📐 الإسقاط - ب- سطح طبقه

Tronc commun Sciences BIOF | Projection orthogonale sur un plan
📚 Cours : الإسقاط على مستقيم - Projection sur une droite (Section 2)
📍 1- تعريف الإسقاط
📖 الإسقاط على مستقيم بتواز مع مستقيم آخر

ليكن \(D\) و \(\Delta\) مستقيمين متقاطعين.

الإسقاط على \(D\) بتواز مع \(\Delta\) هو تطبيق يحول كل نقطة \(M\) من المستوى إلى النقطة \(M'\) حيث :

  • \(M' \in D\)
  • \((MM') \parallel (\Delta)\)
\[ p: M \mapsto M' \quad \text{avec} \quad M' = D \cap \text{parallèle à } \Delta \text{ passant par } M \]
✅ التوضيح

البناء الهندسي :

  • نمرر من النقطة \(M\) مستقيماً يوازي \(\Delta\).
  • هذا المستقيم يقطع \(D\) في نقطة وحيدة \(M'\).
  • \(M'\) يسمى مسقط \(M\) على \(D\) بتواز مع \(\Delta\).

ملاحظة : إذا كانت \(M \in D\) فإن \(M' = M\).

📌 2- الإسقاط العمودي
📖 تعريف الإسقاط العمودي

إذا كان \(\Delta \perp D\)، فإن الإسقاط على \(D\) بتواز مع \(\Delta\) يسمى الإسقاط العمودي.

\[ MM' \perp D \quad \text{et} \quad M' \in D \]
✅ خصائص الإسقاط العمودي
  • \(M'\) هو أقرب نقطة على \(D\) إلى \(M\).
  • \(MM'\) هو البعد بين \(M\) والمستقيم \(D\).
  • \(M'\) هو نقطة تقاطع \(D\) مع العمودي على \(D\) المار من \(M\).
🔧 3- خاصيات الإسقاط
⭐ الخاصية 1 : الحفاظ على الاستقامية

الإسقاط يحافظ على الاستقامية :

\[ \text{Si } A, B, C \text{ مستقيمية} \quad \Rightarrow \quad A', B', C' \text{ مستقيمية} \]
✅ توضيح

إذا كانت النقط \(A, B, C\) على استقامة واحدة، فإن مساقطها \(A', B', C'\) تكون أيضاً على استقامة واحدة (على \(D\)).

السبب : المستقيم \((AB)\) يسقط على \(D\) كنقطة تقاطع مع \(D\).

⭐ الخاصية 2 : الحفاظ على التوازي

الإسقاط يحافظ على التوازي :

\[ \text{Si } (AB) \parallel (CD) \quad \Rightarrow \quad (A'B') \parallel (C'D') \]
✅ توضيح

إذا كان مستقيمان متوازيين، فإن مسقطيهما يكونان متوازيين (أو منطبقين).

ملاحظة : هذه الخاصية صحيحة فقط إذا كان اتجاه الإسقاط غير موازي للمستقيمين.

⭐ الخاصية 3 : الحفاظ على النسبة

الإسقاط يحافظ على النسب (مبرهنة طاليس المتجهية) :

\[ \text{Si } \overrightarrow{AC} = \lambda \overrightarrow{AB} \quad \Rightarrow \quad \overrightarrow{A'C'} = \lambda \overrightarrow{A'B'} \]
✅ توضيح

هذه الخاصية تعني أن الإسقاط هو تطبيق خطي :

  • يحافظ على العلاقات الخطية بين المتجهات.
  • يحافظ على معامل الاستقامية \(\lambda\).
📐 4- مبرهنة طاليس المتجهية
✈️ مبرهنة طاليس المباشرة متجهياً

ليكن \(D\) و \(\Delta\) مستقيمين متقاطعين، و \(A, B, C\) ثلاث نقط مستقيمية حيث \(A \neq B\).

