FMP Oujda 2014/2015 · Corrigé

Faculté de Médecine et Pharmacie · Oujda · QCM 01 à 07

QCM 01 suites

S = \sum_{k = 1}^{n} (2 k - 1); u_{n} = \frac{5^{n} + (- 3)^{n}}{2^{n} + 3 (- 1)^{n}}

v_{n} = \frac{n + \sin n}{n - \sin n}; w_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{n}{n^{2} + k}

A : S = 2 n^{2} - 1

B : \lim_{} u_{n} = 1

C : \lim_{} v_{n} = \frac{5}{2}

D : \lim_{} w_{n} = + \infty

E : \lim_{} u_{n} = \frac{1}{2}

✧ Correction

S = \sum_{k = 1}^{n} (2 k - 1) = 2 \frac{n (n + 1)}{2} - n = n^{2} donc A faux

B : \lim_{n \to + \infty} u_{n} = \lim_{n \to + \infty} \frac{5^{n}}{2^{n}} = \lim_{n \to + \infty} {(\frac{5}{2})}^{n} = + \infty donc B et E faux

C : \lim_{n \to + \infty} v_{n} = \lim_{n \to + \infty} \frac{1 + \frac{\sin n}{n}}{1 - \frac{\sin n}{n}} = 1 donc C faux

D : \frac{n}{n^{2} + n} \leq w_{n} \leq \frac{n}{n^{2} + 1} \Rightarrow \lim_{} w_{n} = 1 donc D faux

✅ Réponse Aucune (toutes sont fausses)

QCM 02 nombres complexes

z_{M} = 2 (i \sqrt{3} + 1); z_{N} = 2 (1 - i \sqrt{3}); z_{P} = i \sqrt{3} - 1

A : | z_{N} | = 2

B : z_{M} = \frac{1}{z_{N}}

C : z_{M} = \cos \frac{π}{3} + i \sin \frac{π}{3}

D : (M P) ⊥ (N P)

E : (M P) et (N P) parallèles

✧ Correction

| z_{N} | = \sqrt{2^{2} + (- 2 \sqrt{3})^{2}} = \sqrt{4 + 12} = 4 donc A faux

\frac{1}{z_{N}} = \frac{1}{2 (1 - i \sqrt{3})} = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2 (1 + 3)} = \frac{1}{8} (1 + i \sqrt{3}) \neq z_{M} donc B faux

C : z_{M} = 4 e^{\frac{i π}{3}} \neq \cos \frac{π}{3} + i \sin \frac{π}{3} donc C faux

\vec{MP} = z_{P} - z_{M} = (i \sqrt{3} - 1) - 2 (1 + i \sqrt{3}) = - 3 - i \sqrt{3}

\vec{NP} = z_{P} - z_{N} = (i \sqrt{3} - 1) - 2 (1 - i \sqrt{3}) = - 3 + 3 i \sqrt{3}

\vec{MP} \cdot \vec{NP} = (- 3) (- 3) + (- \sqrt{3}) (3 \sqrt{3}) = 9 - 9 = 0 donc D vraie

✅ Réponse D

QCM 03 fonctions paires et périodiques

f dérivable sur ℝ, paire et périodique de période T

A : f^{'} paire et périodique

B : f^{'} impaire mais pas nécessairement périodique

C : \forall k \in ℤ : f^{'} (k T) = 0

D : \int_{T}^{2 T} f (x) dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{T} f (x) dx

E : Toutes les propositions sont fausses

✧ Correction

A : f paire ⇒ f' impaire (faux)

B : f' est impaire et périodique de période T (faux)

C : f'(kT) = f'(0) pas nécessairement 0 (faux)

D : par périodicité, l'intégrale sur [T,2T] = intégrale sur [0,T] (faux)

✅ Réponse E

QCM 04 fonction exponentielle

f (x) = \frac{e^{1 - x}}{1 + e^{- x}}

A : D_{f} =] - \infty, 1 [\cup] 1, + \infty [

B : f croissante sur D_{f}

C : \lim_{} f (x) = 1

D : f (x) = e^{- x} n'a pas de solution

E : tangente en 0 coupe l'axe des abscisses en (2,0)

✧ Correction

A : 1 + e^{- x} > 0 pour tout x, donc D_{f} = ℝ (faux)

f (x) = \frac{e^{1 - x}}{1 + e^{- x}} = \frac{e}{e^{x} + 1}; f^{'} (x) = - \frac{e e^{x}}{(e^{x} + 1)^{2}} < 0 donc décroissante (faux)

