Concours FMPD 2023 · Corrigé

Faculté de Médecine, Pharmacie et Médecine Dentaire · 22 Juillet 2023 · QCM 01 à 14

QCM 01 nombres complexes

z = \sqrt{5} e^{- i π / 8}

A : z = \frac{\sqrt{10} + 5 \sqrt{2}}{2} - i \frac{\sqrt{10} - 5 \sqrt{2}}{2}

B : z = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} - i \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}

C : z = \frac{\sqrt{10} + 5 \sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{10} - 5 \sqrt{2}}{2}

D : z = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + i \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}

E : z = \frac{\sqrt{10} + 5 \sqrt{2}}{2} - i \frac{\sqrt{10} + 5 \sqrt{2}}{2}

✧ Correction

1ère méthode : - π / 2 < - π / 8 < 0 \Rightarrow Re (z) > 0 et Im (z) < 0 donc on élimine C et D.

On a aussi | \cos (- π / 8) | > | \sin (- π / 8) | donc on élimine E.

Choix A : | z | = \sqrt{{(\frac{\sqrt{10 + 5 \sqrt{2}}}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{10 - 5 \sqrt{2}}}{2})}^{2}} = \sqrt{5}

Choix B : | z | = \sqrt{{(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})}^{2}} = 1

Donc la réponse juste est A .

✅ Réponse A

QCM 02 puissance complexe

z = {(\frac{1}{\sqrt{2}} (1 - i \sqrt{3}))}^{18}

A : - 512

B : \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}

C : 512

D : 251

E : \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}

✧ Correction

\frac{1}{\sqrt{2}} (1 - i \sqrt{3}) = e^{- \frac{i π}{3}}

z = {(e^{- \frac{i π}{3}})}^{18} = e^{- 6 i π} = 1

✅ Réponse Aucune (z=1, non proposé)

QCM 03 ensemble de points

z + \frac{1}{z} \in i ℝ avec z \neq 1

A : droite (Ox) privée de (1,0)

B : droite (Oy) privée de (0,1)

C : cercle centre O rayon 1

D : droite (Ox)

E : cercle centre O rayon 1 privé de (1,0)

✧ Correction

z + \frac{1}{z} \in i ℝ ⇨ Re (z + \frac{1}{z}) = 0

Soit z = r e^{i θ} : z + \frac{1}{z} = e^{i θ} (r + \frac{1}{r})

Re = (r + \frac{1}{r}) \cos θ = 0 \Rightarrow \cos θ = 0 ou r = 1

\Rightarrow axe (Oy) \cup cercle unité, privé de (1,0) car z \neq 1

✅ Réponse E

QCM 04 suite produit

U_{n} = (1 - \frac{1}{2^{3}}) \times (1 - \frac{1}{3^{2}}) \times ... \times (1 - \frac{1}{n^{2}})

A : 1

B : 0

C : + \infty

D : \frac{1}{2}

E : limite n'existe pas

✧ Correction

1 - \frac{1}{k^{2}} = \frac{k^{2} - 1}{k^{2}} = \frac{(k - 1) (k + 1)}{k^{2}}

U_{n} = \frac{1 \times 3}{2^{2}} \times \frac{2 \times 4}{3^{2}} \times ... \times \frac{(n - 1) (n + 1)}{n^{2}} = \frac{n + 1}{2 n}

\lim_{n \to + \infty} U_{n} = \lim_{n \to + \infty} \frac{n + 1}{2 n} = \frac{1}{2}

✅ Réponse D

QCM 05 suite géométrique

U_{n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + ... + \frac{1}{2^{n}}; \ln (V_{n}) = U_{n} \ln (2)

A : \lim_{} U_{n} = 1; \lim_{} V_{n} = \ln (2)

B : \lim_{} U_{n} = \frac{1}{2}; \lim_{} V_{n} = \ln (2)

C : \lim_{} U_{n} = 2; \lim_{} V_{n} = 1

D : \lim_{} U_{n} = \frac{1}{2}; \lim_{} V_{n} = 2

E : \lim_{} U_{n} = 1; \lim_{} V_{n} = 2

✧ Correction

U_{n} = 1 - {(\frac{1}{2})}^{n} \Rightarrow \lim_{n \to + \infty} U_{n} = 1

V_{n} = e^{U_{n} \ln (2)} \Rightarrow \lim_{n \to + \infty} V_{n} = e^{\ln (2)} = 2

✅ Réponse E

QCM 06 limite à droite

f (x) = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x + 2 \sqrt{x}}}

A : + \infty

B : 0

C : 1

D : \frac{1}{2}

E : n'a pas de limite

✧ Correction

\lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x + 2 \sqrt{x}}} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{\sqrt{x} (\sqrt{x} + 2)}}

= \lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{\sqrt{x}} \sqrt{\sqrt{x} + 2}} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{2}{\sqrt{x}}}} = 0

✅ Réponse B

QCM 07 limite exponentielle

g (x) = \frac{(2 x)^{x}}{x^{2 x}}

A : + \infty

B : 1

C : 2

D : 0

E : n'a pas de limite

✧ Correction

g (x) = \frac{(2 x)^{x}}{x^{2 x}} = {(\frac{2}{x})}^{x} = e^{x (\ln (2) - \ln (x))}

