Exercices : Barycentre, Parallélogramme, Centre de gravité


 Barycentre ⭐⭐ Moyen
📌 Énoncé

Soient \(A\) et \(B\) deux points tels que \(AB = 5 \, \text{cm}\).

Soit \(M\) le point défini par :

\[ -5\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB} = \vec{0} \]

Déterminer le vecteur \(\overrightarrow{AM}\) en fonction du vecteur \(\overrightarrow{AB}\) et construire le point \(M\).

✅ Corrigé

On a \(-5\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB} = \vec{0}\)

\[ -5\overrightarrow{MA} + 3(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB}) = \vec{0} \]
\[ -5\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{AB} = \vec{0} \]
\[ -2\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{AB} = \vec{0} \]
\[ 2\overrightarrow{AM} + 3\overrightarrow{AB} = \vec{0} \]
\[ \overrightarrow{AM} = -\frac{3}{2}\overrightarrow{AB} \]

Donc \(M\) est sur la droite \((AB)\) tel que \(AM = \frac{3}{2}AB = 7,5\,cm\) et \(M\) est du côté opposé à \(B\) par rapport à \(A\).


Parallélogramme ⭐⭐⭐ Moyen+
📌 Énoncé

Soit \(ABCD\) un parallélogramme de centre \(I\).

1) Construire le point \(M\) tel que \(\overrightarrow{IM} = \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{ID}\) et le point \(N\) tel que \(\overrightarrow{IN} = \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC}\).

2) Démontrer que \(\overrightarrow{IM} + \overrightarrow{IN} = \vec{0}\). Que peut-on en déduire ?

3) Justifier les deux égalités suivantes : \(\overrightarrow{BN} = \overrightarrow{IC}\) et \(\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{AI}\). En déduire la nature du quadrilatère \(ABNI\).

✅ Corrigé

1) Construction sur figure.

N1

2) \(\overrightarrow{IM} = \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{ID}\) et \(\overrightarrow{IN} = \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC}\)

En additionnant : \(\overrightarrow{IM} + \overrightarrow{IN} = \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID}\)

Comme \(I\) est le centre du parallélogramme, \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IC} = \vec{0}\) et \(\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{ID} = \vec{0}\)

\[ \overrightarrow{IM} + \overrightarrow{IN} = \vec{0} \]

Donc \(I\) est le milieu de \([MN]\).

3) \(\overrightarrow{BN} = \overrightarrow{BI} + \overrightarrow{IN} = \overrightarrow{ID} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} = \overrightarrow{IC}\)

\(\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{AI}\) car \(I\) centre du parallélogramme.

Donc \(ABNI\) est un parallélogramme.


Parallélisme ⭐⭐ Moyen
📌 Énoncé

Soit \(ABC\) un triangle.

1) Placer le point \(E\) tel que \(\overrightarrow{AE} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB}\).

2) Placer le point \(F\) tel que \(\overrightarrow{AF} = 3\overrightarrow{AC}\).

3) Démontrer que les droites \((CE)\) et \((FB)\) sont parallèles.

✅ Corrigé

1) et 2) Construction sur figure.

3) Exprimons \(\overrightarrow{CE}\) et \(\overrightarrow{FB}\) :

\[ \overrightarrow{CE} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AE} = -\overrightarrow{AC} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} \]
\[ \overrightarrow{FB} = \overrightarrow{FA} + \overrightarrow{AB} = -3\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB} \]

On remarque que \(\overrightarrow{FB} = 3\overrightarrow{CE}\), donc les vecteurs sont colinéaires.

Par conséquent, \((CE) \parallel (FB)\).

Centre de gravité ⭐⭐⭐ Difficile
📌 Énoncé

Soit \(PQR\) un triangle de centre de gravité \(G\).

Soient les points \(I, J\) et \(K\) tels que :

\[ \overrightarrow{GI} = -3\overrightarrow{GP}, \quad \overrightarrow{GJ} = -3\overrightarrow{GQ}, \quad \overrightarrow{GK} = -3\overrightarrow{GR} \]

1) Faire une figure.

2) Démontrer que \(G\) est le centre de gravité du triangle \(IJK\).

✅ Corrigé

1) Construction sur figure.

2) On a \(\overrightarrow{GI} = -3\overrightarrow{GP}\), donc \(\overrightarrow{GP} = -\frac{1}{3}\overrightarrow{GI}\)

De même, \(\overrightarrow{GQ} = -\frac{1}{3}\overrightarrow{GJ}\) et \(\overrightarrow{GR} = -\frac{1}{3}\overrightarrow{GK}\)

Comme \(G\) est le centre de gravité de \(PQR\) :

\[ \overrightarrow{GP} + \overrightarrow{GQ} + \overrightarrow{GR} = \vec{0} \]

En remplaçant :

\[ -\frac{1}{3}\overrightarrow{GI} - \frac{1}{3}\overrightarrow{GJ} - \frac{1}{3}\overrightarrow{GK} = \vec{0} \]
\[ \overrightarrow{GI} + \overrightarrow{GJ} + \overrightarrow{GK} = \vec{0} \]

Donc \(G\) est le centre de gravité du triangle \(IJK\).

Modifié le: mercredi 10 juin 2026, 13:14