- Tronc commun Sciences BIOF

📌 Exercice 1

Déterminer les polynômes parmi ce qui suit :
\[ P(x) = 3x^4 - 2x^2 + 5x - 1 \]
\[ Q(x) = -5x^3 + 2x\sqrt{x} - 3x + 7 \]
\[ R(x) = \frac{1}{2}x^2 + 5x + \frac{4}{3} \]
\[ S(x) = 3x^4 - 6x^3 + x - \frac{2}{x} + 7 \]

📌 Exercice 2

Dire si les polynômes sont égaux ou non dans chacun des cas suivants :
1) \(P(x) = 3x^4 + 5x^3 - x^2 + 7x + 12\) et \(Q(x) = x^2(3x^2 + 5x - 8) + x(7x + 7) + 12\)
2) \(P(x) = 4x^3 - 3x^2 + 6x + 13\) et \(Q(x) = (x + 1)(4x^2 - 7x + 13)\)
3) \(P(x) = (2x - 3)(3x^2 + x + 2)\) et \(Q(x) = (x + 1)(2x^2 - 9x + 7)\)

📌 Exercice 3

On considère le polynôme défini par : \(P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6\).

1) Calculer : \(P(1)\), \(P(4)\), \(P(-3)\), \(P(-2)\).
2) Déterminer le reste de la division euclidienne de \(P(x)\) par : \(x - 1\), \(x - 4\), \(x + 3\), \(x + 2\).

📌 Exercice 4

Soit \(P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5x - 4\).

1) Calculer \(P(1)\).
2) Déterminer les réels \(a\), \(b\) et \(c\) tels que, pour tout réel \(x\) on a \(P(x) = (x - 1)(ax^2 + bx + c)\).

📌 Exercice 5

Soit le polynôme \(P(x) = 2x^3 - 7x^2 + 7x - 2\).

1) Montrer que 2 est une racine du polynôme \(P\).
2) Montrer que si \(\alpha\) est une racine du polynôme \(P\), alors \(\frac{1}{\alpha}\) est aussi une racine de \(P\).
3) Déterminer toutes les racines du polynôme \(P\).

📌 Exercice 6

Soit \(P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6\).

1) Montrer que \(P(x)\) est divisible par \(x - 1\).
2) Déterminer deux réels \(b\) et \(c\) tels que, pour tout réel \(x\) on a : \(P(x) = (x - 1)(x^2 + bx + c)\).
3) Résoudre l'équation \(P(x) = 0\).
4) Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'inéquation \(P(x) \geq 0\) et en déduire le signe de \(P(2 - \sqrt{3})\).

📌 Exercice 7

1) a) Déterminer un polynôme \(P\) de degré 2 tel que, pour tout \(x \in \mathbb{R}\) on a : \(P(x + 1) - P(x) = x\).
b) Déduire, en fonction de \(n\), la valeur de \(S_1 = 1 + 2 + 3 + \dots + n\), où \(n \in \mathbb{N}^*\).
2) a) Déterminer un polynôme \(P\) de degré 3 tel que, pour tout \(x \in \mathbb{R}\) on a : \(P(x + 1) - P(x) = x^2\).
b) Déduire, en fonction de \(n\), la valeur de \(S_2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2\), où \(n \in \mathbb{N}^*\).
3) a) Déterminer un polynôme \(P\) de degré 4 tel que, pour tout \(x \in \mathbb{R}\) on a : \(P(x + 1) - P(x) = x^3\).