C : \lim_{x \to - \infty} f (x) = \lim_{x \to - \infty} \frac{e}{e^{x}} = 0 (faux)

D : f (x) = e^{- x} \Rightarrow \frac{e}{e^{x} + 1} = \frac{1}{e^{x}} \Rightarrow e e^{x} = e^{x} + 1

\Rightarrow e^{x} (e - 1) = 1 \Rightarrow x = \ln (\frac{1}{e - 1}) donc D faux

E : f (0) = \frac{e}{2}; f^{'} (0) = - \frac{e}{4}; tangente : y = - \frac{e}{4} x + \frac{e}{2}

Intersection avec Ox : - \frac{e}{4} x + \frac{e}{2} = 0 \Rightarrow x = 2 donc E vraie

✅ Réponse E

QCM 05 aire entre courbes

f (x) = 2 x; g (x) = x^{2}

A : 0

B : 1

C : \frac{2}{3}

D : \frac{1}{3}

E : 2

✧ Correction

S = \int_{0}^{1} (f (x) - g (x)) dx = \int_{0}^{1} (2 x - x^{2}) dx = {[x^{2} - \frac{x^{3}}{3}]}_{01} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}

✅ Réponse C

QCM 06 suite population

v_{0} = 32; v_{n + 1} = 1.05 v_{n} + 0.5; u_{n} = v_{n} + 10

A : v_{n + 1} = 32.5 + 0.05 v_{n}

B : (u_{n}) arithmétique de raison 1.05

C : n = 29 ans pour dépasser 158 millions

D : n = 20 ans

E : Toutes les propositions sont fausses

✧ Correction

l = 1.05 l + 0.5 \Rightarrow 0.05 l = 0.5 \Rightarrow l = 10

v_{n} - 10 = (32 - 10) (1.05)^{n} = 22 (1.05)^{n}; u_{n} = v_{n} + 10 = 22 (1.05)^{n} + 10

v_{n} > 158 \Rightarrow 22 (1.05)^{n} > 148 \Rightarrow (1.05)^{n} > \frac{148}{22} \approx 6.727

n \approx \frac{\ln (6.727)}{\ln (1.05)} \approx 39 donc C et D faux

✅ Réponse E

QCM 07 affirmations

Choisir la réponse juste

A : axe de symétrie de f (x) = x^{2} + 2 x - 1 est x = 1

B : une courbe ne coupe jamais son asymptote

C : g^{'} (x) = 2 g (x) n'a pas de solution

D : h (x) = | 4 x - 5 | non dérivable en x = 5

E : f (x) = | x + 5 | - | 3 - x | + 2 x - 3 n'a pas de primitive

✧ Correction

A : axe de symétrie : x = - \frac{b}{2 a} = - \frac{2}{2} = - 1 (faux)

B : une courbe peut couper son asymptote (ex: f(x)=sin(x)/x) (faux)

C : g'(x)=2g(x) a pour solution g(x)=Ce^(2x) (faux)

D : h (x) = | 4 x - 5 | non dérivable en x = \frac{5}{4} (faux)

E : f (x) = {\begin{matrix} - 4 x + 5 & x < - 5 \\ 4 x - 1 & - 5 \leq x < 3 \\ 2 x + 5 & x \geq 3 \end{matrix} donc f admet une primitive (faux)

✅ Réponse Aucune (toutes sont fausses)

QCM 08 géométrie dans l'espace - cube

Cube

A B C D E F G H

de côté

a

A : \vec{AG} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{EA}

B : \vec{AG} est normal au plan (BDE)

C : \vec{AG} \cdot \vec{BE} = a^{2}

D : (AG) et (DE) ne sont pas orthogonales

E : \vec{BC} \land \vec{BA} = \vec{BG}

✧ Correction

Prenons le repère

(A; \vec{AB}; \vec{AD}; \vec{AE})

avec

\vec{AB} = a \vec{i}; \vec{AD} = a \vec{j}; \vec{AE} = a \vec{k}

Coordonnées :

A (0, 0, 0); B (a, 0, 0); D (0, a, 0); E (0, 0, a); G (a, a, a)

