Ensembles de nombres ℕ, ℤ, ℚ, 𝔻, ℝ: 📚 Exercices – Ensembles de nombres | SeeDocx

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🔢 Les nombres entiers naturels (ℕ)

📖 Définition :
Un nombre entier naturel est un nombre entier qui est positif. L'ensemble des nombres entiers naturels est noté \( \mathbb{N} \).

📌 Exemples :
✓ \( 0 \in \mathbb{N} \) ✓ \( 3 \in \mathbb{N} \) ✓ \( 112 \in \mathbb{N} \)
✗ \( -2 \notin \mathbb{N} \) ✗ \( 3{,}9 \notin \mathbb{N} \) ✗ \( \pi \notin \mathbb{N} \) ✗ \( \frac{4}{3} \notin \mathbb{N} \)

\( \mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots\} \)

🔢 Les nombres entiers relatifs (ℤ)

📖 Définition :
Un nombre entier relatif est un nombre entier qui est positif ou négatif. L'ensemble des nombres entiers relatifs est noté \( \mathbb{Z} \).

📌 Exemples :
✓ \( 3 \in \mathbb{Z} \) ✓ \( -2 \in \mathbb{Z} \)
✗ \( 3{,}9 \notin \mathbb{Z} \) ✗ \( \pi \notin \mathbb{Z} \) ✗ \( \frac{4}{3} \notin \mathbb{Z} \)

\( \mathbb{Z} = \{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots\} \)

🔢 Les nombres décimaux (𝔻)

📖 Définition :
Un nombre décimal est un nombre qui s'écrit avec un nombre fini de chiffres après la virgule. Il s'écrit également sous la forme \( \frac{a}{10^p} \), avec \( a \) entier et \( p \) entier naturel. L'ensemble des nombres décimaux est noté \( \mathbb{D} \).

📌 Exemples :
✓ \( 0{,}27 \in \mathbb{D} \) ✓ \( 3 \in \mathbb{D} \) ✓ \( -\frac{3}{2} = -1{,}5 \in \mathbb{D} \)
✗ \( \pi \notin \mathbb{D} \) ✗ \( \frac{1}{3} \notin \mathbb{D} \) ✗ \( \sqrt{3} \notin \mathbb{D} \)

🔢 Les nombres rationnels (ℚ)

📖 Définition :
Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous la forme d'un quotient \( \frac{a}{b} \), avec \( a \) et \( b \) entiers relatifs et \( b \neq 0 \). L'ensemble des nombres rationnels est noté \( \mathbb{Q} \).

📌 Exemples :
✓ \( 0{,}27 = \frac{27}{100} \in \mathbb{Q} \) ✓ \( -3 = \frac{-3}{1} \in \mathbb{Q} \) ✓ \( \frac{1}{3} \in \mathbb{Q} \)
✗ \( \pi \notin \mathbb{Q} \) ✗ \( \sqrt{5} \notin \mathbb{Q} \)

🔢 Les nombres réels (ℝ)

📖 Définition :
L'ensemble des nombres réels est l'ensemble de tous les nombres utilisés en classe de seconde. Il contient tous les nombres rationnels et les nombres irrationnels (comme \( \pi \), \( \sqrt{2} \), etc.). L'ensemble des nombres réels est noté \( \mathbb{R} \).

📌 Exemples :
✓ \( 0{,}27 \in \mathbb{R} \) ✓ \( -3 \in \mathbb{R} \) ✓ \( \frac{1}{3} \in \mathbb{R} \) ✓ \( \pi \in \mathbb{R} \) ✓ \( \sqrt{5} \in \mathbb{R} \) ✓ \( 7 \in \mathbb{R} \)

📖 Notations particulières :
• \( \mathbb{R}^+ \) : ensemble des nombres réels positifs
• \( \mathbb{R}^- \) : ensemble des nombres réels négatifs
• \( \mathbb{R}^* \) : ensemble des nombres réels sauf zéro

📊 Inclusion des ensembles

\[ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \]

📖 Rappel : \( A \subset B \) signifie que tous les éléments de \( A \) sont aussi des éléments de \( B \).

📌 Exemples :
• \( 5 \in \mathbb{N} \) donc \( 5 \in \mathbb{Z} \), \( 5 \in \mathbb{D} \), \( 5 \in \mathbb{Q} \), \( 5 \in \mathbb{R} \)
• \( -3 \in \mathbb{Z} \) mais \( -3 \notin \mathbb{N} \)
• \( 0{,}5 \in \mathbb{D} \) mais \( 0{,}5 \notin \mathbb{Z} \)
• \( \frac{1}{3} \in \mathbb{Q} \) mais \( \frac{1}{3} \notin \mathbb{D} \)
• \( \pi \in \mathbb{R} \) mais \( \pi \notin \mathbb{Q} \)

2. 📚 Exercices – Ensembles de nombres

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📌 Exercice 1

Indiquer, dans chacun des cas, si le nombre appartient ou pas à chacun des ensembles proposés en rajoutant dans chaque case : ✓ (appartient) ou ✗ (n'appartient pas).

Nombre	ℕ	ℤ	𝔻	ℚ	ℝ
3
18/3
2 × 10⁻²
22/5
28/34
5/6
π/5
√1,44
-√64

📌 Exercice 2

Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.

1. Tout nombre réel est un nombre rationnel.

2. 0,5 est un nombre rationnel.

3. Le carré d’un nombre irrationnel n’est jamais rationnel.

4. Il n’existe aucun nombre réel qui ne soit pas un nombre décimal.

5. Le quotient de deux nombres décimaux non nuls est également un nombre décimal.

6. L’inverse d’un nombre décimal peut être un nombre entier.

7. Il existe deux nombres rationnels dont la somme est un nombre entier.

✅ Corrigé

Exercice 1 – Corrigé :

Nombre	ℕ	ℤ	𝔻	ℚ	ℝ
3	✓	✓	✓	✓	✓
18/3 = 6	✓	✓	✓	✓	✓
2 × 10⁻² = 0,02	✗	✗	✓	✓	✓
22/5 = 4,4	✗	✗	✓	✓	✓
28/34 = 14/17	✗	✗	✗	✓	✓
5/6	✗	✗	✗	✓	✓
π/5	✗	✗	✗	✗	✓
√1,44 = 1,2	✗	✗	✓	✓	✓
-√64 = -8	✗	✓	✓	✓	✓

Exercice 2 – Corrigé :

1. ✗ Faux – Exemple : π ∈ ℝ mais π ∉ ℚ.

2. ✓ Vrai – 0,5 = 1/2 ∈ ℚ.

3. ✗ Faux – Contre-exemple : √2 est irrationnel mais (√2)² = 2 ∈ ℚ.

4. ✗ Faux – Contre-exemple : π ∈ ℝ mais π ∉ 𝔻.

5. ✗ Faux – Contre-exemple : 1/3 = 0,333... (décimal ? non, c'est 1/3 ∈ ℚ \ 𝔻).

6. ✓ Vrai – Exemple : l'inverse de 0,5 est 2 (entier).

7. ✓ Vrai – Exemple : 1/3 + 2/3 = 1 (entier).

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