Tronc commun Sciences BIOF

📌 Exercice 1

1) Développer, réduire puis ordonner l'expression :
\[ A(x) = (2x - 1)(x + 2)(x - 3) \]
2) Soit le polynôme défini par : \(f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 11x + 6\). Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'équation :
\[ 2x^3 - 3x^2 - 11x + 6 = 0 \]

📌 Exercice 2

On considère le polynôme \(P\) défini par : \(P(x) = -3x^3 + 6x^2 + 3x- 6\).

1) Vérifier que \(-1\) est une racine de \(P\). En déduire une factorisation de \(P(x)\).
2) Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'équation \(P(x) = 0\) et l'inéquation \(P(x) > 0\).

📌 Exercice 3

On donne : \(P(x) = x^4 + x^3 - 7x^2 - x + 6\) et \(Q(x) = -x^3 + 3x +2\).

1) Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations : \(P(x) = 0\) et \(Q(x) = 0\).
2) Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'inéquation :

📌 Exercice 4

1) Déterminer le réel \(a\) pour que l'on puisse mettre \(x + 2\) en facteur dans le polynôme \(p\) tel que :
\[ p(x) = 2x^3 + 12x^2 + ax - 84 \]
2) Factoriser le polynôme \(p\).
3) Résoudre l'inéquation \(p(x) > 0\).

📌 Exercice 5

Factoriser le trinôme \(x^2 - x - 2\).

Déterminer les réels \(a\) et \(b\) pour que le polynôme \(P(x) = 3x^4 - 2x^3 - 6x^2 + ax + b\) soit divisible par le polynôme \(x^2 - x - 2\).

1) Factoriser \(P(x)\).
2) Résoudre l'inéquation \(P(x) \leq 0\).

📌 Exercice 6

Soit \(P\) la fonction polynôme définie par \(P(x) = x^4 + 2x^3 - 16x^2 - 2x + 15\).

1) a) Calculer \(P(1)\) et \(P(-1)\) puis mettre \(P(x)\) sous la forme d'un produit de facteurs du premier degré.
b) Résoudre dans \(\mathbb{R}\), \(P(x) = 0\) et \(P(x) \leq 0\).
2) Soit \(F\) la fonction rationnelle définie par \(F(x) = \frac{P(x)}{-2x^2 + 5x - 6}\).
a) Déterminer le domaine de définition \(D_F\) de \(F\).
b) Simplifier \(F(x)\) pour tout \(x \in D_F\).
c) Résoudre dans \(\mathbb{R}\), \(F(x) = 0\) et \(F(x) \leq 0\).