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⚡ Détermination d'une force électrostatique

 

La boule chargée d'une pendule électrostatique, de poids \( P = 0{,}03 \, \text{N} \), est repoussée par un corps chargé.
À l'équilibre, le fil du pendule fait un angle \( \alpha = 6^\circ \) avec la verticale. On suppose que la force d'origine électrique s'exerçant sur la boule est horizontale.

Déterminer :
1. La force électrique \( \vec{F} \) exercée sur la boule.
2. La tension \( \vec{T} \) du fil.

📝 Corrigé détaillé

📌 1. Bilan des forces extérieures

Le système étudié est la boule du pendule. Les forces qui s'exercent sur elle sont :

  • Le poids \( \vec{P} \), vertical vers le bas, d'intensité \( P = 0{,}03 \, \text{N} \).
  • La tension \( \vec{T} \) du fil, dirigée le long du fil, vers le point d'attache.
  • La force électrique \( \vec{F} \), horizontale (car la boule est repoussée par un corps chargé placé latéralement).
 
 
⚖️ 2. Condition d'équilibre

À l'équilibre, la somme vectorielle des forces est nulle :

\[ \vec{P} + \vec{F} + \vec{T} = \vec{0} \]

En projetant sur les axes horizontal (x) et vertical Oui :

  • Sur \(x\) : \( F - T \sin \alpha = 0 \) → \( F = T \sin \alpha \)
  • Sur \(y\) : \( T \cos \alpha - P = 0 \) → \( T \cos \alpha = P \)

📐 3. Expressions de T et F

De la projection verticale on tire :

\[ T = \frac{P}{\cos \alpha} \]

Puis, en remplaçant dans l'équation horizontale :

\[ F = T \sin \alpha = \frac{P}{\cos \alpha} \cdot \sin \alpha = P \cdot \tan \alpha \]
🧮 4. Application numérique

Données : \( P = 0{,}03 \, \text{N} \), \( \alpha = 6^\circ \).

\[ T = \frac{0{,}03}{\cos 6^\circ} \approx \frac{0{,}03}{0{,}9945} \approx 0{,}03016 \, \text{N} \]
\[ F = 0{,}03 \times \tan 6^\circ \approx 0{,}03 \times 0{,}1051 \approx 0{,}003153 \, \text{N} \]

Soit, avec deux chiffres significatifs :

  • \( \boxed{F \approx 3{,}15 \times 10^{-3} \, \text{N}} \)
  • \( \boxed{T \approx 3{,}02 \times 10^{-2} \, \text{N}} \)
📌 Remarque

Si l'angle \( \alpha \) est petit, on peut utiliser les approximations \(\cos \alpha \approx 1\) et \(\tan \alpha \approx \alpha\) (en radians), mais ici le calcul exact est préféré.

\[ \alpha_{\text{rad}} = 6 \times \frac{\pi}{180} \approx 0{,}1047 \ \text{rad} \quad\Rightarrow\quad \tan \alpha \approx 0{,}1051 \]

📌 Synthèse des résultats

\[ T = \frac{P}{\cos \alpha} \]
\[ F = P \cdot \tan \alpha \]
\[ \text{Application : } T \approx 0{,}0302 \ \text{N}, \quad F \approx 0{,}00315 \ \text{N} \]

La force électrique est donc environ 10 fois plus petite que le poids, ce qui justifie le faible angle d'écart.

🔧 Méthode graphique (polygone des forces)

À l'équilibre, la somme vectorielle des trois forces est nulle :

\[ \vec{P} + \vec{T} + \vec{F} = \vec{0} \]

Construisons le polygone des trois forces :

  • Depuis l'origine A de \(\vec{P}\), traçons la droite d’action (D₁) de \(\vec{T}\) inclinée de \(6^\circ\) par rapport à la verticale.
  • Depuis l’origine B de \(\vec{P}\), traçons la droite d’action (D₂) de \(\vec{F}\) (horizontale).
  • L’intersection des deux directions (point C) correspond à l’extrémité de \(\vec{F}\).

Avec une échelle adaptée, on peut mesurer graphiquement \(F\). On peut aussi déterminer \(F\) par le calcul :

\[ \tan \alpha = \frac{AC}{AB} = \frac{F}{P} \quad\Rightarrow\quad F = P \cdot \tan \alpha \]

Ce qui redonne bien l'expression déjà trouvée.

\[ F = 0{,}03 \times \tan(6^\circ) \approx 0{,}00315 \, \text{N} \]
\[ T = \frac{P}{\cos \alpha} = \frac{0{,}03}{\cos 6^\circ} \approx 0{,}0302 \, \text{N} \]