A) Généralités sur les vecteurs Soient \(A\) et \(B\) deux points du plan \((\mathcal{P})\). Un vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est défini par trois données : sa direction : celle de la droite \((AB)\) ; son sens : de \(A\) vers \(B\) ; sa norme (longueur) : la distance \(AB\), notée \(\|\overrightarrow{AB}\| = AB\). Remarque : Si \(A = B\), le vecteur est nul : \(\overrightarrow{AA} = \vec{0}\). Deux vecteurs sont égaux s'ils ont même direction, même sens et même norme. \(\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BA}\) (les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BA}\) sont opposés). Somme de deux vecteurs a) Relation de Chasles : Soient \(A, B, C\) trois points du plan. \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}. \] b) Règle du parallélogramme : La somme des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) est le vecteur \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\) tel que \(ABCD\) est un parallélogramme. B) Produit d’un vecteur par un réel Définition : On appelle produit du vecteur \(\vec{u}\) par le réel \(k\) le vecteur noté \(k\vec{u}\) : de même direction que \(\vec{u}\) ; de même sens que \(\vec{u}\) si \(k > 0\), de sens contraire si \(k < 0\) ; de norme égale à \(|k|\) fois la norme de \(\vec{u}\). 2) Notion de colinéarité Définition : Deux vecteurs non nuls \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires s'il existe un réel \(k\) tel que \(\vec{u} = k\vec{v}\). Propriétés : Soient \(A, B, C, D\) des points deux à deux distincts. \((AB) \parallel (CD)\) ⇔ \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont colinéaires. \(A, B, C\) alignés ⇔ \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires. 3) Milieu d’un segment Propriétés : Si \(I\) est le milieu du segment \([AB]\), alors : \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}\) \(\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB}\) \(\overrightarrow{AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\) Caractérisation du milieu : \(I\) est le milieu de \([AB]\) si et seulement si pour tout point \(M\) du plan : \[ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2 \overrightarrow{MI}. \] 📌 Résumé de cours : vecteurs, somme, produit par un réel, colinéarité, milieu. Toutes les expressions sont en MathML. Protection anti-copie active.