FMP Oujda 2015/2016 · Corrigé

Faculté de Médecine et Pharmacie · Oujda · QCM 01 à 10

QCM 01 nombre complexe

z = \frac{\sqrt{3} - i}{1 - i}

A : z = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} - \frac{\sqrt{3} - 1}{2} i

B : z = \sqrt{2} (\cos \frac{π}{6} + i \sin \frac{π}{6})

C : z = \frac{\sqrt{3} - 1}{2} + \frac{\sqrt{3} + 1}{2} i

D : \sin (\frac{π}{12}) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}

E : z = \sqrt{2} (\cos \frac{5 π}{4} + i \sin \frac{5 π}{4})

✧ Correction

z = \frac{\sqrt{3} - i}{1 - i} = \frac{(\sqrt{3} - i) (1 + i)}{1 + 1} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} + \frac{\sqrt{3} - 1}{2} i

| z | = \sqrt{{(\frac{\sqrt{3} + 1}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3} - 1}{2})}^{2}} = \sqrt{\frac{3 + 1 + 2 \sqrt{3} + 3 + 1 - 2 \sqrt{3}}{4}} = \sqrt{2}

\tan (\arg z) = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} = \tan (\frac{π}{12}) donc \arg (z) = \frac{π}{12}

✅ Réponse A

QCM 02 suite complexe

u_{0} = 1; u_{n + 1} = (\frac{1 + i \sqrt{3}}{4}) u_{n}

A : u_{4} = \frac{1}{32} (1 + i \sqrt{3})

B : | u_{n} | = 2^{n}

C : \lim_{} | u_{n} | = 2

D : u_{n} réelle ssi n = 3 k + 1

E : Toutes les réponses sont fausses

✧ Correction

\frac{1 + i \sqrt{3}}{4} = \frac{2}{4} (\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{1}{2} e^{\frac{i π}{3}}

u_{n} = {(\frac{1}{2} e^{\frac{i π}{3}})}^{n} = \frac{1}{2^{n}} e^{\frac{i n π}{3}}

u_{4} = \frac{1}{16} e^{\frac{4 i π}{3}} = \frac{1}{16} (- \frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}) = - \frac{1}{32} (1 + i \sqrt{3})

✅ Réponse A

QCM 03 suites

u_{n} = \sum_{p = 0}^{n - 1} \frac{2}{3^{p}}; V_{n} = - 5 (\sqrt{2})^{n}

A : u_{n} = 2 (1 - 3^{n})

B : \lim_{} V_{n} = 0

C : \lim_{} u_{n} = 3

D : \lim_{} V_{n} = - 5

E : \lim_{} u_{n} = + \infty

✧ Correction

u_{n} = 2 \times \frac{1 - (\frac{1}{3})^{n}}{1 - \frac{1}{3}} = 3 (1 - \frac{1}{3^{n}}) \to 3

V_{n} = - 5 (\sqrt{2})^{n} \to - \infty car \sqrt{2} > 1

✅ Réponse C

QCM 04 suite récurrente

V_{0} = 7000; V_{n + 1} = 0.8 V_{n} + 4000

A : V_{n + 1} = 11000 + 0.8 V_{n}

B : V_{n + 1} = 7000 + 0.8 V_{n}

C : (u_{n}) arithmétique

D : u_{n} = 13000 (0.8)^{n}

E : u_{n} = 13000 (0.8)^{n + 1}

✧ Correction

Point fixe : l = 0.8 l + 4000 \Rightarrow l = 20000

V_{n} - 20000 = 0.8 (V_{n - 1} - 20000) = (7000 - 20000) (0.8)^{n} = - 13000 (0.8)^{n}

✅ Réponse Aucune (la bonne est Vn = 20000 - 13000(0.8)^n)