A : \vec{AG} = a \vec{i} + a \vec{j} + a \vec{k}

\vec{EA} = - a \vec{k}; \vec{AB} = a \vec{i}; \vec{AD} = a \vec{j}

\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{EA} = a \vec{i} + a \vec{j} - a \vec{k} \neq \vec{AG} donc A faux

B : \vec{AG} (a, a, a); \vec{BD} = (- a, a, 0); \vec{BE} = (- a, 0, a)

\vec{AG} \cdot \vec{BD} = a (- a) + a (a) + a (0) = 0 donc \vec{AG} ⊥ \vec{BD}

\vec{AG} \cdot \vec{BE} = - a^{2} + 0 + a^{2} = 0 donc \vec{AG} est normal au plan (BDE) donc B vraie et C faux

D : \vec{AG} = (a, a, a); \vec{DE} = (0, - a, a)

\vec{AG} \cdot \vec{DE} = 0 + (- a^{2}) + a^{2} = 0 donc (AG) et (DE) sont orthogonales, D faux

E : \vec{BC} + \vec{BA} = a \vec{j} - a \vec{i} = - a \vec{i} + a \vec{j} \neq \vec{BG} = a \vec{j} + a \vec{k} donc E faux

✅ Réponse B

QCM 09 probabilités conditionnelles

18% atteints de M1 ; parmi M1, 8% atteints de M2 ; parmi non M1, 7% atteints de M2

A : P (M2) = 7.18 \times 10^{- 2}

B : P (M1 \cap M2) = 0.18

C : P (M1 \cap M2) = 0.144

D : P_{M2} (\bar{M1}) = 0.2

E : Toutes les propositions sont fausses

✧ Correction

P (M1) = 0.18; P (\bar{M1}) = 0.82

P_{M1} (M2) = 0.08; P_{\bar{M1}} (M2) = 0.07

P (M1 \cap M2) = P (M1) \times P_{M1} (M2) = 0.18 \times 0.08 = 0.0144 donc B et C faux

P (M2) = P (M1 \cap M2) + P (\bar{M1} \cap M2)

P (\bar{M1} \cap M2) = 0.82 \times 0.07 = 0.0574

P (M2) = 0.0144 + 0.0574 = 0.0718 = 7.18 \times 10^{- 2} donc A vraie

P_{M2} (\bar{M1}) = \frac{P (\bar{M1} \cap M2)}{P (M2)} = \frac{0.0574}{0.0718} \approx 0.7994 \approx 0.8 donc D faux (0.2 est le complément)

✅ Réponse A

QCM 10 intégrale par parties

I_{n} = (n + 1) \int_{a}^{1} t^{n} \ln (t) dt

A : I_{n} = \frac{1}{(n + 1)^{2}} (a^{n + 1} - 1) - \frac{a^{n + 1}}{n + 1} \ln a

B : I_{n} = \frac{1}{n + 1} (1 - a^{n + 1}) - a^{n + 1} \ln a

C : I_{n} = \frac{1}{(n + 1)^{2}} (a^{n + 1} - 1) - a^{n + 1} \ln a

D : I_{n} = \frac{1}{(n + 1)^{2}} (a^{n + 1} - 1) - \frac{a^{n + 1}}{n + 1} \ln a

E : Pour a = \frac{1}{2}; \lim_{} I_{n} = + \infty

✧ Correction

\int_{a}^{1} t^{n} \ln (t) dt = {[\frac{t^{n + 1}}{n + 1} \ln (t)]}_{a 1} - \int_{a}^{1} \frac{t^{n}}{n + 1} dt

= - \frac{a^{n + 1}}{n + 1} \ln a - \frac{1}{(n + 1)^{2}} (1 - a^{n + 1})

Donc I_{n} = (n + 1) \times (- \frac{a^{n + 1}}{n + 1} \ln a - \frac{1}{(n + 1)^{2}} (1 - a^{n + 1}))

= - a^{n + 1} \ln a - \frac{1}{n + 1} (1 - a^{n + 1})

= \frac{1}{n + 1} (a^{n + 1} - 1) - a^{n + 1} \ln a donc B est la bonne formule

Pour a = \frac{1}{2} : \ln (a) = - \ln 2; a^{n + 1} \to 0

\lim_{n \to + \infty} I_{n} = \lim_{n \to + \infty} (\frac{1}{n + 1} (a^{n + 1} - 1) - a^{n + 1} \ln a) = 0 donc E faux

✅ Réponse B