\[
\boxed{ Exercice 1: }
\]
Dans un repère orthonormé \((O, I, J)\), on considère les points :  
\( A(4, 6) \), \( B(2, 2) \), \( C(-1, -4) \) et \( D(-4, 0) \).

        *Calculer les longueurs \( AB \), \( BC \) et \( AC \).
        *En déduire que les points \( A \), \( B \) et \( C \) sont alignés.

    *Calculer la distance \( AD \).
    *La parallèle à la droite \( (DC) \) passant par \( B \) coupe \( (AD) \) en \( E \). Déterminer \( AE \).

\[
\boxed{ Exercice 2: }
\]
Dans un repère orthonormé \((O, I, J)\), on considère les points :  
\( E(0, -5) \), \( F(-6, -7) \), \( G(-4, -1) \) et \( H(2, 1) \).

    *Tracer la figure.
    *Calculer les coordonnées des vecteurs \( \overrightarrow{EF} \) et \( \overrightarrow{HG} \).
    *Déterminer les longueurs \( EH \) et \( FG \).
    *Montrer que le quadrilatère \( EFGH \) est un losange.

\[
\boxed{ Exercice 3 : }
\]
Dans un repère orthonormé, on considère les points :  
\( E(-2, \frac{7}{2}) \), \( F(-5, 2) \), \( G(\frac{-13}{2}, -5) \) et \( H(\frac{-5}{2}, -3) \).

        *Déterminer les coordonnées des vecteurs \( \overrightarrow{EF} \) et \( \overrightarrow{HG} \).
        *En déduire que \( EFGH \) est un trapèze.

    *Soit \( M \) le point tel que :
    \[
    \overrightarrow{EM} = \frac{3}{4} \overrightarrow{HM}
    \]
    Montrer que les coordonnées de \( M \) sont \( \left(\frac{-1}{2}, 23\right) \).
    *Vérifier si les points \( M \), \( F \) et \( G \) sont alignés.
    *

        *Soient \( A \) et \( B \) les milieux respectifs de \( [EF] \) et \( [HG] \). Déterminer leurs coordonnées.
        *Montrer que les points \( M \), \( A \) et \( B \) sont alignés.
   

\[
\boxed{ Exercice 4: }
\]
Le plan est muni d'un repère orthonormé \((O, I, J)\) (l'unité est le centimètre).

    *Placer les points \( A(4, 5) \), \( B(0, -3) \) et \( C(-6, 0) \).

        *Montrer que :
        \[
        AB = \sqrt{60}, \quad AC = \sqrt{125}, \quad BC = \sqrt{45}.
        \]
        *En déduire que \( ABC \) est un triangle rectangle.


        *Construire le point \( D \) tel que :
        \[
        \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}.
        \]
        *Démontrer que \( ABCD \) est un rectangle.
        *Calculer les coordonnées de \( \overrightarrow{AB} \).
        *Vérifier que les coordonnées du point \( D \) sont bien \( (-2, 8) \).

        *Calculer les coordonnées du milieu \( K \) du segment \( [AC] \).
        *Que représente le point \( K \) pour le rectangle \( ABCD \) ?

    *Déterminer le centre et le rayon du cercle circonscrit au triangle \( ABC \). Justifier.
    *Montrer que le point \( D \) appartient au cercle \( (C) \).