  - Si \( x = 1 \), alors \( y = 4 - 1 = 3 \).
  
  Les solutions du système sont :
  \[
  \boxed{(x, y) = (3, 1) \quad \text{et} \quad (1, 3)}
  \]
Select section Exercice 4

Exercice 4
- Select activity Résoudre le sys...
  
  Résoudre le système suivant :
  
  \[
  \begin{cases}
  x + y = 2 \quad \text{(1)} \\
  xy = 1 \quad \text{(2)}
  \end{cases}
  \]
  
  - Résolution :
  
  1. **Étape 1** : Exprimer \( y \) en fonction de \( x \) à partir de l'équation (1) :
  \[
  y = 2 - x \quad \text{(3)}
  \]
  
  2. **Étape 2** : Substituer \( y \) dans l'équation (2) :
  \[
  x(2 - x) = 1
  \]
  \[
  2x - x^2 = 1
  \]
  \[
  x^2 - 2x + 1 = 0
  \]
  
  3. **Étape 3** : Résoudre l'équation quadratique :
  \[
  x^2 - 2x + 1 = 0
  \]
  Le discriminant est :
  \[
  \Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 4 - 4 = 0
  \]
  La solution double est :
  \[
  x = \frac{2}{2} = 1
  \]
  
  4. **Étape 4** : Trouver \( y \) :
  \[
  y = 2 - 1 = 1
  \]
  
  La solution du système est :
  \[
  \boxed{(x, y) = (1, 1)}
  \]
Select section Exercice 5

Exercice 5
- Select activity Résoudre le système suivant :
  
  Résoudre le système suivant :
  
  \[
  \begin{cases}
  x + y = -7 \quad \text{(1)} \\
  xy = 10 \quad \text{(2)}
  \end{cases}
  \]
  
  - Résolution :
  
  1. **Étape 1** : Exprimer \( y \) en fonction de \( x \) à partir de l'équation (1) :
  \[
  y = -7 - x \quad \text{(3)}
  \]
  
  2. **Étape 2** : Substituer \( y \) dans l'équation (2) :
  \[
  x(-7 - x) = 10
  \]
  \[
  -7x - x^2 = 10
  \]
  \[
  x^2 + 7x + 10 = 0
  \]
  
  3. **Étape 3** : Résoudre l'équation quadratique :
  \[
  x^2 + 7x + 10 = 0
  \]
  Le discriminant est :
  \[
  \Delta = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9
  \]
  Les solutions sont :
  \[
  x = \frac{-7 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-7 \pm 3}{2}
  \]
  \[
  x_1 = -2 \quad \text{et} \quad x_2 = -5
  \]
  
  4. **Étape 4** : Trouver \( y \) pour chaque \( x \) :
  - Si \( x = -2 \), alors \( y = -7 - (-2) = -5 \).
  - Si \( x = -5 \), alors \( y = -7 - (-5) = -2 \).
  
  Les solutions du système sont :
  \[
  \boxed{(x, y) = (-2, -5) \quad \text{et} \quad (-5, -2)}
  \]
Select section Exercice 6

Exercice 6
- Select activity \section*{Exercice 63 - Système 3} Résoudre le sys...
  
  Résoudre le système suivant :
  
  \[
  \begin{cases}
  x + y = 12 \quad \text{(1)} \\
  xy = 36 \quad \text{(2)}
  \end{cases}
  \]
  
  - Résolution :
  
  1. **Étape 1** : Exprimer \( y \) en fonction de \( x \) à partir de l'équation (1) :
  \[
  y = 12 - x \quad \text{(3)}
  \]
  
  2. **Étape 2** : Substituer \( y \) dans l'équation (2) :
  \[
  x(12 - x) = 36
  \]
  \[
  12x - x^2 = 36
  \]
  \[
  x^2 - 12x + 36 = 0
  \]
  
  3. **Étape 3** : Résoudre l'équation quadratique :
  \[
  x^2 - 12x + 36 = 0
  \]
  Le discriminant est :
  \[
  \Delta = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 144 - 144 = 0
  \]
  La solution double est :
  \[
  x = \frac{12}{2} = 6
  \]
  
  4. **Étape 4** : Trouver \( y \) :
  \[
  y = 12 - 6 = 6
  \]
  
  La solution du système est :
  \[
  \boxed{(x, y) = (6, 6)}
  \]
Select section Exercice 7

Exercice 7
- Select activity Résoudre le système d'équations suivant :
  
  Résoudre le système d'équations suivant :
  
  \[
  \begin{cases}
  -5x + 4y = 3 \quad \text{(1)} \\
  -3x + 2y = -9 \quad \text{(2)}
  \end{cases}
  \]
  
  - Résolution par élimination :
  
  1. **Étape 1** : Éliminer une variable en combinant les équations.
  