إذا كان \(A', B', C'\) هي مساقط \(A, B, C\) على \(D\) بتواز مع \(\Delta\)، وكان :

\[ \overrightarrow{A'C'} = \lambda \overrightarrow{A'B'} \]

فإن :

\[ \overrightarrow{AC} = \lambda \overrightarrow{AB} \]
✅ مثال

المعطيات : \(A(0,0)\), \(B(2,2)\), \(C(4,4)\)

لدينا : \(\overrightarrow{AC} = (4,4) = 2 \times (2,2) = 2 \overrightarrow{AB}\)

الإسقاط على محور \(x\) (أي \(D\) : محور الفواصل) بتواز مع محور \(y\) :

\(A'(0,0)\), \(B'(2,0)\), \(C'(4,0)\)

لدينا : \(\overrightarrow{A'C'} = (4,0) = 2 \times (2,0) = 2 \overrightarrow{A'B'}\)

✅ تحقق المبرهنة : \(\lambda = 2\) محفوظ.

🎯 الإسقاط و تساوي متجهتين

إذا كان \(\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB}\)، فإن :

\[ \overrightarrow{C'D'} = \overrightarrow{A'B'} \]
✅ توضيح

الإسقاط يحافظ على تساوي المتجهات لأنه تطبيق خطي :

\(\overrightarrow{C'D'} = p(\overrightarrow{CD}) = p(\overrightarrow{AB}) = \overrightarrow{A'B'}\)

حيث \(p\) هو الإسقاط.

📏 الإسقاط ومعامل الاستقامية لمتجهتين

إذا كان \(\vec{u} = k \vec{v}\)، فإن :

\[ \vec{u'} = k \vec{v'} \]

حيث \(\vec{u'}\) و \(\vec{v'}\) هما مسقطا \(\vec{u}\) و \(\vec{v}\).

✅ توضيح

معامل الاستقامية \(k\) محفوظ بالإسقاط. هذه الخاصية تعميم للمبرهنتين السابقتين.

تطبيق : لدراسة استقامية متجهتين، يمكن إسقاطهما على محور مناسب لتسهيل الدراسة.

📝 ملخص الدرس

🎓 ما يجب تذكره :

  • ✅ الإسقاط هو تطبيق يحافظ على الاستقامية و التوازي و النسب.
  • ✅ الإسقاط العمودي هو حالة خاصة حيث يكون اتجاه الإسقاط عمودياً على المستقيم.
  • ✅ مبرهنة طاليس المتجهية : \(\overrightarrow{AC} = \lambda \overrightarrow{AB} \Rightarrow \overrightarrow{A'C'} = \lambda \overrightarrow{A'B'}\).
  • ✅ الإسقاط هو تطبيق خطي : يحافظ على تساوي المتجهات ومعامل الاستقامية.
✅ تمرين مع الحل

التمرين :

في المستوى، لدينا المستقيم \(D\) : \(y = 0\) (محور الفواصل) و \(\Delta\) : \(x = 1\) (مستقيم عمودي).

1. أحسب مسقط النقطة \(M(3,5)\) على \(D\) بتواز مع \(\Delta\).

2. هل هذا الإسقاط عمودي؟ لماذا؟

3. إذا كان \(\overrightarrow{AB} = (2,4)\)، أحسب \(\overrightarrow{A'B'}\).

الحل :

1. \(\Delta\) : \(x = 1\) (مستقيم عمودي). المستقيم الموازي لـ \(\Delta\) والمتر من \(M\) هو \(x = 3\).

تقاطع \(x = 3\) مع \(D\) : \(y = 0\) يعطي \(M'(3,0)\).

2. نعم، لأن \(\Delta \perp D\) (\(\Delta\) عمودي، \(D\) أفقي).

3. الإسقاط يحافظ على المتجهات : \(\overrightarrow{A'B'} = (2,0)\) (مركبة \(y\) تصبح 0).

Modifié le: dimanche 14 juin 2026, 17:27