QCM 05 fonction réciproque

g (x) = \frac{x}{2} \sqrt{x^{2} + 4} + \frac{x^{2}}{2}

A : D_{g} =] - \infty, - 2] \cup [2, + \infty [

B : g^{- 1} (x) = \frac{x}{2 \sqrt{x + 1}}

C : (g^{- 1})^{'} (0) = 1

D : g^{'} (0) = 0

E : \lim_{} g (x) = 2

✧ Correction

g (0) = 0; g^{'} (x) = \frac{1}{2} \sqrt{x^{2} + 4} + \frac{x^{2}}{2 \sqrt{x^{2} + 4}} + x

g^{'} (0) = \frac{1}{2} \times 2 = 1

(g^{- 1})^{'} (0) = \frac{1}{g^{'} (0)} = 1

✅ Réponses C et D

QCM 06 affirmations

Choisir l'affirmation juste

A : cube diagonale face 4 \sqrt{2} cm, volume = 8 cm 3

B : multiplier rayon par \sqrt{3} pour tripler volume

C : x^{2} + y^{2} = 208; x y = 58; x + y = 16

D : produit de 3 entiers consécutifs = 990, somme des deux plus petits = 21

E : Toutes les affirmations sont fausses

✧ Correction

A : côté = 4, volume = 64 cm³ (faux)

B : V = (4/3)πR³, pour tripler V il faut multiplier R par ∛3 (faux)

C : (x + y)^{2} = x^{2} + y^{2} + 2 x y = 208 + 116 = 324 \Rightarrow x + y = 18 (faux)

D : 9×10×11 = 990, somme des deux plus petits = 19 (faux)

✅ Réponse E

QCM 07 fonction f(x)=2x+sin(2x)

f (x) = 2 x + \sin (2 x)

A : paire

B : O n'est pas centre de symétrie

C : C_{f} au-dessus de y = 2 x + 1

D : période π

E : \lim_{} \frac{f (x)}{x} = 4

✧ Correction

A : f(-x) = -2x - sin(2x) = -f(x) donc impaire (faux)

B : f est impaire donc O est centre de symétrie (faux)

C : f(x) - (2x+1) = sin(2x) - 1 ≤ 0 donc en dessous (faux)

D : f(x+π) = 2x+2π+sin(2x+2π) = f(x)+2π ≠ f(x) (faux)

E : \lim_{x \to 0} \frac{f (x)}{x} = \lim_{x \to 0} (2 + \frac{\sin (2 x)}{x}) = 4

✅ Réponse E

QCM 08 intégrales

I_{n} = \int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{- n x} \sin x dx; J_{n} = \int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{- n x} \cos x dx

A : I_{n} = \frac{1 - n e^{- n π / 2}}{n^{2} + 1}

B : I_{n} = \frac{1 + n e^{- n π / 2}}{n^{2} + 1}

C : J_{n} = \frac{n + e^{- n π / 2}}{n^{2} + 1}

D : J_{n} = \frac{n - e^{- n π / 2}}{n^{2} + 1}

E : Toutes les propositions sont fausses

✧ Correction

I_{n} = \frac{1}{n^{2} + 1} (1 - n e^{- n π / 2})

J_{n} = \frac{1}{n^{2} + 1} (n + e^{- n π / 2})

✅ Réponses A et C

QCM 09 intégrales

I = \int_{0}^{a} \frac{\cos x}{1 + 2 \sin x} dx; J = \int_{0}^{a} \frac{\sin (2 x)}{1 + 2 \sin x} dx

A : I = 1 - \ln (1 - \sin a)

B : I = 1 - \ln (1 - 2 \sin a)

C : J = \sin a + \ln (1 + 2 \sin a)

D : J = \sin a + \ln (\frac{1}{\sqrt{1 + 2 \sin a}})

E : Toutes les propositions sont fausses

✧ Correction

I = \frac{1}{2} \int_{0}^{a} \frac{2 \cos x}{1 + 2 \sin x} dx = \frac{1}{2} {[\ln (1 + 2 \sin x)]}_{0 a}

J = 2 \int_{0}^{a} \frac{\sin x \cos x}{1 + 2 \sin x} dx = \sin a - \frac{1}{2} \ln (1 + 2 \sin a)

✅ Réponse Aucune

QCM 10 intégrale par parties

I_{n} = \int_{0}^{a} x^{n} e^{- x} dx

A : I_{1} = 1 - \frac{a + 1}{e^{a}}

B : suite I_{n} croissante (a=1)

C : \lim_{} I_{n} = + \infty (a=1)

D : I_{n} = n I_{n - 1} - a^{n} e^{- a}

E : Toutes les propositions sont fausses

✧ Correction

I_{1} = \int_{0}^{a} x e^{- x} dx = 1 - \frac{a + 1}{e^{a}}

IPP : I_{n} = n I_{n - 1} - a^{n} e^{- a}

✅ Réponses A et D