  - Multiplier l'équation (2) par 2 pour aligner les coefficients de \( y \) :
  \[
  2(-3x + 2y) = 2(-9)
  \]
  \[
  -6x + 4y = -18 \quad \text{(3)}
  \]
  
  2. **Étape 2** : Soustraire l'équation (1) de l'équation (3) pour éliminer \( y \) :
  \[
  (-6x + 4y) - (-5x + 4y) = -18 - 3
  \]
  \[
  -6x + 4y + 5x - 4y = -21
  \]
  \[
  -x = -21
  \]
  \[
  x = 21
  \]
  
  3. **Étape 3** : Substituer \( x = 21 \) dans l'équation (2) pour trouver \( y \) :
  \[
  -3(21) + 2y = -9
  \]
  \[
  -63 + 2y = -9
  \]
  \[
  2y = 54
  \]
  \[
  y = 27
  \]
  
  La solution du système est :
  \[
  \boxed{(x, y) = (21, 27)}
  \]
Select section Exercice 8

Exercice 8
Select section Exercice 9

Exercice 9
- Select activity On considère le système d'équations suivant
  
  Résoudre le système d'équations suivant :
  
  \[
  \begin{cases}
  4x + 3y = 206 \quad \text{(1)} \\
  2x + 2y = 114 \quad \text{(2)}
  \end{cases}
  \]
  
  - Résolution par élimination
  
  1. **Étape 1** : Simplifier l'équation (2) en divisant par 2 :
  \[
  x + y = 57 \quad \text{(3)}
  \]
  
  2. **Étape 2** : Exprimer \( y \) en fonction de \( x \) à partir de l'équation (3) :
  \[
  y = 57 - x \quad \text{(4)}
  \]
  
  3. **Étape 3** : Substituer \( y = 57 - x \) dans l'équation (1) :
  \[
  4x + 3(57 - x) = 206
  \]
  \[
  4x + 171 - 3x = 206
  \]
  \[
  x + 171 = 206
  \]
  \[
  x = 206 - 171
  \]
  \[
  x = 35
  \]
  
  4. **Étape 4** : Substituer \( x = 35 \) dans l'équation (4) pour trouver \( y \) :
  \[
  y = 57 - 35
  \]
  \[
  y = 22
  \]
  
  La solution du système est :
  \[
  \boxed{(x, y) = (35, 22)}
  \]
Select section Exercice 10

Exercice 10
- Select activity Résolution dans \( \mathbb{R}^3 \)} Nous résolvons...
  
  Résolution dans \( \mathbb{R}^3 \)}
  
  Nous résolvons dans \( \mathbb{R}^3 \) le système suivant :
  
  \[
  (E)
  \begin{cases}
  2x + y + z = 1 \quad \text{(1)} \\
  x + 2y + z = 2 \quad \text{(2)} \\
  x + y + 2z = 4 \quad \text{(3)}
  \end{cases}
  \]
  
  - Résolution par élimination :
  
  1. **Étape 1** : Éliminer une variable en combinant les équations.
  
  - Soustraire l'équation (2) de l'équation (1) :
  \[
  (2x + y + z) - (x + 2y + z) = 1 - 2
  \]
  \[
  x - y = -1 \quad \text{(4)}
  \]
  
  - Soustraire l'équation (3) de l'équation (2) :
  \[
  (x + 2y + z) - (x + y + 2z) = 2 - 4
  \]
  \[
  y - z = -2 \quad \text{(5)}
  \]
  
  2. **Étape 2** : Résoudre le sous-système formé par les équations (4) et (5).
  
  - De l'équation (4), exprimer \( x \) en fonction de \( y \) :
  \[
  x = y - 1 \quad \text{(6)}
  \]
  
  - De l'équation (5), exprimer \( y \) en fonction de \( z \) :
  \[
  y = z - 2 \quad \text{(7)}
  \]
  
  3. **Étape 3** : Substituer \( y \) et \( x \) dans l'une des équations originales pour trouver \( z \).
  