Or \lim_{x \to + \infty} x (\ln (2) - \ln (x)) = - \infty

\Rightarrow \lim_{x \to + \infty} g (x) = 0

✅ Réponse D

QCM 08 tangente

f (1) = 3; f^{'} (1) = - 3

A : y = 3 x - 2

B : y = - 3 x + 6

C : y = 3 x - 6

D : y = 3 x

E : y = - 3 x + 2

✧ Correction

y = f^{'} (1) (x - 1) + f (1) = - 3 (x - 1) + 3 = - 3 x + 6

✅ Réponse B

QCM 09 domaine de composition

f (x) = \ln (x - 1); g (x) = \sqrt{x + 1}

A : [- 1, + \infty [

B :] 1, + \infty [

C : [1 + \frac{1}{e}, + \infty [

D :] e, + \infty [

E :] - e, + \infty [

✧ Correction

x \in D_{g ○ f} ⇨ x \in] 1, + \infty [et \ln (x - 1) \geq - 1

⇨ x \in] 1, + \infty [et x \geq 1 + \frac{1}{e}

✅ Réponse C

QCM 10 intégrale trigo

\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\sin (x) \tan (x)} dx

A : \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}

B : 2 - \sqrt{2}

C : \sqrt{2} - 2

D : \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2}

E : 1 - \sqrt{2}

✧ Correction

\frac{1}{\sin x \tan x} = \frac{1}{\sin x \times \frac{\sin x}{\cos x}} = \frac{\cos x}{\sin^{2}}

\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{4}} \frac{\cos x}{\sin^{2}} dx = {[- \frac{1}{\sin x}]}_{\frac{π}{6} \frac{π}{4}} = - \sqrt{2} + 2 = 2 - \sqrt{2}

✅ Réponse B

QCM 11 intégrale logarithme

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin (2 x)}{1 + \sin^{2} (x)} dx

A : 0

B : \ln (2) + 1

C : \ln (2)

D : 1

E : - \ln (2)

✧ Correction

\sin (2 x) = 2 \sin x \cos x et (1 + \sin^{2} x)^{'} = 2 \sin x \cos x

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{(1 + \sin^{2} x)^{'}}{1 + \sin^{2} x} dx = {[\ln (1 + \sin^{2} x)]}_{0 \frac{π}{2}} = \ln (2)

✅ Réponse C

QCM 12 géométrie dans l'espace

(P) : x - y - z + 2 = 0; (P^{'}) : x + z - 2 = 0; (Δ) : {\begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 2 + 2 t \\ z = 1 - t \end{matrix}

A : (Δ) \subset (P)

B : (Δ) ⊥ (P)

C : (Δ) \cap (P) = \emptyset

D : (Δ) \cap (P^{'}) = \emptyset

E : (Δ) ⊥ (P^{'})

✧ Correction

\vec{n} (1, - 1, - 1) normal à (P) ; \vec{u} (1, 2, - 1) dir. de (Δ)

A (1, 2, 1) \in (Δ); 1 - 2 - 1 + 2 = 0 donc A \in (P)

\vec{n} \cdot \vec{u} = 1 - 2 + 1 = 0 donc (Δ) est parallèle à (P)

Comme A \in (P) et (Δ) parallèle à (P), on a (Δ) \subset (P)

✅ Réponse A

QCM 13 dérivabilité en 0

f (x) = x + x^{2} \sin (\frac{1}{x}) si x \neq 0; f (0) = 0

A : f n'est pas dérivable en 0

B : f^{'} (0) = 0

C : f^{'} (0) = 1

D : Pour x \neq 0 : f^{'} (x) = 1 + 2 x \sin (\frac{1}{x}) + \cos (\frac{1}{x})

E : f dérivable en 0 et f^{'} (0) = 2

✧ Correction

\frac{f (x) - f (0)}{x - 0} = 1 + x \sin (\frac{1}{x})

Or | x \sin (\frac{1}{x}) | \leq | x | \to 0 donc \lim_{x \to 0} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} = 1

\Rightarrow f^{'} (0) = 1

✅ Réponse C

QCM 14 probabilités

Urne : 5 bleues, 4 blanches, 3 noires. Tirage simultané de 3 boules, répété

n

fois avec remise.

A : \frac{8 \times 3^{n}}{11^{n}}

B : \frac{8 n \times 3^{n}}{11^{n}}

C : \frac{8 n \times 3^{n - 1}}{11^{n}}

D : \frac{8 n \times 3^{n - 1}}{11^{n}}

E : \frac{8 \times 3^{n}}{11^{n - 1}}

✧ Correction

p (A) = \frac{C_{5}^{1} \times C_{4}^{1} \times C_{3}^{1}}{C_{12}^{3}} = \frac{5 \times 4 \times 3}{12 \times 11 \times 10} = \frac{3}{11}

Probabilité d'obtenir n - 1 succès : C_{n}^{n - 1} {(\frac{3}{11})}^{n - 1} {(\frac{8}{11})}^{1}

= n \times \frac{3^{n - 1}}{11^{n - 1}} \times \frac{8}{11} = \frac{8 n \times 3^{n - 1}}{11^{n}}

✅ Réponse C