  - Substituer \( y = z - 2 \) dans l'équation (6) :
  \[
  x = (z - 2) - 1 = z - 3 \quad \text{(8)}
  \]
  
  - Substituer \( x = z - 3 \) et \( y = z - 2 \) dans l'équation (3) :
  \[
  (z - 3) + (z - 2) + 2z = 4
  \]
  \[
  4z - 5 = 4
  \]
  \[
  4z = 9
  \]
  \[
  z = \frac{9}{4}
  \]
  
  4. **Étape 4** : Trouver \( y \) et \( x \) à partir de \( z \).
  
  - De l'équation (7) :
  \[
  y = \frac{9}{4} - 2 = \frac{9}{4} - \frac{8}{4} = \frac{1}{4}
  \]
  
  - De l'équation (8) :
  \[
  x = \frac{9}{4} - 3 = \frac{9}{4} - \frac{12}{4} = -\frac{3}{4}
  \]
  
  - La solution du système est :
  \[
  \boxed{ (x, y, z) = \left( -\frac{3}{4}, \frac{1}{4}, \frac{9}{4} \right)}
  \]
Select section Exercice 11

Exercice 11
- Select activity Résolution dans \( \mathbb{R}^3 \)} Nous résolvons...
  
  Résolution dans \( \mathbb{R}^3 \)
  
  Nous résolvons dans \( \mathbb{R}^3 \) le système suivant :
  
  \[
  (E)
  \begin{cases}
  x - y - 2z = 1 \quad \text{(1)} \\
  2x + 2y + z = -1 \quad \text{(2)} \\
  -3x - y + z = 1 \quad \text{(3)}
  \end{cases}
  \]
  
  - Résolution par élimination :
  
  1. **Étape 1** : Éliminer une variable en combinant les équations.
  
  - Multiplier l'équation (1) par 2 et soustraire l'équation (2) :
  \[
  2(x - y - 2z) - (2x + 2y + z) = 2(1) - (-1)
  \]
  \[
  2x - 2y - 4z - 2x - 2y - z = 2 + 1
  \]
  \[
  -4y - 5z = 3 \quad \text{(4)}
  \]
  
  - Multiplier l'équation (1) par 3 et ajouter l'équation (3) :
  \[
  3(x - y - 2z) + (-3x - y + z) = 3(1) + 1
  \]
  \[
  3x - 3y - 6z - 3x - y + z = 3 + 1
  \]
  \[
  -4y - 5z = 4 \quad \text{(5)}
  \]
  
  2. **Étape 2** : Résoudre le sous-système formé par les équations (4) et (5).
  
  - Les équations (4) et (5) sont :
  \[
  \begin{cases}
  -4y - 5z = 3 \quad \text{(4)} \\
  -4y - 5z = 4 \quad \text{(5)}
  \end{cases}
  \]
  
  - En soustrayant (4) de (5), on obtient :
  \[
  0 = 1
  \]
  Ce qui est impossible.
  
  Le système n'a **aucune solution**. Les équations sont incompatibles.
  
  \[
  \boxed{\text{Le système n'a pas de solution.}}
  \]
Select section Exercice 12

Exercice 12
- Select activity Résolution dans \( \mathbb{R}^3 \) Nous résolvons ...
  
  Résolution dans \( \mathbb{R}^3 \)
  
  Nous résolvons dans \( \mathbb{R}^3 \) le système suivant :
  
  \[
  (E)
  \begin{cases}
  2x - 3y = 2 \quad \text{(1)} \\
  y + 3z = 17 \quad \text{(2)}
  \end{cases}
  \]
  
  - Résolution :
  
  1. **Étape 1** : Exprimer \( y \) en fonction de \( x \) à partir de l'équation (1).
  
  - De l'équation (1) :
  \[
  2x - 3y = 2
  \]
  \[
  -3y = 2 - 2x
  \]
  \[
  y = \frac{2x - 2}{3} \quad \text{(3)}
  \]
  
  2. **Étape 2** : Exprimer \( z \) en fonction de \( y \) à partir de l'équation (2).
  
  - De l'équation (2) :
  \[
  y + 3z = 17
  \]
  \[
  3z = 17 - y
  \]
  \[
  z = \frac{17 - y}{3} \quad \text{(4)}
  \]
  
  3. **Étape 3** : Substituer \( y \) de l'équation (3) dans l'équation (4).
  
  - Substituer \( y = \frac{2x - 2}{3} \) dans l'équation (4) :
  \[
  z = \frac{17 - \left( \frac{2x - 2}{3} \right)}{3}
  \]
  \[
  z = \frac{17 \cdot 3 - (2x - 2)}{9}
  \]
  \[
  z = \frac{51 - 2x + 2}{9}
  \]
  \[
  z = \frac{53 - 2x}{9}
  \]
  
  4. **Étape 4** : Exprimer les solutions en fonction d'un paramètre libre.
  
  - Le système est sous-déterminé, donc nous exprimons les solutions en fonction de \( x \), qui est un paramètre libre.
  
  - Les solutions sont :
  \[
  \begin{cases}
  x = x \quad \text{(paramètre libre)} \\
  y = \frac{2x - 2}{3} \\
  z = \frac{53 - 2x}{9}
  \end{cases}
  \]
  
  Les solutions du système sont paramétrées par \( x \in \mathbb{R} \) :
  \[
  \boxed{(x, y, z) = \left( x, \frac{2x - 2}{3}, \frac{53 - 2x}{9} \right)}
  \]
Select section Exercice 13

Exercice 13
- Select activity SERIE NON RESOLU
  
  Résoudre dans \( \mathbb{R}^3 \) le système suivant :
  
  \[
  (E)
  \begin{cases}
  x + y = -2 \quad \text{(1)} \\
  2x - 3y = -9 \quad \text{(2)}
  \end{cases}
  \]
  
  Résoudre dans \( \mathbb{R}^3 \) le système suivant :
  
  \[
  (S)
  \begin{cases}
  2ax - by = 3 \quad \text{(1)} \\
  ax + by = 2 \quad \text{(2)}
  \end{cases}
  \]
  
  où \( a \) et \( b \) sont deux nombres réels.
  
  Résoudre dans \( \mathbb{R}^3 \) le système suivant :
  
  \[
  \begin{cases}
  x - y - 2z = 1 \quad \text{(1)} \\
  2x + 3y + z = -1 \quad \text{(2)} \\
  -3x - y + z = 1 \quad \text{(3)}
  \end{cases}
  \]
  
  Résoudre dans \( \mathbb{R}^3 \) le système suivant :
  
  \[
  \begin{cases}
  3x - 2y = 17 \quad \text{(1)} \\
  -x + y = 6 \quad \text{(2)}
  \end{cases}
  \]
  
  Résoudre dans \( \mathbb{R}^3 \) le système suivant :
  
  \[
  \begin{cases}
  3x - 2y = 17 \quad \text{(1)} \\
  -x + y = 6 \quad \text{(2)}
  \end{cases}
  \]
  
  Résoudre dans \( \mathbb{R}^3 \) le système suivant :
  
  \[
  \begin{cases}
  e^{x-1} + e^y = 2 \quad \text{(1)} \\
  e^x - e^{y+1} = 0 \quad \text{(2)}
  \end{cases}
  \]
  
  Résoudre dans \( \mathbb{R}^3 \) le système suivant :
  
  \[
  \begin{cases}
  x + 2y = 8 \quad \text{(1)} \\
  2x + y = -2 \quad \text{(2)}
  \end{cases}
  \]
  
  Résoudre dans \( \mathbb{R}^3 \) le système suivant :
  
  \[
  \begin{cases}
  \frac{1}{x} + 2|y| = 3 \quad \text{(1)} \\
  \frac{3}{x} - |y| = -5 \quad \text{(2)}
  \end{cases}
  \]
  
  Résoudre dans \( \mathbb{R}^3 \) le système suivant :
  \[
  \begin{cases}
  \frac{x^2}{y} + \frac{y^2}{x} = 0 \quad \text{(1)} \\
  xy = -1 \quad \text{(2)}
  \end{cases}
  \]
  
  Résoudre dans \( \mathbb{R}^3 \) le système suivant :
  
  \[
  \begin{cases}
  4x - 2y + 6 = 0 \quad \text{(1)} \\
  4x + 3y - 1 = 0 \quad \text{(2)}
  \end{cases}
  \]
  
  Résoudre dans \( \mathbb{R}^3 \) le système suivant :
  
  \[
  \begin{cases}
  2x - y + 3 = 0 \quad \text{(1)} \\
  4x + 3y - 1 = 0 \quad \text{(2)}
  \end{cases}
  \]